第七章多元函数微积分

第七章多元函数微积分

第一节空间解析几何简介

第二节多元函数的基本概念

第三节偏导数和全微分

第四节多元复合函数求导法则主要内容：第六节

多元函数的极值第七节二重积分的概念和性质第八节二重积分的计算第九节对坐标的曲线积分第五节隐函数的求导法则第一节空间解析几何简介

一、空间直角坐标系

二、空间两点间的距离

三、空间曲面及其方程

四、二次曲面

主要内容

基本要求

了解空间直角坐标系，空间点的坐标；掌握空间两点间的距离公式了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面及常见曲面方程作出其图形重点

由平面及常见曲面方程作出其图形

一、空间直角坐标系O

x

y

Ⅰ

Ⅳ

ⅤⅥⅦ

Ⅷ

Ⅱ

Ⅲz

二、空间两点间的距离公式

三、空间曲面及其方程

1、曲面方程的概念z

O

x

y2

zO

x

y

1

z

O

x

y

1

1

A

B

C

c

a

b

z

O

x

y

3、母线平行于坐标轴的柱面x

y

O

zyOx

z

y

Ox

z

4、旋转曲面O1

O

M)

,

,

0

(

1

1

1

z

y

M

x

y

z

四、二次曲面z

x

y

Oz

x

y

O

O

y

x

z

z

O

x

y

第二节多元函数的基本概念一、多元函数

二、二元函数的极限与连续性

主要内容

基本要求

理解平面区域的有关概念；理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示；了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续性

重点

二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念1.实例分析

一、多元函数

１．二元函数的定义

O

2

2

2

a

y

x

=

+

y

x

a

a

yO

xx

O

1

3

y2.二元函数的几何表示

y

x

z

O

X

Y

M

D

P

x

y

z

O

z=1-x-y

z

2

2

y

x

z

+

=

x

y

O

y

x

z

R

R

R

O

1.二元函数的极限

二、二元函数的极限与连续性第三节偏导数和全微分

一、偏导数

二、高阶偏导数

三、全微分

主要内容

基本要求

理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法；理解高阶偏导数的概念并掌握求法；了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法

重点

多元函数偏导数和全微分的运算一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分

1、全微分的定义第四节多元复合函数求导法则

基本要求

理解多元复合函数的概念；掌握求多元复合函数偏导数的链导法则，并会求多元复合函数（包括抽象函数）的偏导数。

重点

多元复合函数偏导数的链导法则z

u

x

y

y

z

u

v

w

x

y

x

y

u

v

w

z

u

x

x

y

z

u

v

x

基本要求

理解多元隐函数的概念；掌握求多元复合函数偏导数的运算方法。

重点

多元隐函数偏导数运算一、多元函数的极值

二、二元函数的最大值与最小值

三、条件极值

第六节多元函数的极值

基本要求

理解多元函极值数的概念；掌握二元函数极值的求法（限于两个偏导数存在的条件下）。

重点

二元函数极值的求法；实际问题中多元函数的最大值和最小值，条件极值。

掌握多元函数最大值和最小值的求法及其实际应用。

一、多元函数的极值O

x

y

zx

y

z

1

1

Oy

x

z

O

二、二元函数的最大值与最小值O

y

x

4

4

4

=

+

y

x

x

y

z

三、条件极值思考

第七节二重积分的概念与性质

基本要求

理解二重积分的概念和几何意义；了解二重积分的基本性质。

重点

二重积分的概念和几何意义一、二重积分的概念xzOyD2．二重积分的概念3．二重积分的性质第八节二重积分的计算一、利用直角坐标计算

二、利用极坐标计算

主要内容

基本要求：

会计算较简单的二重积分

重点：

二重积分的计算三、二重积分应用举例一、利用直角坐标计算二重积分

y

x

O

x

abD

(a)（ｂ）上式也可简记为

②O

y

x

)

(

2

y

x

x

=

=

x

)

(

1

y

x

c

d

D

（1）累次积分的下限必须小于上限;

Oy

x

ⅠⅢDⅡ注意Oyx

D

1

1

x

O

y

x

D

2

y

x

=

2

+

=

y

x

1

-

2

)

1

,

1

(

-

A

)

2

,

4

(

B

O

yxD

此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。注此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出来”的积分。说明1.极坐标系下的面积元素二、利用极坐标系计算二重积分

O

x

s

d

q

d

r

r

d

q

d

q

(a)

2.极坐标系下化二重积分为累次积分

(b)

O

x

b

a

)

(

1

q

r

r

=

)

(

2

q

r

r

=

O

x

q

)

(

q

r

r

=

y

x

O

q

D

q

cos

2

R

r

=

R

2

2

y

x

1

O

x

y

O

D

4

z

三、二重积分应用举例2、求立体的体积主要依据：二重积分的几何意义，如例8解如图所示3、求平面薄板的质量

第九节对坐标的曲线积分一、概念及性质二、对坐标的曲线积分的计算三、格林公式及其应用四、曲线积分与路径无关的条件

基本要求

了解对坐标的曲线积分的概念；掌握对坐标的曲线积分的计算；了解格林公式，理解曲线积分与路径无关的条件并会应用其计算曲线积分。

重点

曲线积分的计算第四节对坐标的曲线积分一、概念及性质

O

dx

dy

i

M

A

B

1

-

i

M

l

d

x

y

2.定义3.性质

二、对坐标的曲线积分的计算

O

x

y

A(a,0)

B(0,b)

Ox

y

A(1,0)B(1,1)

区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个方向行走时,区域D总在其左侧,则该方向即为L的正