2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（人教A版必修第二册全部高效培优提升卷）（全解全析）

高一数学下学期期末模拟卷（人教A版）

提升卷-全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如雷改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册全部。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知复数z=《，则目=（）

%出0厂rVio

A.——B.V5C.-------D.M

510

【答案】A

12-i21.

【详解】因为z—有一西西一二

故选：A

2.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的25%分位数为()

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【详解】将给定样本从小到大排列，得到：10,12,14,14,16,20,24,30,40,样本容量〃=9.

计算分位数位置：/=nx25%=9x0.25=2.25,

根据高中百分位数的计算规则，若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数据即为所求分位数。

此处2.25向上取整为3,对应排序后第3个数据，为14.

所以样本数据16,24,14,10,20,3012,14,40的25%分位数为14.

1/16

3.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示:

用电量/度120140160180200

户数23672

则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()

A.180,170B.160,180C.160,170D.180,160

【答案】D

【详解】由表格中的数据，可得用电量为180度的家庭最多，有7户，

所以这20户家庭该月用电量的众数是180：

将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,160,

所以这20户家庭该月用电量的中位数是160.

故选：D.

4.已知48为两个随机事件，力)=0.2,尸(4)=0.5,则下列结论错误的是()

A.若,则P(46)=0.2

B.若48独立，则?(功)=01

C.若4』独立,则尸(4+8)=0.6

D.若48互斥，则尸(4+8)=0.7

【答案】B

【详解】对于A：因为力18,所以P(/8)=P(4)=0.2,故A正确；

对于B：因为48独立，所以)与8也相互独立，

所以P(l8)=P(A)P(B)=(1-P(4))P⑻=(1-0.2)x0.5=0.4,故B错误;

对于C：若48独立，根据并事件的概率公式得P(4+8)=尸(4)+P(8)-尸(月8)

=0.2+0.5-P(A)P(B)=0.7-0.2x0.5=0.6，故C正确；

对于D：48互斥，由概率的加法公式可得尸(力+8)=尸(4)+88)=0.2+0.5=0.7,故D正确.

故选：B

5.若孙〃为两条直线，。为一个平面，则下列结论中正确的是()

A.若，则〃B.若〃?贝

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C.若利则/〃！〃D.若〃?//a,〃_La,则加与〃相交

【答案】C

【详解】A选项,若m"a,nua,则〃?〃〃或用，〃异面，A错误;

B选项,若,则m〃〃或也〃异面或叫“相交,B错误;

C选项，因为〃?//a,muD,a[}/3=b,所以〃?/〃）,

因为〃_La.bua,所以〃_L6.故〃?_L〃,CIF确：

D选项,若〃〃/a,"la,则加与〃相交或〃，，〃异面，D错误.

故选：C

6.如图，在正方体中，异面直线4G与4c所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【详解】由正方体可知BC7/8C，且四边形/©GA为正方形,

所以异面直线4cl与4C所成的角的平面角为N4G4=45。,

故选：B.

7.若A7为ZUBC所在平面内一点，且满足|砺-成|=|赤+而＜2^31，则沙灰:为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

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【答案】A

【详解】由|话一就|二|赤+就-2而卜得|赤卜|丽一砺+比一说|

所以।在卜।而+近I，即।刀一刀卜|林+%卜

两边平方并化简得前.沅=0，则前J.%，即/4_L/C,故乙%C=90。，

所以△48。是直角三角形.

故选：A

8.如图，空间几何体48co-E尸G”为"四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成,

且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若BE=6,48=2,且所有顶

点在同一个球面上，则这个球的表面枳为()

【答案】B

【详解】设球心为。，底面正方形4BCQ中心为Q,上底面正方形£PG〃中心为•，

几何体上下底面平行且所有顶点在同一球面上，所以球心在直线。。2I..

已知力8=2,则底面正方形力8CQ对角线长为2夜，所以。乃二及.

上底面正方形EFG“边长为右，其对角线为2,则。2后=1.

设。。=〃,则OO2=|QQT|,又BE=亚,

根据勾股定理，在直角三角形第。氏A。。/中，斤=//+(&j,(R为球的半径)，R2=(Q02-力『+匕

在直角梯形。后中，根据勾股定理可得

8a2BE=50、B=6.,O2E=I,002=2,

联立可得：/r+2=(2-A)2+l,解得力=：,代入可得解=仁1+2=2小=回

4164

41417r

所以球的表面积R1=471K2=4兀=一

164

4/16

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题中正确的是（）

A.若万,5=0则n=0或B=0

B.在△48C中,若点P满足P7/豆=》反正=正.西,则。为的垂心

C.已知非零向量①/；,若限B>0,则aB的夹角为锐角

D.若“是△川完?所在平面上的一点，且满足（必+砺-2而）（砺-而）=0,则△48C为等腰三角形

【答案】BD

【详解】对于A,若万彳=0则彳=0或万=0,或q，A错误：

对于B.由PA-PB=PHPC=>PB\JA-PC）=0nA瓦否=0nPZ?_1.。，

同理可得PC，48,"_L8C,所以〃为△/18C的垂心，故B正确；

对于C,设2与5的夹角为。，则由希=同］砥0$。>0得cos〃>0,又因为。«0,可，

■\

所以。£0彳，所以C错误：

对于D,如图，

取,48中点为E,连接CE,

因为（砺+砺—2沅）（砺—砺）=（2耐—2流）•丽=2豆.而=0,

所以CE154,乂E为4B中点、,所以C/=C8,

故三角形48c的形状一定是等腰三角形，所以D正确.

故选:BD

10.下列说法正确的是（）

A.若一组数据为1,2,3,4,5,则其平均数、中位数相同

B.若甲、乙、丙三种物品数量比为2:3:4,现用分层随机抽样方法抽取甲物品8个，则样本容量为40

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C.分层随机抽样中仅有甲乙两层样本，若甲层样本均值为5,乙层样本面值为10,总样本均值为8,

则甲层样本量占总样本量的比例为：

D.若一组数据芭,与，…，%的极差为6,方差为2,则数据3万+1,3々+1,…,3再。+1的极差和方差均为18

【答案】ACD

【详解】选项A,数据123,4,5的平均数为：?J+2+；+4+3=3,

数据从小到大排序为：1,2,3,4,5,中位数为第三个数即为3,

故A选项正确：

选项B,由甲、乙、丙三种物品数量比为数3:4,

22

所以分层抽样时，抽甲物品所占比例为：

乙IDIf>

2

设样本容曷为则有丁〃=区=〃=36,

故B选项不正确；

选项C,设甲层样本量占总样本量的比例为A0<p<l,

则乙层样本量占总样本量的比例为1-P，

由题意得：5xp+10x(l—p)=8,解得：p=g

故C选项正确；

选项D,若数据$户2,…，再。的最大一个数为“£(，=L2,…,10),

最小一个数为,(7=1,2,…,10),则极差为％-X：=6,

此时数据3a+1,3工2+「.,3芭。+1的最大一个数为3巧+1[=1,2,一、10),

最小•个数为%+1(/=1,2,…,10),

则极差为(3%+1)-(3丐+1)=3(七-xj=3x6=18,

又若数据孙孙…,飞的方差为2,

则数据3须+1,3X2+l,...,3x10+1的方差为：3?x2=18，

故D选项正确：

故选：ACD.

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11.如图，在正方体力48cA中，点尸在线段8G上运动，则下列判断中正确的是（）

JDi\-......\...7..G

小’B]

A.平面P8Q1平面力C。

B.4P〃平面AC。

C.异面直线4尸与力"所成角的取值范围是©g

D.三棱锥。「力。。的体积不变

【答案】ABD

【详解】正方体中由平面Z8CO,4Cu平面45C。，可得QA_L/C,

又ACLBD,8。是平面8。。向内两相交直线，从而得力C_L平面8。。蜴，

BQu平面BDD£,因此有4C_L8Q,

同理ACC\AD}=At

.•.8。1平面4CA，乂BQu平面P&D,.•.平面PBQ1平面4c2,A正确；

DC

正方体中48与GA平行且相等，则48GA是平行四边形，/£>/平面48G，BC|U平面

43G,

.•.力。1〃平面//a，同理4C//平面//G，AD}C\AC=A,42，力。都在平面/1。。内，

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.,.平面力。c〃平面4BG，4尸u平面48G，.•.4尸〃平面AC"，B正确;

与A选项同理可证•平面44。。，当尸是Bq与8c交点时，4Pu平面4RC。，

AD.1A.P,异面宜线4/与/。所成角为C错误；

由B选项，知6CJ/平面/C。，.•/到平面4cA的距离不变，因此三棱锥P-/CA体积不变，D正确.

故选：ABD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知（l+2i”=4+3i,则2=.

【答案】2+Z//+2

【详解】由（l+2i）W=4+3i,

8/16

4+3i_(4+3i)(l-2i)-10-5i,

得一l+2i-(l+2i)(l-2i)-5一？】，

所以N=2+i.

故答案为：2+i.

13.现从编号为01,02,…,50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数

字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为.

398327763991853532591131404692350498221220671263

【答案】32

【详解】先从随机数表第9个数字开始读取：

随机数表：398327763991853532591131404692350498221220671263

第9个数字是3(来自第二组39918535),

从左向右依次读取两位数字，并笳选出在01〜50范围内且不重复的编号：

第I个：39->有效，对应编号39

第2个：91-无效(>50),跳过

第3个：85T无效(>50),跳过

第4个：35->有效,对应编号35

第5个：32-有效，对应编号32

所以，抽取的第3支水笔的编号为32.

故答案为：32.

14.如图，已知△/BC和A/IS为直角三角形，ZABC=ZACD=90e,AB=BC=CD=1,AC与BD交于点、

O,若加=入存+从然，则4=.

【答案】-41

【详解】以C为坐标原点，8,。所在直线分别为XJ轴建立如图所示的坐标系,

9/16

因为CB=CD=1,NDCB=90+45=135°,故ZBDC=225,

因为tan45、=与华？一=1,所以tan22.5°=正-1（负值舍去）,

l-tan~22.5°

所以OC=OC•lan22.5。=&-1，故。（。，&一1）.

又D（-l,0）,则诙=（1,夜-1）,

因为灰兄九方+|1沅，

四,解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知i为虚数单位，Z1,z?是/+〃a+〃=0(〃1,〃€氏4=〃/-4〃<0)的两个根.

(1)设Z1,Z2满足方程ZI+(l—i)Z2=9+6i,求孙〃的值：

(2)设Z=l+2i,复数4,z2所对的向量分别是々与人若向量启-否与J+2B的夹角为钝角，求实数，的取值

范围.

【答案】(1)阳=12,〃=477(2),7,-(u-g,+8

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[详解】(1)因为eR,A=nr-An<0，

所以方程+〃d+〃=0的两个根Z,Z?为共枕复数,

设Z]=a+〃i,z2=a-bi(a,bGR),

由韦达定理得Z]+Z2=TW,z{z2=n,

将为=a+6i,4=a-bi代入4+(1-i)z2=9+6i,

得a+bi+(lT)(a-bi)=9+6i,即(2a-b)-ai=9+6i,

2a—b=91a=—6

所以…6，解得』21,所以L6.2…「6+2h,

所以〃?二一(马+Z2)=12,n=z}z2=477.

(2)因为z=l+2i,所以Zz=1-2i,所以不=(l,2),/；=(1—2),

所以位—6=/(l,2)—(1,—2)=("12+2),a+2^=(l,2)+2(l,-2)=(3,-2),

因为m与£+25的夹角为钝角，所以(南—可・,+2坂)<0,月—3与£+25不共线,

3(z-l)-2(2/+2)<0，解得，＞-7且fw-g,

所以

-2(1)-3(2/+2)/0

所以实数♦的取值范围为17,一小（一；,+“

16.（15分）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作

为样本进行统计,将其成绩（满分：100分）分成［40,50）、［50,60）、…、［90,100］六组,得到如图所示频

（1）求图中。的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：

（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前2。％的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证

11/16

书的最低分数;

（3）若落在［50,60）中的样本数据的平均数是54,方差是6,落在［60,70）中的样本数据的平均数是66,方差

是3,求这两组数据的总平均数Q和方差st

【答案】（1）。=0.030,平均数为74（2）86（3日=62，52=36

【详解】（1）由题意可得（0.005+0.010+0020+4+0.025+0.010）x10=1,解得”0.030,

平均数为0.05x45+0.10x55+0.20x65+0.30x75+0.25x85+0.10x95=74.

由于分数介于［90,100］的频率为0.10、分数介于［80,90］的频率为0.25,

故获得该荣誉证书的最低分数介于［80,90］之间，

则有0.025x（90—x）+0.10=0.20,解得＞86.

（3）成绩位于［50,60）的学生人数为100x0.1=10,

成绩位于［60,70）的学生人数为10。x0.2=20,

因为落在［50,60）中的样本数据的平均数是54,方差是6,

落在［60,70）中的样本数据的平均数是66,方差是3,

所以两组数据的总平均数嚏=x54卜;;x66=62,

总方差为一嗡［6+（54-62）［+都+（66-62）［=36.

17.（15分）在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概

12

率分别为在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p,q.假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过

互不影响.

12/16

(1)若4=],求乙恰好有一轮通过的概率.

4

(2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为(，甲、乙两轮都通过的概率为

(i)求p，g的值；

(ii)求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率.

3

5P17

【答案】⑴不⑵(i):(ii)—

r=?-

【详解】(1)设事件4=“甲通过第一轮比赛“，事件4="甲通过第二轮比赛”,

事件A="乙通过第一轮比赛“，事件名="乙通过第二轮比赛”，

I2

由题知4,4，练&相互独立,且P(4)=3，P(4)='P(4)=w，P(52)=g.

记事件c="乙恰好有一轮通过”，则。=4瓦D瓦层，又用瓦，瓦区互斥，

所以当g=5时，P©=P0瓦际2)=P,E)+P网)

―⑻.明)+P闻.尸㈤g＞衿亮,

35

即当9时，乙恰好有一轮通过的概率为

(2)(i)记事件。="甲、乙都恰好有一轮通过“，事件E=“甲、乙两轮都通过”,

则尸(。)=？(4%=44卜尸(4瓦U瓦区)

1Z1、1]「2”.111

44L，，J

9

P(E)=P(AH)xP(BaJ=Qpx,q=m，②

\2123

-------u——p-~

3354

由①②，得，,解得，

34°

pq=《q=~5

(ii)记事件G="甲两轮都通过“，事件”="乙两轮都通过“，事件K=”甲、乙两人至少有一人两轮都通

过”,

13248

则P(G)=—X—=和(〃)=—x—=一

24O3515

17

则P(K)=P(G后)+P(G")+P(G〃)==X5+?X2+=X2=

X15X15X1524

13/16

__5717

或P(K)=1-P(G〃)=1-T^=W

18.(17分)在△48C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知b=5,

4

(1)若力=1，求边c的值：

(2)若3acosB+3bcosA=2\[la.

(i)求士的值;

a

(ii)求△W8C的面积.

【答案】(1)5向5(2)(i)述；(ii)15

23

【详解】⑴sinC=sin("吁"即会如争争;x*粤t

由正弦定理，号b=，c厂，

smBsinC

55/6+>/2573+5

得“迈=

(2)(i)由正弦定理及3acos8+3bcosA=2五a，

得3sinJcos8+3sin8cos/l=2&sin/，

即3sin(力+8)=2&sia4,

又4:B+C—灯,

所以3sinC=2V2siivl,

所以3c=2&〃，即£=延.

a3

(ii)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB»

把b=5,8=：,c=—aKAt

43

出2q82,25/^~

25—aH—a—2a----a----»

932

即25=#,解得〃=3不，

所以c=2近a=2>/?0»

3

所以S=』acsinB=—x3^5x2>/?0X=15.

222

19.(17分)如图①，在等腰直角△力4C中，ZC=90°,AC=2,M,N分别是边4C,49上的动点,

14/16

①求证：平面产MCJ■平面PMN

②求二面角M-PN-C的正切值

（2）若点〃与点C重合，如图③，设N4WN=8,求三棱锥尸-MV8体积的最大值;

【答案】（1）①证明见解析；②五：（2）坐.

【详解】（1）①分别是边的中点，.•.MN//8C,

;在等腰直角△48C,NC=90。，