2026年四川省北师大版高中数学高三上册第4章数列综合练习题

2026年四川省北师大版高中数学高三上册第4章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的前10项和S_10等于（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，得S_10=10/2[2×3+(10-1)×3/2]=180。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n(n≥2)，则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：递推展开b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则c_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故c_4=2^3=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3等于（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故e_3=2×3=6。6.已知数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：递推展开f_2=2×2+1=5，f_3=2×5+1=11，f_4=2×11+1=23，f_5=2×23+1=47。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则a_7+a_8+a_9等于（）A.24B.27C.30D.33解析：由等差数列性质a_1+a_3=2a_2，a_2+a_4=2a_3，得a_2=4，a_3=8，公差d=4，故a_7+a_8+a_9=3a_8=3(a_2+6d)=3×28=84。8.若数列{h_n}的前n项和为T_n=3^n-1，则h_4等于（）A.26B.27C.28D.29解析：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故h_4=2×3^3=54。9.在等比数列{p_n}中，若p_1+p_2+p_3=13，p_2+p_3+p_4=39，则该数列的公比q等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由p_1+p_2+p_3=p_1+p_1q+p_1q^2=13，p_2+p_3+p_4=p_1q+p_1q^2+p_1q^3=39，两式相除得1+q+q^2=3，解得q=2。10.已知数列{q_n}满足q_n=n(n+1)/2（n≥1），则q_1+q_2+...+q_5等于（）A.55B.60C.65D.70解析：q_n=n(n+1)/2，q_1+q_2+...+q_5=1×2/2+2×3/2+...+5×6/2=15+20+30+35+30=150。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2+2n，则该数列的通项公式a_n=________。解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=6n+3，当n=1时，a_1=S_1=5，故a_n=6n+3。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则该数列的前6项和S_6=________。解：由b_3=b_1q^2=8，得q=2，S_6=2(2^6-1)/1=126。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），则c_10=________。解：递推展开c_2=1+2=3，c_3=3+3=6，...，c_10=1+2+3+...+10=55。4.在等差数列{d_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的前12项和S_12=________。解：由a_7=a_4+3d=19，得d=3，a_1=a_4-3d=1，S_12=12/2[2×1+(12-1)×3]=234。5.若数列{e_n}的前n项和为T_n=n^2+n+1，则e_5=________。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n+1，故e_5=11。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=________。解：由f_4=f_2q^2=54，得q=3。7.若数列{g_n}满足g_1=3，g_n=g_{n-1}+2n（n≥2），则g_6=________。解：递推展开g_2=3+4=7，g_3=7+6=13，...，g_6=3+4+6+8+10+12=43。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=________。解：由a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5。9.若数列{i_n}的前n项和为U_n=2^n-1，则i_4=________。解：当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故i_4=8。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前7项和S_7=________。解：由j_3=j_1q^2=8，得q=2，S_7=1(2^7-1)/1=127。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q<0，则该数列的项数不可能为偶数。（×）解：如b_1=1，q=-1，则b_n=(-1)^(n-1)，项数为偶数时正负项各半。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+1（n≥2），则该数列是等差数列。（√）解：公差为1，故是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（√）解：由a_1+a_2+a_3=3a_2=12，得a_2=4。5.若数列{e_n}的前n项和为T_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故是等比数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则公比q可能为-3。（√）解：由f_4=f_2q^2=54，得q^2=9，q=±3。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前n项和为n(n+1)/2。（×）解：递推展开发现前n项和为n(n+1)/2+1。8.在等差数列{h_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的公差为3。（√）解：由a_7=a_4+3d=19，得d=3。9.若数列{i_n}的前n项和为U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解：当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前5项和S_5=31。（√）解：由j_3=j_1q^2=8，得q=2，S_5=1(2^5-1)/1=31。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=4n^2+2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=8n+2，当n=1时，a_1=S_1=6，故a_n=8n+2。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的公比q及前6项和S_6。解：由b_4=b_1q^3=32，得q=2，S_6=2(2^6-1)/1=126。3.若数列{c_n}满足c_1=3，c_n=2c_{n-1}+1（n≥2），求c_5的值。解：递推展开c_2=2×3+1=7，c_3=2×7+1=15，c_4=2×15+1=31，c_5=2×31+1=63。4.在等差数列{d_n}中，若a_3=7，a_6=15，求该数列的前10项和S_10。解：由a_6=a_3+3d=15，得d=4/3，a_1=a_3-2d=5，S_10=10/2[2×5+(10-1)×4/3]=220。5.若数列{e_n}的前n项和为T_n=n^2+n，求e_4的值。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n，故e_4=8。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_5=162，求该数列的公比q及前7项和S_7。解：由f_5=f_2q^3=162，得q=3，S_7=6(3^7-1)/2=3281。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+2n（n≥2），求g_1+g_2+...+g_6的值。解：递推展开g_2=g_1+4，g_3=g_1+6，...，g_6=g_1+20，故g_1+g_2+...+g_6=6g_1+84=6g_1+84。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3+a_4+a_5的值。解：由a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，得a_3=5，故a_3+a_4+a_5=3a_3=15。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量及前10年的总生产数量。解：由等差数列{a_n}，a_1=10，d=5，a_{10}=10+9×5=55，S_{10}=10/2[2×10+(10-1)×5]=325。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量及从2020年到2025年的总增长人口。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.1，b_5=100×1.1^5≈161.05，总增长人口=161.05-100=61.05万。3.某林场计划每年比上一年多植树1000棵，已知第一年植树5000棵，求第8年植树数量及前8年的总植树数量。解：由等差数列{c_n}，a_1=5000，d=1000，c_8=5000+7×1000=9000，S_8=8/2[2×5000+(8-1)×1000]=48000。4.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2025年成本及从2020年到2025年的总成本变化。解：由等比数列{d_n}，d_1=100，q=0.95，d_5=100×0.95^5≈77.38，总成本变化=100-77.38=22.62元。5.某企业员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为8000元，求2025年工资及从2020年到2025年的总工资变化。解：由等比数列{e_n}，e_1=8000，q=1.08，e_5=8000×1.08^5≈12100.49，总工资变化=12100.49-8000=4100.49元。6.某城市道路建设每年比上一年增加2公里，已知第一年建设道路6公里，求第10年建设道路数量及前10年的总建设数量。解：由等差数列{f_n}，a_1=6，d=2，f_{10}=6+9×2=24，S_{10}=10/2[2×6+(10-1)×2]=140。7.某农场产量增长率每年为6%，已知2020年产量为100吨，求2025年产量及从2020年到2025年的总增长产量。解：由等比数列{g_n}，g_1=100，q=1.06，g_5=100×1.06^5≈133.82，总增长产量=133.82-100=33.82吨。8.某科技公司研发投入每年增加20%，已知2020年投入500万元，求2025年投入及从2020年到2025年的总投入变化。解：由等比数列{h_n}，h_1=500，q=1.2，h_5=500×1.2^5≈2488.32，总投入变化=2488.32-500=1988.32万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.A5.B6.A7.D8.A9.B10.B解析：1.由等差数列通项公式及前n项和公式联立求解；2.递推展开计算；3.利用前n项和公式求通项；4.由等比数列通项公式联立求解；5.利用前n项和公式求通项；6.递推展开计算；7.利用等差数列性质及前n项和公式联立求解；8.利用前n项和公式求通项；9.由等比数列性质及前n项和公式联立求解；10.利用前n项和公式求通项后求和。二、填空题1.6n+32.1273.554.2345.116.37.438.59.810.127解析：1.由前n项和公式求通项；2.由等比数列通项公式及前n项和公式联立求解；3.递推展开计算；4.利用等差数列性质及前n项和公式联立求解；5.利用前n项和公式求通项；6.由等比数列通项公式联立求解；7.递推展开计算；8.利用等差数列性质及前n项和公式联立求解；9.利用前n项和公式求通项；10.由等比数列通项公式及前n项和公式联立求解。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√解析：1.由前n项和公式求通项验证；2.举反例验证；3.递推展开验证；4.利用等差数列性质验证；5.利用前n项和公式求通项验证；6.由等比数列通项公式联立求解验证；7.递推展开验证；8.利用等差数列性质及前n项和公式联立求解验证；9.利用前n项和公式求通项验证；10.由等比数列通项公式及前n项和公式联立求解验证。四、简答题1.解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=8n+2，当n=1时，a_1=S_1=6，故a_n=8n+2。2.解：由b_4=b_1q^3=32，得q=2，S_6=2(2^6-1)/1=126。3.解：递推展开c_2=2×3+1=7，c_3=2×7+1=15，c_4=2×15+1=31，c_5=2×31+1=63。4.解：由a_6=a_3+3d=15，得d=4/3，a_1=a_3-2d=5，S_10=10/2[2×5+(10-1)×4/3]=220。5.解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n，故e_4=8。6.解：由f_5=f_2q^3=162，得q=3，S_7=6(3^7-1)/2=3281。7.解：递推展开g_2=g_1+4，g_3=g_1+6，...，g_6=g_1+20，故g_1+g_2+...+g_6=6g_1+84。