江苏省江阴市某中学2025-2026学年高二年级上册第一次阶段性反馈数学试题（解析版）

2025-2026学年高二年级秋学期第一次阶段性反馈

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线5=°的一个方向向量的坐标为()

A.(-4,3)B.(3,-4)

C.(3,4)D.(4,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线的方向向量的概念即可得出结果.

35

【详解】由题意知，3x-4y+5=0=y=—工+一，

44

3

所以直线的斜率为一，则直线的一个方向向量的坐标为(4,3),

4

故选：D

2.已知O-A3c为空间四面体，f为底面ABC上一点，且满足2衣=工方+)，砺+z反，则以下等

式一定成立的是()

A.x+y+z=\B.x+y+z=OC.x+>,4-z=-lD.x+y+z=；

【答案】B

【解析】

【分析】

设前=加通+〃/，结合向量的减法可得出％、)'、z关于加、〃的表达式，由此可得出工+y+z的

值.

【详解】因为PE平面48C,设A户=〃7AA+〃AC(〃7,〃wR),

则衣二加(砺—函)+〃(方一方)二(-m-n)OA+mOB+nOC,

所以，2入户=(一2m-2〃)OA+2mOB+2nOC=xOA+yOB+zOC,

则与=一2m一2〃，y=2m,z=2〃，因此，x+y+z=0.

故选：B.

3.已知直线4：依一y+l=O与"+（4-幻y+l=O平行，则攵的值是（）

A.5B.0或5C.0D.0或1

【答案】C

【解析】

【分析】当攵=0时求出两直线方程，检验是否平行；当ZwOE寸，根据两直线平行的性质求出我的值并检

验，进而得出结果.

【详解】由两直线平行得，当左二（）时，两直线分别为＞=1和＞=-!，显然两直线平行；

4

当之工0时，由&=—,解得攵=5：

k4一k

而当左=5时两直线重合.

综上所述，&的值为0.

故选：C

4.空间直角坐标系。-中，经过点尸（事,%*（））,且法向量为诩=（A8,C）的平面方程为

A（x—%））+8（y-%）+C（z-Zj）=0,经过点P5,为匕。）且一个方向向量为乃=（〃,0,助（［。口。0）

x-Xf.y-yz-z

的直线/的方程为——-="--n=——n阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面。的方程为

JUU（0

3x-5y+z-7=0,经过（0,0,0）的直线/的方程为，则直线/与平面。所成角的余弦值为

（）

AVioRViorV15n9后

535535

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量求线面夹角.

【详解】因为平面。的方程为3x—5y+z-7=0,故其法向量为沅=（3,-5,1）,

且直线/的方程为±=2=二,

32-1

JT

设直线/与平面？所成角为6u0,-,

则sin，=|cos（沌«）|=J=—^==,

'网匕•同7M35

可得cos0=Vl-sin2^=2叵.所以直线/与平面a所成角的余弦值为名叵.

3535

故选：D.

5.若直线/的方向向量是（1,sin。），则直线/的倾斜角。的范围是（）

/、兀71371兀37r।

MB.0,-C.D.0,-D——，兀

4J144」L4J4）

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线的斜率&=sin£,求出&的取值范围，求出”的取值范围即可.

【详解】解：若直线/的方向向量是（1,sin。），则直线/的斜率攵=3!!。，所以TW攵W1,则04。《彳

3兀

或一<a<TT.

4

故选:D.

6.如图，在三棱锥尸一4BC中，Q4_L平面ABC,且所=3反，则而在尼方向上的投

影向量为（）

A

3-2_

A.--ACB.——ACC.-ACD.-AC

4343

【答案】C

【解析】

【分析】以A为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，从而而在正方向上的

投影向量，即丽在轴正方向上的投影向量.

【详解】•・•/%_!_平面ABC,AC,

・•・PAA.AB,PALAC,

故以A为坐标原点，AB,AC,处所在直线为x,y,z建立空间直角坐标系，令A8=a,4C=〃,必=c.

则k=（0也0）,丽=卜〃，

・•・丽在北方向上的投影向量，即而在）'轴正方向上的投影向量为（0,140）=；（0/,0）=1急.

故选:C.

7.在正方体/^。。一44。1"中，点尸在线段。|/］上，若直线B/与平面8G4所成的角为氏则

tan。的取值范围是（）

A.乌，与B.口，右］C.D.当,1

43JL」|_32J|_3

【答案】D

【解析】

【分析】连接与。、GB相交于N点，由4N_L平面。0/,得/与PN是直线4P与平面3GA所成

的角。，设正方体的棱长为2,则BN=应，设GP=x（OW"W2）,则

tanZB.PN=-=----

PN?=2+x］，所以R由式的范围可得答案.

如图，正方体48。。一44。］。|中，连接4C、C18相交于N点,

则N是。户的中点，且4N_L平面。G8,连接PN,

则乙B、PN是直线8/与平面BCR所成的角8,

设正方体的棱长为2,则4N=JL设C/=X（0KXK2）,

2222

所以4尸2=4。：+。1尸=4+V,PN=B,P-BiN=2+x,

所以⑸“"二鬻"春二1

1+y

因为0WxW2,所以1W1+三V3,

2

即YZ<tan0W1.

3

故选：D.

8.在三棱柱4B1G-ABC中,侧棱44」底面4BiCi,ZBAC=90°,AB=AC=AAi=\f。是棱CG的中点,

P是AO的延长线与4G的延长线的交点.若点。在直线81P上，则下列结论正确的是（）

A.当点Q为线段SP的中点时，QQ_L平面48。

B.当点。为线段8P的三等分点时，QQJ_平面46。

C.在线段HP的延长线上，存在一点Q,使得。Q_L平面48。

D.不存在点Q,使。Q与平面40/）垂直

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法确定正确选项.

(1、

【详解】如图，建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),Bi(l,0,0),R(l,0,1),D0,1,-,尸(0,2,

I乙)

0),所以率=(-1,2,0),丽=月=(1,0,1),而二(o，l，g).

设存在点Q，使。Q与平面人田。垂直，设线。力"，则)Q=B］。-BQ'RP-BQ=

(-4,24,0)—-1,1,_j=1—/1,2/1—1,—

k2/\2

1—?1—=0

由四四,9

得无解.

DQ1A.D2/-l-l=0

4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.已知直线/过点尸(2,3),且在nV轴上截距相等，则直线/的方程为x+y-5=0

B,直线小+y+1=0的倾斜角为120。

C.asR,〃wR,“直线仆+2)，-1=0与直线m+l)x—2©，+l=0垂直”是“4=3”的必要不充分条件

D.若直线/沿x轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直

线/的斜率为-g

【答案】BCD

【解析】

【分析】考虑直线截距0时可以判断A；

先求出斜率，进而求出倾斜角，然后判断B；

先求出直线与直线垂直的等价结论，进而判断C；

设由原直线方程，再求出平移后的直线方程，进而通过两条直线重合求出答案，进而判断D.

【详解】对A,若直线/过原点，则方程为：）'=|x，A错误；

对B,直线斜率为：-6,则倾斜角为120。，B正确；

对C,直线奴+2y-1=0与直线（。+1）大一2。），+1=0垂直，等价于

+=々2-3〃=0=4=0或〃=3,C正确；

对D,若直线/斜率不存在，设直线/:/=〃，它沿X轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单

位长度后得到：x+3=。？xa-3,不与原来重合，舍去；

若直线/斜率存在，设直线/：y="+/2,它沿工轴向左平移3人单位长度，再沿）'轴向上平移2个单位长

度后得到：y=k（x+3）+b+2=kx+3〃+b+2,因为它回到原来的位置，所以

2

3k+b+2=b?k--,D正确.

故选：BCD

10.如图，边长为1正方形ABC。所在平面与正方形48E户所在平面互相垂直，动点M,N分别在正方形

对角线AC和4尸上移动，且CM=3N=〃（O<Q<0）.则下列结论中正确的有（）

,M£与CN相交

B.MN始终与平面8CE平行

C.异面宜线AC与。”所成的角为45。

D.当口=也时，MN的长最小，最小为也

22

【答案】BD

【解析】

【分析】以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系

证明向量CN,CM；不共面可判断选项A错误；判断耐与平面BCE的法向量垂直可判断选项B；利

用向量法可求异面直线所成的角，从而判断选项C：利用两点间的距离公式及二次函数的性质可判断选项

D.

【详解】以8为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴，＞轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则A（1,O,O）,C（O,O,1）I（1』,O）,E（O,1,O）,

因为CM=8V=a,所以M-4,0,1

“2，万°!，

当〃=7时，M（二,0/一一——,0）»

24444

叵一叵叵一

CM=0,---）,C/V=（—CE=（0,1,-1），

若ME与CN相交，则四点共面,

44

〃二£,该方程无解，所以ME与CN不相交，故选项A错误;

设CN=〃£A/+〃C£，则，

4

垃

——rn-n=-\।

4

平面BCE的法向量为丽=(1,0,0),丽=|o,宕，差：一1,此时欣•丽=0,

所以MN始终与平面8CE平行，故B正确;

n=(一1,0,1),丽=。,1,0),设异面直线AC与所所成的角为6,

\AC-BF\11

所以cos。二|二||」|二〒一尸=不，所以异面直线AC与BF所成的角为60。，故C错误;

\AC[\BF\V2XV22

1

|MN|=0++—

2

所以当a=时，MN的长最小，最小为也，故D正确.

故选：BD.

11.已知正方体棱长为2,P为空间中一点.下列论述正确是（）

UUDIUUITA

A.若AP=—AO「则异面直线8P与所成角的余弦值为组

26

UUuuuUIIU

B.若3P=43C+3与（4e[0』），三棱锥P-ABC的体积为定值

uiruim1uuur

C.若6尸=尤6。十一64（40[01]）,有且仅有一个点尸，使得A。，平面尸

LllUlUUU.jrjr

D.若AP=/lAA（2£[0,l]）,用异面直线BP和G。所成角取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后判断各个选项正误.

【详解】选项A：由题，如下图，P为AR中点,取6a的中点0,连接R2,BO,则P0〃G。，所以

NBPO或其补角即为异面直线4P与所成的角，易得BP=娓,PO=亚,B0=n，所以

cosZ.BP0=»A正确;

6

选项R：由条件6户w[0,l]）,可知。点的轨迹为线段用G，因为4G〃3C,故〃到平

4

面ABC的距离为定值，且三角形^ABC面积为定值，故三棱锥尸-43c体积为定值故选项B正

确.

选项C：由丽=/1配+g瓯（九£[0,1]）可知点P在线段即上（E、F分别为BBrCG中点），因为

4。_1平面442,所以平面即为平面A4A，点尸即为平面44。与直线石厂交点，此交点在

FE延长线上，故选项C错误.

选项D：由入户=4雨•（％£[（）,1]）可知点。的轨迹为线段AQ.建系如图，得

QD=（-2,0,2）,B（2,0,2）,设尸（0,。,2—。）,〃£[0,2],则丽=（-2,凡-。），所以

4一2。2-a

CQ£<4P,CQ〉=令2—々=xu[0,2],

204+262也+/

当。=2,即x=0时，cos〈丽，丽〉=0,此时直线族和G。所成角是］；

八〜cos（BP,QD）=.11「1、

当〃。2,即x£（0,2］时，贝ij2K4+］,令一=/£—,+8I,

■■1I1B

cos〈BP,Cp）=京6『书+］'所以当最=，=5，即。=0讨，cos〈所，不〉取最大值为券，直线

3尸和G。所成角的最小值为工，故选项D正确.

4

故选:ABD.

【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定，体积求法及异面直线所成角的求解问题，意在考杳学

生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平血与平面关系

的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直

线方向向量或平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知直线/的倾斜角是直线）、=］十1的倾斜角的2倍，且过点尸（5,6）,则直线/的方程为.

【答案】x=5

【解析】

【分析】由倾斜角与斜率的关系，得到直线y=x+i的倾斜角，进而得到直线/的倾斜角，结合直线/垂直

于1轴，写出直线方程.

【详解】已知直线）=工+1,则其斜率2=1,即倾斜角为45"

由干直线/的倾斜角是直线），=x+l的倾斜角的2倍,

故直线/的倾斜角为90，

又直线过户（5,6）,

则所求直线方程为x=5.

故答案为：x=5.

13.已知向量A6=（l,5,-2）,BC=（3,1,2）,诙二（冗—3,6）.若OE//平面形?，则x的值是

【答案】5

【解析】

【分析】由OE7/平面ABC,可得存在事实相,〃，使得方=/乩而+〃而，利用向量相等的性质列方

程即可得结果.

【详解】•・•"；//平面A6C,

•.・存在事实相，〃，使得DE=mAB+,?BC，

x=机+3n

,—3=5m+n,解得x=5.

6=-2ni+2n

故答案为5.

【点睛】本题考查了线面平行的坐标表示，以及向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查

利用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

14.如图，在棱长为1的正方体/WCO-4qGA中，M,N分别是棱A氏BC上的动点，且

|AS|=|两，则当平面片/N.与平面A3。。所成角的余弦值为g时，三棱锥M-818V的体积为

【答案】卷

【解析】

【分析1以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法结合面面角求出AM，再根据锥体的体积公式即

可得解.

【详解】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

设|加|二|诃|=«4£[05，

则必0M,O),N(a,l,0),4(1,1,1),

故丽=(々_1,]_4()),丽=(0,~,1),

设平面B、MN的法向量为n=(x,y,z),

n-MN=(a-l)x+(l-a)y=()

则有一,

n=(1Iz=0

令x=l,则y=l,z=〃-l,所以〃=(1,1，。一1),

因为z轴JL平面ABC。，

则可取平面438的法向量为正=(0,0,1),

13

解得〃=或(舍去),

所以I而1=1面=2,

2

““_I7_1111-1

=V=XXXXi=

故Vw-WBi-MNB---~—

J。乙J■

故答案为：—.

24

4

【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下:

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标;

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面

为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝

角，从而得到二面角的余弦值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线/过定点4（2,1）

（1）若直线/与直线x+2），-5=（）垂直，求直线/的方程;

（2）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程.

【答案】⑴2x-y-3=0

（2）x-2y=0或x+y-3=0

【解析】

【分析】（1）求出直线工+2），-5二。的斜率可得/的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.

（2）按直线/是否过原点分类讨论计算作答.

【小问1详解】

直线x+2y-5=0的斜率为一于是得直线/的斜率2=2,则），-1=2（工一2）,即2工一〉一3=0,

2

所以直线/的方程是：2人一），-3=0.

【小问2详解】

因直线/在两坐标轴上的截距相等，则当直线/过原点时，直线/的方程为：y=即x-2y=0,

YV21

当直线/不过原点时，设其方程为：一+2=1,则有一+—=1,解得。=3,此时，直线/的方程为:

aaaa

x+>-3=0,

所以直线/的方程为：x-2y=0或1+），-3=0.

16.已知空间三点ABC,三点的坐标分别是（2,-1,2）,（4,5,-1）,（一2,2,3）.

（1）求与通共线的单位向量.

（2）若小（斗且A3,C,P四点共面，求义，并求此时点尸到直线的距离.

…,（263、J263、

［答案］（1）或

（771）\171）

（2）2=1；-

2

【解析】

【分析】（1）设与通共线的单位向量为：=（x,y,z）,利用单位向量与平行向量的运算即可求解；

（2）利用四点共面求出=结合（1）知AP,〃=4,利用空间向量中点到线的距离公式

即可得解.

【小问1详解】

__.、UI皿

Q,4（2,—1,2）,5（4,5,-1），：.AB=（2,6,—3）>

22

•v1-—_—v-•_l---

77

设与;O共线的单位向量为;，=（Q,z）,贝叶XyZ，解得，6Y6

y=-或<y=--

—=—=--77

126-3

33

z=—z=—

77

，263、（263、

所以与丽共线的单位向量为或一不一不:；

1777）\711）

【小问2详解】

UlUuuu9.一、

QA8=（2,6,—3）,AC=（-4,3,1）,AP=\

I，7

2x-4y=-\

9

因为A,B,C,P四点共面，则A户=%4月+），AC,即《6x+3y=-，解得；1=1

-3x+y=2-2

263]

由（1）知，设直线A/3的单位方向向量为〃=

uim(91umr2963

又AP=-1—1,APu=----1—x—i—=4

2)7277

uimr5

点尸到直线4B的距离4=-(APu^=-

17.如图，正三棱柱ABC-A3c的棱长都为2,。为CG的中点.

（1）求证：JL平面A8Q；

（2）求直线CC与平面AR。所成角的大小；

（3）求点C到平面AB。的距离.

【答案】（1）详见解析；（2）;；（3）也.

42

【解析】

【分析】⑴以BC的中点。为原点，建立空间直角坐标系，求得用；血,8V的坐标，由

.8/5=0,A3；•ZM/=0证明:

（2）由（1）知：鬲=（12-百）是平面43。的一个法向量，设直线CG与平面AB。所成角为凡由

sint9

_,/\AB；-BC\

（3）根据吕。=（一2,0,0）,由、」画।求解.

【详解】（1）以的中点。为原点，建立如图所示空间直角坐标系:

则,4(0,0,同向1,0,0),0(-1』,0)昌(1,2,0)，4仙2,75),

所以人6=(1,2,->/5)1/5=(-2/,0),m=卜126),

因为福.肠=0,砾.%*=0,且5£>n网=3,

所以A4JL平面ABO；

(2)由(1)知：A8；=(12—71)是平面AB。的一个法向量，又CC；=(0,2,0),

设直线cq与平面AB。所成角为巴

.四衣；|4五

则”n一时同一丁有狗一万'

1T

因为0c0,—,

所以夕=出；

4

(3)因为宓=(—2,0,0),

|鬲..

2V2

则点C到平面ABD的距离为d=的二

业+2?+卜可2•

18.如图，己知三楂柱AZ?C—44C的侧棱与底面垂直，同4二AZ7=AC=2,BC=2BM,N分别

是CG，8c的中点，点P在线段4⑸上，且厮=之硒.

p

BONS；C

（1）证明：AMA.PN；

（2）当之取何值时，直线PN与平面AMN所成角。最小？

（3）是否存在点"，使得平面尸MV与平面48C所成的二面角的正弦值为叵，若存在，试确定点”的

6

位置，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）2=0

（3）存在，点。为上靠近A的四等分点

【解析】

【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直；

（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解:

（3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可.

【小问1详解】

因为AB=AC=2,BC=2B则A8?+AC?=BO?，即A414C，

如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系,

则A(0,0,2),B](2,0,2),M(0,2,1),N(l,1,0),

可得守=4M=(24,0,0),Q=羽+平=(0,0,2)+(2Z0,0)=(22,0,2),

即尸(24,0.2),PA?=(1-22,1,-2).

又因为=(0,2,1),可得词.丽=0,

所以无论义取何值，AM上PN.

【小问2详解】

由(1)可知：AM=(0,2,1),SV=(1,1,0),

所,AM=2y+z=0

设平面AMN的一个法向量为m=(x,y,z)，则•

th-AN=x+y=0

取y=l,则x=-l,z=-2,可得)=(一1』,一2)，

M历L2(X+2)

可得sin夕=cosPN,ni

I丽悯园(1-24)2+5

令=2+2,，42,3],则一"耳矛2.10/+15

2

所以当1=2,即；1=0时，6取得最小值，此时sin。二一.