小学五年级数学《除数是整数的小数除法》核心素养导向教案

小学五年级数学《除数是整数的小数除法》核心素养导向教案

一、设计理念与理论依据

（一）核心理念：从“算法操练”到“算理建构”的范式转型

本设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，超越传统教学中对计算程序的机械记忆与重复训练，致力于引导学生深入理解运算的本质。小数除法不仅是整数除法法则的简单延伸，更是计数单位体系的一次重要拓展。学生将在此过程中经历从“整数计数单位”（个、十、百）到“小数计数单位”（十分之一、百分之一）的认知飞跃，理解除法运算中“均分”的实质是对计数单位的细分与重组。本教案将“数的运算”与“数的认识”深度融合，引导学生在解决问题的过程中，自主建构对小数除法算理的理解，发展运算能力和推理意识。

（二）理论框架：基于认知冲突的建构主义学习路径

依据维果茨基的“最近发展区”理论及皮亚杰的认知发展理论，五年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们对整数除法已有稳固认知，但对小数意义的理解，特别是小数作为“数”而非仅仅是“带点的数”的认知仍需深化。本设计将有意创设认知冲突情境（如：余数怎么办？商的小数点如何定位？），促使学生在冲突、探究、协商与反思中，完成对小数除法算理的意义建构。学习过程被设计为一个“问题产生—探究尝试—概括提炼—迁移应用”的螺旋上升回路。

（三）跨学科视野：数学思维作为通用思维模式的渗透

数学教育不仅是学科知识的传授，更是思维方式的培育。本课所涉及的“细分单位”、“化归转化”（将未知转化为已知）、“精确表达”等数学思想，与科学中的测量分析、语文中的精准描述、艺术中的比例构图乃至社会生活中的资源分配问题内在相通。教学设计将有机融入与生活、科学、经济相关的真实问题背景，让学生体验数学作为一门通用语言和思维工具的力量，培养其跨学科解决复杂问题的初步意识。

二、教学前端分析

（一）教材纵向解构：承上启下的知识节点

在青岛版五四制教材体系中，本课处于数与代数领域的关键枢纽位置。

1.知识基础：学生已牢固掌握整数乘除法（包括试商、调商）、小数的意义和性质、小数加减法计算。特别是对“小数是十进制分数”的另一种表示形式有初步感知，理解小数点移动引起小数大小变化的规律。

2.核心地位：本节课是学生首次系统学习小数除法运算。它既是整数除法向小数领域的自然延伸，又为后续学习除数是小数的除法（利用商不变性质转化）奠定不可或缺的算理基础。其中，“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一核心法则，其本质源于“相同计数单位才能直接相除”的算理。

3.后续发展：本节课积累的“按计数单位细分”的活动经验，将直接迁移到小数四则混合运算、解决实际问题，乃至中学学习有理数、实数运算的思维模型中。

（二）学情精准诊断：潜在迷思与思维跃升点

通过对五年级学生典型的认知结构和思维特点进行分析，预设如下：

1.已有经验的正迁移：学生能熟练进行整数除法竖式计算，理解“从高位除起”、“除到哪一位，商就写在那一位上面”、“余数要比除数小”等规则。这为小数除法的算法探索提供了良好的脚手架。

2.关键认知冲突点（迷思概念）：

1.3.冲突一：余数处理：当整数部分除完后有余数，学生容易陷入“运算结束”或“随意处理余数”的困境，无法自然联想到可以将余数转化为更小的计数单位继续除。

2.4.冲突二：小数点定位：商的小数点位置是记忆规则还是理解其必然性？学生易模仿对齐，但难以理解“为什么小数点要对齐”，其本质是对“被除数与商的计数单位对应关系”模糊。

3.5.冲突三：商小于1的情况：当被除数整数部分小于除数时，商的整数位得“0”，这一步骤在整数除法中不常见，学生极易遗漏。

6.思维发展可能性：通过本课学习，学生有望实现从“程序性操作”到“概念性理解”的跃迁，即不仅“会算”，更能“说理”，理解每一步运算背后的数学原理，形成对除法运算一致性（整数、小数、未来的分数）的初步感悟。

（三）核心素养目标细化

依据课标，结合本课内容，设定可观测、可评价的核心素养发展目标：

1.运算能力：能正确笔算除数是整数的小数除法，理解并掌握“商的小数点与被除数的小数点对齐”的算法，并能合理处理计算过程中商的整数部分为“0”及有余数需添“0”继续除的情况。

2.推理意识：在探索小数除法计算方法的过程中，能基于整数除法的经验和小数的意义，通过操作、类比、说理等方式，合情推理出计算法则，并能解释关键步骤（如小数点定位）的合理性。

3.几何直观/模型意识：借助人民币模型（元角分）、长度模型（米、分米、厘米）、面积模型等直观载体，将抽象的算理具体化、可视化，建立数学模型（竖式）与现实情境的联系。

4.应用意识：能在真实或模拟的现实情境（如购物预算、材料均分、数据统计）中识别出小数除法问题，并运用所学知识解决问题，体会数学的实际价值。

三、教学重难点及突破策略

1.教学重点：理解并掌握除数是整数的小数除法的计算方法，重点是理解算理。

2.教学难点：理解商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐；理解在余数后面添“0”继续除的原理。

3.突破策略：

1.4.具身化操作：设计“分钱”、“分彩带”、“分方格纸”等操作性活动，让“余数转化计数单位”的过程看得见、摸得着。

2.5.多表征联动：贯穿“情境叙事—实物操作—图形表征—算式记录—竖式抽象”的多重表征路径，促进学生对算理的深度理解。

3.6.关键问题链驱动：以“余下的1元怎么分？”“这个‘7’表示7个什么？”“商的小数点写在哪里？为什么？”等系列问题，撬动思维深化。

4.7.对比沟通：将整数除法竖式与小数除法竖式进行结构对比，发现“从高位除起”、“一位一位地除”的一致性，以及“计数单位细分”的特殊性，构建知识网络。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含问题情境动画、动态演示分的过程、竖式步骤分解图）；探究学习单；人民币学具（仿真纸币/硬币或图片）；彩带实物或纸条；方格纸。

2.学生准备：常规文具；每小组一套人民币学具和彩带模型。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，孕伏算理——在真实问题中激活经验（约12分钟）

1.情境导入，提出问题

1.【课件出示】“社区爱心义卖”情境图。小明用义卖所得购买跳绳用于班级活动。信息1：一根跳绳4元，12元可以买几根？（整数除法复习）信息2：一根跳绳4元，小明有11.2元，可以买几根？还剩多少元？

2.【教师引导】第一个问题大家秒答：12÷4=3（根）。第二个问题呢？如何列式？

3.【学生活动】列式：11.2÷4。教师板书。

4.【设计意图】从熟悉的整数除法过渡，自然引出小数除法算式。问题“可以买几根？还剩多少元？”既符合生活实际，又暗含了估算和确定商的范围（商在2和3之间）的思考，同时为后续处理余数埋下伏笔。

2.首次探究，暴露原认知

1.【教师】“11.2÷4到底等于多少？可以借助你们手边的工具（人民币）来分一分、试一试，并把你的想法记录在学习单上。”

2.【学生活动】小组合作探究。学生很可能出现以下典型方法：

1.3.方法A：将11.2元视为11元2角，11元÷4=2元余3元，3元+2角=32角，32角÷4=8角，所以是2元8角，即2.8元。

2.4.方法B：用竖式计算，但可能直接模仿整数除法写成商28，或知道商是小数但点错小数点位置。

3.5.方法C：直接说出结果2.8。

6.【教师巡视】收集不同方法，尤其关注体现“换算单位”和尝试竖式的案例。

3.交流汇报，聚焦冲突

1.【展示方法A】请学生结合人民币学具演示：先分11元，每人分2元，还余3元；这3元怎么办？（换零）换成30角，加上原有的2角，是32角；再分32角，每人分8角。所以结果是2元8角，写成小数是2.8元。

2.【教师追问】“这里的‘3元’在分不下去的时候，我们做了什么？（换成了更小的单位‘角’）2元8角写成2.8元，这个结果中的‘2’和‘8’分别表示什么？”（2个一，8个十分之一）

3.【展示尝试的竖式】将学生可能出现的错误竖式（如商28或商.28等）呈现在黑板上。

4.【提出核心问题】“分钱的过程我们很清楚，那么如何用一个简洁的数学工具——竖式，把刚才‘先分元，元分完把余下的元换成角再分’的过程清晰记录下来呢？竖式中的商‘2.8’，小数点应该点在哪里？为什么？”

【本环节小结】通过生活化情境和学具操作，将计算问题转化为等分的操作问题，让学生直观感受到“余数需要转化为更小的计数单位继续除”的必要性，为竖式算理的抽象提供了坚实的经验支撑。核心问题悬而未决，引发进一步探究的欲望。

第二环节：合作探究，建构算法——在多重表征中理解算理（约20分钟）

1.任务驱动，探索竖式记录

1.【教师】“现在，请同学们以小组为单位，挑战一下：如何用竖式来计算11.2÷4？试着把你们分钱的过程用竖式的步骤表现出来。完成后再思考：竖式中的每一步，对应的是分钱过程中的哪一步？”

2.【学生活动】小组深入探究，尝试书写竖式。教师提供“探究学习单”，上面有分钱的步骤提示和空白竖式框。

2.多组展示，辨析明理

1.【组1展示】可能写出标准竖式，但解释不清。

2.8

4)11.2

8

---

32（教师问：这个32表示什么？是32元吗？）

32

---

0

2.【教师介入，关键处点拨】：

1.3.第一步：“11除以4，商2，写在哪一位？为什么？”（写在个位，因为11表示11个一，分的是“元”）。商2表示2元，2×4=8，表示分了8元。11-8=3，这3表示余下3元。板书强调“商2”与“被除数个位对齐”。

2.4.第二步（核心）：“余下的3元怎么办？在竖式里怎么体现‘换成角’？”引导学生发现：可以把被除数十分位上的“2”落下来，和余数3合在一起看。追问：“现在这个‘32’表示32个什么？”（结合分钱过程，是32角，也就是3.2元，即32个十分之一）。

3.5.第三步：“32个十分之一除以4，商是几？写在哪一位？”（商8，表示8个十分之一）。那么“8”应该写在什么位置？必须写在十分位上，才能表示8个十分之一。怎么体现它写在十分位？——需要在商的个位“2”的后面点上小数点，然后在十分位写8。至此，揭示“商的小数点与被除数的小数点对齐”的规则，并追问其本质：是为了保证商里的“8”（十分位）与被除数里“2”（十分位）所表示的计数单位（十分之一）相对应。

4.6.第四步：完成计算。

3.模型联通，深化理解

1.【课件动态演示】将分钱过程（实物操作）、横式记录（11.2元=112角，112÷4=28角，28角=2.8元）、竖式抽象三者同步动画演示，建立一一对应关系。

2.【教师总结】“同学们，回头看，小数除法竖式和整数除法竖式，有什么相同？有什么不同？”

1.3.相同：都是从高位除起；除到哪一位，商就写在那一位上；余数要比除数小。

2.4.不同：小数除法中，当整数部分有余数时，可以通过点上小数点，把余数和小数部分合起来，看成更多更小的计数单位继续除。商的小数点与被除数的小数点对齐，就是为了让相同计数单位上的数对齐。

4.及时巩固，内化算法

1.【试一试】9.6÷4=？让学生独立完成竖式，并请一位学生板演，边写边说计算过程，重点说清小数点处理。

2.【设计意图】本环节是算理建构的核心。通过小组探究、多组辨析、教师关键处点拨、多模型动态联通、对比沟通等一系列活动，将操作经验逐步抽象为形式化的竖式算法，并深刻理解算法背后的道理。学生不仅学会了“怎么算”，更明白了“为什么这么算”。

第三环节：变式拓展，突破难点——在思维进阶中完善认知（约15分钟）

1.挑战一：被除数整数部分不够除（商0占位）

1.【情境】“小明还想买一种毽子，每个毽子4元，小明只有2.4元，够买几个？列式：2.4÷4。”

2.【学生尝试】预设学生可能直接写商0.6，或竖式中商的整数位不写0。

3.【聚焦讨论】“2除以4，够商1吗？不够商1，怎么办？”引导学生迁移整数除法中“不够商1就商0”的经验。强调：商的整数部分要用“0”占位，点上小数点后再继续除。结合意义理解：2.4元平均分成4份，每份不够1元，所以整数部分是0。

4.【规范板演】突出“0”的占位作用。

2.挑战二：除到被除数末尾有余数，需要添0继续除

1.【情境】“一根彩带长5.6米，要把它平均截成4段做装饰，每段有多长？列式：5.6÷4。”

2.【学生计算】预计大部分学生能算到5÷4=1...1，落下6，16个十分之一除以4得4个十分之一，商1.4，余0。

3.【教师变式】“如果彩带长5.7米呢？列式：5.7÷4。”学生计算到1.4后，余下1个十分之一。

4.【核心冲突】“余下的‘1’表示1个十分之一，也就是0.1米。还需要更精确吗？如果我们想知道更精确的结果，比如精确到百分之一米（厘米），怎么办？”

5.【学生联想】可以把这个0.1米继续细分，化成10个百分之一米。

6.【竖式体现】“在竖式里怎么操作？”揭示：可以在余数1的右边添上0，同时在被除数的小数部分也想象有0（5.7可以看作5.70），将这个0落下来，使1个十分之一变成10个百分之一，然后继续除。完成计算：10个百分之一÷4，商2个百分之一（0.02），写在百分位，还可能有余数，根据需要决定是否继续添0除下去。

7.【理解本质】“添0继续除”的本质是什么？（在余数后面添0，相当于把余数所在的计数单位又进行了十等分，转化为更小的计数单位继续除。）这与之前“元换角”的思想完全一致。

3.对比总结，形成法则

1.【学生讨论】经过以上学习，你能总结一下除数是整数的小数除法，计算时要注意什么吗？

2.【师生共同梳理计算法则（口诀）】：

1.3.按：按照整数除法的计算方法去除。

2.4.商：商的小数点要和被除数的小数点对齐。

3.5.添：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。

4.6.0：如果整数部分不够除，商0，点上小数点再除。

7.【设计意图】通过两个典型的变式问题，攻克本课的计算难点。“商0占位”是对整数除法经验的迁移；“添0继续除”是对“计数单位转化”算理的再次深化和灵活应用。法则的总结水到渠成，且有深刻的理解作为支撑。

第四环节：分层应用，素养落地——在解决实际问题中发展能力（约10分钟）

1.基础巩固层（面向全体）

1.计算：13.5÷5=7.2÷6=0.54÷9=14÷8=

2.【要求】独立完成，同桌互查，重点检查小数点和特殊情况处理。

2.综合应用层（联系生活）

1.【问题1】一盒酸奶6瓶共重1.26千克，平均每瓶酸奶重多少千克？

2.【问题2】一个正方形花坛的周长是9.6米，它的边长是多少米？

3.【要求】先分析数量关系，再列式计算。体会小数除法在测量、几何中的应用。

3.思维拓展层（挑战高阶）

1.【问题】小明在计算一个数除以8时，把被除数的小数点向左多点了一位，得到的结果是1.25。正确的结果应该是多少？

2.【提示】引导学生逆向思考：先根据错误结果还原错误的被除数，再纠正小数点位置得到正确的被除数，最后计算正确结果。此题综合考查对除法运算意义、小数点移动规律及小数除法的理解。

3.【设计意图】三层练习设计，满足不同学生的需求。从纯计算到解决简单实际问题，再到需要逆向思维和综合分析的挑战题，让运算能力、应用意识、推理能力在不同层次上得到发展和检验。

第五环节：反思总结，勾连体系——在回顾展望中升华认知（约3分钟）

1.【学生反思】“今天这节课，我们学习了什么？你是怎样学会的？最关键的一步或一点理解是什么？”

2.【教师总结】“今天我们共同探索了除数是整数的小数除法。我们发现，它的根深深地扎在整数除法的土壤里（从高位除起，一位一位除），但又长出了新的枝叶——当分不完时，我们可以点上小数点，打开一扇门，进入更小的计数单位世界继续均分。‘商的小数点与被除数的小数点对齐’，就是这扇门的钥匙，它保证了我们始终在相同的计数单位层面上进行对话。”

3.【展望延伸】“将来，我们还会遇到除数是小数的除法，那时我们今天理解的‘转化单位’的思想，将会发挥更大的作用。数学知识就是这样一环扣一环，不断向前发展的。”

4.【设计意图】通过反思，促进学生元认知发展。教师的总结以形象的比喻概括算理本质，将知识系统化、结构化。延伸展望激发了学生持续学习的兴趣，建立了知识发展的连续感。

六、板书设计（结构化、思维可视化）

课题：除数是整数的小数除法

核心问题：如何用竖式计算11.2÷4？

探究主区：

分钱过程（操作）竖式记录（抽象）

11.2元=11元2角2.8←商的小数点与被除数的小数点对齐

①分元：11÷4=2...34)11.2

余3元8

②化零：3元=30角-----

30角+2角=32角32←落下2，合起来是32个十分之一

③分角：32÷4=8(角)32

结果：2元8角=2.8元-----

0

算法要点（提炼区）：

1.按：整数除法方法除。

2.齐：商点对齐被除数点。（核心）

3.添：末尾有余添0除。

4.0：整数不够商0点。

关键理解：小数点对齐↔计数单位对齐。

七、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.观察：在操作、探究、讨论环节，观察学生的参与度、合作情况、能否利用学具解释算理。

2.3.提问：通过“为什么？”“表示什么？”“怎么办？”等系列问