高中数学《线性规划中增加变量与约束》教学设计

高中数学《线性规划中增加变量与约束》教学设计一、教学目标（一）知识与技能目标１．【基础】理解线性规划问题中“增加新的决策变量”和“增加新的约束条件”的实际背景与数学含义。能够准确识别在原问题最优解基础上引入新变量或新约束后，原最优解可能发生的变化。２．【重要】掌握灵敏度分析中关于增加新变量和新约束的判别准则与计算方法。能够通过计算检验数（或称为ReducedCost）判断新变量在当前最优基下的状态（是否为进基变量），以及通过检验新约束在当前最优解处的满足情况（是否破坏可行性）来判断最优解是否需要调整。３．【核心】熟练掌握当新变量或新约束导致原最优解失效时，利用对偶单纯形法或单纯形法进行迭代求解，直至找到新最优解的全过程。４．能够运用所学知识，解决简单的生产计划调整、资源新增或工艺改进等实际管理决策问题，提升数学建模与计算求解的综合能力。（二）过程与方法目标１．通过对“增加变量”和“增加约束”问题的探究，引导学生经历“问题引入—理论分析—算法设计—求解验证”的科学探究过程，培养逻辑推理与数学运算能力。２．运用对比分析的方法，比较增加变量与增加约束对原问题最优解影响的异同，深化对单纯形法和对偶单纯形法适用条件的理解。３．通过小组讨论和案例分析，培养学生运用运筹学思想解决复杂决策问题的能力，以及在动态环境下进行优化调整的应变思维。（三）情感、态度与价值观目标１．感悟数学（运筹学）在企业管理、经济规划等领域中的精准指导作用，认识到现实决策环境是动态变化的，优化方案也需随之调整，培养与时俱进的科学决策观。２．在求解过程中，培养学生严谨细致、精益求精的治学态度和勇于探索、克服困难的意志品质。３．通过对资源优化配置的学习，增强学生的资源节约意识和系统优化思想。二、教学重难点（一）教学重点１．【非常重要】增加一个新变量后，判断该变量是否能使原最优解得到改善的检验方法。核心是计算该变量在最终单纯形表中的检验数。２．【非常重要】增加一个新约束后，判断原最优解是否仍然可行的检验方法。核心是将原最优解代入新约束，验证其是否满足。３．【高频考点】当原最优解不再最优或不再可行时，运用单纯形法或对偶单纯形法进行迭代求解的步骤。（二）教学难点１．【难点】深刻理解增加新变量时，其系数列向量为何要用原最优基的逆矩阵进行变换，从而得到其在最终单纯形表中的技术系数和检验数。２．【难点】对增加新约束后，引入松弛变量或人工变量将其转化为标准形式，并与原最终单纯形表进行衔接的技巧。３．【难点】区分在何种情况下使用单纯形法，在何种情况下使用对偶单纯形法，并能正确选择。三、教学方法与准备（一）教学方法１．讲授法：系统讲解增加变量与约束的理论推导和基本步骤。２．案例教学法：以一个典型的生产计划问题为背景，贯穿整个教学过程，使理论与实践紧密结合。３．启发式教学法：通过设置问题链，引导学生思考“为什么这样做”、“下一步该怎么办”，激发学生的主动探索精神。４．讨论法：组织学生分组讨论不同情境下的求解策略，促进思维碰撞。（二）教学准备１．教师：精心制作多媒体课件（PPT），清晰展示推导过程和单纯形表迭代步骤。设计好课堂练习题目和课后拓展案例。２．学生：复习线性规划的标准形式、单纯形法的基本原理、对偶单纯形法的基本原理、最优性检验与可行性检验的概念。预习教材相关章节。四、教学过程（一）创设情境，导入新课（约5分钟）【基础引入】教师活动：通过多媒体展示一个典型的生产计划问题。某工厂利用甲、乙两种资源生产A、B两种产品。其数学模型如下：目标函数：Max

z=3x1+5x2\{Max}z=3x_1+5x_2Max

z=3x1​+5x2​约束条件：x1≤8x_1\le8x1​≤82x2≤122x_2\le122x2​≤123x1+4x2≤363x_1+4x_2\le363x1​+4x2​≤36x1,x2≥0x_1,x_2\ge0x1​,x2​≥0教师：同学们，这是我们上节课已经求解过的一个线性规划问题，它的最优解是X∗=(4,6)X^=(4,6)X∗=(4,6)，最优值z∗=42z^=42z∗=42。这个方案指导着工厂当前的生产。但是，现实经营环境是动态变化的。问题引导：１．如果工厂研发部门开发出了一项新技术，可以用来生产一种新产品C，那么原有的最优生产计划是否需要调整？如何调整？２．如果因为环保要求，工厂需要增加一个新的排污总量约束，那么原有的最优生产计划是否依然可行？如果不可行，又该如何调整？这两个问题，正是我们今天要深入探讨的核心内容——在线性规划中增加新的变量和增加新的约束。这属于灵敏度分析中非常重要的两个模块。它教会我们如何在原有最优解的基础上，以最小的计算代价，适应新的变化。（二）新知探究一：增加新的变量（约20分钟）【核心环节】１．问题情境与建模承上启下：假设在上述问题中，工厂考虑生产一种新产品C，已知生产1单位C产品需要消耗甲、乙两种资源分别为2单位和1单位，并且需要消耗一种新的资源（技术资源）1单位，而该新资源的现有量为5单位。产品C的单位利润为4元。问：原来的最优生产计划（只生产A和B）是否需要改变？教师引导学生建立模型：原问题的最终单纯形表（最优表）是我们分析的基础。我们需要先求出原问题的最优表。（此处，教师应带领学生快速回顾并计算出原问题的最优单纯形表，假设已经求出，结果如下表所示。表中x3,x4,x5x_3,x_4,x_5x3​,x4​,x5​分别为三个约束的松弛变量。）原问题最优单纯形表：基变量x1x_1x1​x2x_2x2​x3x_3x3​x4x_4x4​x5x_5x5​解x3x_3x3​00121/22x1x_1x1​1002/31/34x2x_2x2​0101/206σj\sigma_jσj​00011z=42z=42z=42其中，σj\sigma_jσj​表示检验数，σ1=σ2=0\sigma_1=\sigma_2=0σ1​=σ2​=0，σ3=0\sigma_3=0σ3​=0，σ4=−1\sigma_4=1σ4​=−1，σ5=−1\sigma_5=1σ5​=−1。基变量为x3,x1,x2x_3,x_1,x_2x3​,x1​,x2​。最优基的逆矩阵B−1B^{1}B−1可以从最终表中松弛变量x3,x4,x5x_3,x_4,x_5x3​,x4​,x5​对应的系数矩阵的列得到，即B−1=[12−1/20−2/31/301/20]B^{1}=\begin{bmatrix}121/2\\02/31/3\\01/20\end{bmatrix}B−1=<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​100​2−2/31/2​−1/21/30​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​。（教师需解释如何从最终表中读出B−1B^{1}B−1）２．理论分析：新变量的影响设新变量为x6x_6x6​（代表产品C的产量）。它在原问题中的系数列向量为P6=[211]P_6=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}P6​=<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​211​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​，价值系数为c6=4c_6=4c6​=4。【重要】问题：新变量x6x_6x6​的引入，是否会改变原问题的最优解？关键在于，在当前最优基BBB下，如果让x6x_6x6​成为基变量（即生产产品C），能否使目标函数值变得更大？这需要计算x6x_6x6​在当前最优表中的“等效”检验数σ6′\sigma_6'σ6′​。如果σ6′≤0\sigma_6'\le0σ6′​≤0（对于最大化问题），则引入x6x_6x6​无益，原最优解不变；如果σ6′>0\sigma_6'>0σ6′​>0，则x6x_6x6​可以进基，原最优解需要调整。【难点突破】σ6′\sigma_6'σ6′​的计算公式为：σ6′=c6−CBB−1P6\sigma_6'=c_6C_BB^{1}P_6σ6′​=c6​−CB​B−1P6​其中，CBC_BCB​是当前最优基对应的价值系数向量。从最优表可知，基变量为x3,x1,x2x_3,x_1,x_2x3​,x1​,x2​，其价值系数分别为0,3,50,3,50,3,5，所以CB=(0,3,5)C_B=(0,3,5)CB​=(0,3,5)。３．计算与判别第一步：计算y=CBB−1y=C_BB^{1}y=CB​B−1。这实际上就是最优表中松弛变量对应的检验数的相反数。从最优表可知，σ4=−1\sigma_4=1σ4​=−1，σ5=−1\sigma_5=1σ5​=−1，σ3=0\sigma_3=0σ3​=0。因此，y1y_1y1​（对应第一个约束的对偶变量）为−(σ3的系数?)(\sigma_3的系数?)−(σ3​的系数?)需要精确。更直接地，我们利用B−1B^{1}B−1进行计算：y=CBB−1=(0,3,5)[12−1/20−2/31/301/20]y=C_BB^{1}=(0,3,5)\begin{bmatrix}121/2\\02/31/3\\01/20\end{bmatrix}y=CB​B−1=(0,3,5)<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​100​2−2/31/2​−1/21/30​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​先计算yyy的第一个分量：0×1+3×0+5×0=00\times1+3\times0+5\times0=00×1+3×0+5×0=0第二个分量：0×2+3×(−2/3)+5×(1/2)=0−2+2.5=0.50\times2+3\times(2/3)+5\times(1/2)=02+2.5=0.50×2+3×(−2/3)+5×(1/2)=0−2+2.5=0.5第三个分量：0×(−1/2)+3×(1/3)+5×0=0+1+0=10\times(1/2)+3\times(1/3)+5\times0=0+1+0=10×(−1/2)+3×(1/3)+5×0=0+1+0=1所以y=(0,0.5,1)y=(0,0.5,1)y=(0,0.5,1)。这个yyy就是原问题的最优对偶解（影子价格）。第二步：计算检验数σ6′=c6−yP6=4−(0,0.5,1)[211]=4−(0×2+0.5×1+1×1)=4−(0+0.5+1)=4−1.5=2.5\sigma_6'=c_6yP_6=4(0,0.5,1)\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}=4(0\times2+0.5\times1+1\times1)=4(0+0.5+1)=41.5=2.5σ6′​=c6​−yP6​=4−(0,0.5,1)<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​211​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​=4−(0×2+0.5×1+1×1)=4−(0+0.5+1)=4−1.5=2.5第三步：判别。因为σ6′=2.5>0\sigma_6'=2.5>0σ6′​=2.5>0，所以引入新产品C是有利可图的，原最优解不再最优，需要进行迭代调整。４．调整与迭代求解【核心步骤】要将x6x_6x6​引入单纯形表进行迭代，我们还需要知道它在当前最优表中的技术系数列向量P6′P_6'P6′​。计算公式为：P6′=B−1P6=[12−1/20−2/31/301/20][211]=[1×2+2×1+(−1/2)×10×2+(−2/3)×1+(1/3)×10×2+(1/2)×1+0×1]=[2+2−0.50−2/3+1/30+0.5+0]=[3.5−1/30.5]P_6'=B^{1}P_6=\begin{bmatrix}121/2\\02/31/3\\01/20\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times2+2\times1+(1/2)\times1\\0\times2+(2/3)\times1+(1/3)\times1\\0\times2+(1/2)\times1+0\times1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2+20.5\\02/3+1/3\\0+0.5+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3.5\\1/3\\0.5\end{bmatrix}P6′​=B−1P6​=<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​100​2−2/31/2​−1/21/30​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​211​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​=<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​1×2+2×1+(−1/2)×10×2+(−2/3)×1+(1/3)×10×2+(1/2)×1+0×1​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​=<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​2+2−0.50−2/3+1/30+0.5+0​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​=<pathd="MV84H666V0H319V1759v0v1759h347v84H403zMV0H319V1759v0v1759h84z">​3.5−1/30.5​<pathd="MV0H0V84H263V1759v0v1759H0v84H347zMV0H263V1759v0v1759h84z">​现在，我们将x6x_6x6​及其计算出的检验数和技术系数列添加到原最优单纯形表中，得到新表（表1）。表1：引入新变量x6x_6x6​后的初始表基变量x1x_1x1​x2x_2x2​x3x_3x3​x4x_4x4​x5x_5x5​x6x_6x6​解x3x_3x3​00121/23.52x1x_1x1​1002/31/31/34x2x_2x2​0101/200.56σj\sigma_jσj​000112.5z=42z=42z=42由于σ6=2.5>0\sigma_6=2.5>0σ6​=2.5>0，且其对应的列向量中，第一行和第三行有正分量（3.5和0.5），根据单纯形法，确定x6x_6x6​为进基变量。计算θ\thetaθ规则，确定出基变量。θ=min⁡{23.5,60.5}=min⁡{0.57,12}=0.57\theta=\min\left\{\frac{2}{3.5},\frac{6}{0.5}\right\}=\min\{0.57,12\}=0.57θ=min{3.52​,0.56​}=min{0.57,12}=0.57，对应第一行。因此，第一行的基变量x3x_3x3​出基，x6x_6x6​进基。以a16=3.5a_{16}=3.5a16​=3.5为主元进行迭代（高斯消元）。（此处，教师应详细演示迭代过程，将第一行除以3.5，然后消去其他行x6x_6x6​的系数，并更新检验数行。最终得到新的最优表，如下表2所示。）表2：迭代后的新最优表基变量x1x_1x1​x2x_2x2​x3x_3x3​x4x_4x4​x5x_5x5​x6x_6x6​解x6x_6x6​002/74/71/714/7x1x_1x1​101/2110/212/7088/21x2x_2x2​011/73/141/14040/7σj\sigma_jσj​005/717/75/70z=44z=44z=44（计算过程需精确，例如新的z=42+2.5×(2/3.5)=42+2.5×0.57...=440.57...2.5\times(2/3.5)=42+2.5\times0.57...=440.57...=×(2/3.5)=42+2.5×0.57...=44，最终z=44z=44z=44）结论：新最优解为x1=88/21,x2=40/7,x6=4/7x_1=88/21,x_2=40/7,x_6=4/7x1​=88/21,x2​=40/7,x6​=4/7，最优值提高到44。应调整生产计划，生产新产品C。（三）新知探究二：增加新的约束（约20分钟）【核心环节】１．问题情境与建模继续使用原问题。假设由于环保政策收紧，工厂需要增加一个排污总量的约束。已知每生产1单位A产品排放3单位污染物，每生产1单位B产品排放1单位污染物，工厂每天允许的排污总量不得超过15单位。问：新的环保约束对原最优生产计划X∗=(4,6)X^=(4,6)X∗=(4,6)有何影响？建立新约束：3x1+x2≤153x_1+x_2\le153x1​+x2​≤15。２．理论分析与判别【重要】第一步：可行性检验。将原最优解x1=4,x2=6x_1=4,x_2=6x1​=4,x2​=6代入新约束：左边=3×4+1×6=12+6=18=3\times4+1\times6=12+6=18=3×4+1×6=12+6=18，右边=15=15=15。因为18>1518>1518>15，所以原最优解不满足新约束，即原最优解对新的问题而言是不可行的。因此，必须在原问题的基础上增加此约束，并寻找新的可行最优解。第二步：引入松弛变量，标准化。引入松弛变量x6≥0x_6\ge0x6​≥0，将新约束化为等式：3x1+x2+x6=153x_1+x_2+x_6=153x1​+x2​+x6​=15。第三步：将新约束接入原最优表。这是关键一步。我们需要在原最优表的基础上，增加一行和一列（对应新松弛变量x6x_6x6​），构建一个新的单纯形表。注意，新表中基变量需要扩充，原基变量x3,x1,x2x_3,x_1,x_2x3​,x1​,x2​仍为基变量，同时新加入的x6x_6x6​应该作为基变量，但它对应的方程需要根据原最优表进行变换，因为原表中的变量值是由非基变量表示的。原最优表的约束方程（用非基变量x4,x5x_4,x_5x4​,x5​表示基变量）为：x3=2−2x4+12x5x_3=22x_4+\frac{1}{2}x_5x3​=2−2x4​+21​x5​x1=4+23x4−13x5x_1=4+\frac{2}{3}x_4\frac{1}{3}x_5x1​=4+32​x4​−31​x5​x2=6−12x4+0x5x_2=6\frac{1}{2}x_4+0x_5x2​=6−21​x4​+0x5​将x1,x2x_1,x_2x1​,x2​用非基变量表示的式子代入新约束：3(4+23x4−13x5)+(6−12x4)+x6=153(4+\frac{2}{3}x_4\frac{1}{3}x_5)+(6\frac{1}{2}x_4)+x_6=153(4+32​x4​−31​x5​)+(6−21​x4​)+x6​=15化简：12+2x4−x5+6−12x4+x6=1512+2x_4x_5+6\frac{1}{2}x_4+x_6=1512+2x4​−x5​+6−21​x4​+x6​=1518+32x4−x5+x6=1518+\frac{3}{2}x_4x_5+x_6=1518+23​x4​−x5​+x6​=15移项，得到用非基变量表示x6x_6x6​的式子：x6=15−18−32x4+x5=−3−32x4+x5x_6=1518\frac{3}{2}x_4+x_5=3\frac{3}{2}x_4+x_5x6​=15−18−23​x4​+x5​=−3−23​x4​+x5​３．构建新表与迭代求解根据以上推导，我们可以构建新的单纯形表（表3）。注意，表中的常数项b列，对于x3,x1,x2x_3,x_1,x_2x3​,x1​,x2​行保持不变（2,4,6），对于新x6x_6x6​行，常数项为3。新表的结构如下：表3：增加新约束后的初始表基变量x1x_1x1​x2x_2x2​x3x_3x3​x4x_4x4​x5x_5x5​x6x_6x6​解x3x_3x3​00121/202x1x_1x1​1002/31/304x2x_2x2​0101/2006x6x_6x6​0003/2113σj\sigma_jσj​000110z=42z=42z=42观察此表，检验数行全部≤0\le0≤0（对于最大化问题，这表明从最优性角度，当前的基（x3,x1,x2,x6x_3,x_1,x_2,x_6x3​,x1​,x2​,x6​）是满足最优性条件的）。但是，基本解中，x6=−3x_6=3x6​=−3，不满足非负条件，即解不可行。这正是对偶单纯形法应用的典型场景：保持对偶可行性（检验数非正），恢复原始可行性。【重点】应用对偶单纯形法：第一步：确定出基变量。选择b列中最小的负数，即x6x_6x6​行对应的3，因此x6x_6x6​出基。第二步：确定进基变量。检查出基行（x6x_6x6​行）中，系数为负的列（因为我们要通过除以负系数来使比值非负）。该行中，x4x_4x4​的系数为3/2（负），x5x_5x5​的系数为1（正）。只有负系数的列x4x_4x4​可以作为候选进基变量。计算比值θ=min⁡i{σjaij∣aij<0}\theta=\min_i\left\{\frac{\sigma_j}{a_{ij}}|a_{ij}<0\right\}θ=mini​{aij​σj​​∣aij​<0}。这里只有x4x_4x4​列，a6,4=−3/2a_{6,4}=3/2a6,4​=−3/2，σ4=−1\sigma_4=1σ4​=−1。比值为−1−3/2=23\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}−3/2−1​=32​。因此x4x_4x4​进基。第三步：迭代。以a6,4=−3/2a_{6,4}=3/2a6,4​=−3/2为主元进行旋转运算。将x6x_6x6​行除以3/2，使主元变为1，然后消去其他行中x4x_4x4​的系数。（教师详细演示对偶单纯形法的迭代过程。最终得到新的最优表，如表4所示。）表4：对偶单纯形法迭代后的新最优表基变量x1x_1x1​x2x_2x2​x3x_3x3​x4x_4x4​x5x_5x5​x6x_6x6​解x3x_3x3​00105/64/32?(需重新计算)x1x_1x1​10001/94/9?x2x_2x2​01001/61/3?x4x_4x4​00012/32/32σj\sigma_jσj​00005/32/3z=40z=40z=40（精确计算过程：以a64=−3/2a_{64}=3/2a64​=−3/2为主元，将x6x_6x6​行变换为x4x_4x4​行：新行=x6x_6x6​行÷(3/2)，得到新行系数为(0,0,0,1,2/3,2/3,2)。然后用这个新行去消去其他行中的x4x_4x4​系数。例如，在x1x_1x1​行，x4x_4x4​系数为2/3，要消去它，操作是：新x1x_1x1​行=原x1x_1x1​行(2/3)新x4x_4x4​行。计算后，b列应为正数。新的检验数行也需相应更新。最终z值减少为40。）最终得到新的可行最优解，目标函数值降为40。这意味着增加环保约束后，工厂需要减产，利润下降。（四）对比总结与深化理解（约10分钟）教师引导学生从以下几个方面进行对比总结：比较维度增加新变量增加新约束【重要】核心影响可能改变最优性可能改变可行性初始判别依据计算新变量的检验数σ′\sigma'σ′将原最优解代入新约束判别结果与应对σ′≤0\sigma'\le0σ′≤0：原最优解不变。σ′>0\sigma'>0σ′>0：原解非最优，用单纯形法继续迭代。满足新约束：原最优解不变。不满足：原解不可行，用对偶单纯形法恢复可行性。所用算法单纯形法对偶单纯形法【高频考点】计算核心σ′=cj−CBB−1Pj\sigma'=c_jC_BB^{1}P_jσ′=cj​−CB​B−1Pj​和Pj′=B−1PjP'_j=B^{1}P_jPj′​=B−1Pj​将新约束用当前非基变量表示，并入原表，处理可能出现的不可行解。（五）巩固练习与课堂讨论（约7分钟）练习题：在原有生产问题基础上，请学生独立