竖直上抛运动与追及和相遇问题（原卷版+解析）

第12讲专题：竖直上抛运动与追及和相遇问题

［学习目标］

1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性.

2.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全过程法求解竖直上抛运动的有关问题

3.会分析追及问题中物体速度、位移的变化，会根据两者速度关系和位移关系列方程.

4.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧，会用图象分析追及相遇问题

5.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.

课前测试知识引入

知识点一、匀变速直线运动公式的比较

1.匀变速直线运动公式的比较

一般形式特殊形式(g=0)不涉及的物理量

速度公式v=v^-\~atv=atX

,1，

位移公式X=伙)，+呼广x=2af2V

位移、速度关系式xr-v^=2cixv1=2axt

平均速度求位移公式x—21x=2fa

位移差公式X2—X\=at1。0、v

2.解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法

1.如果题目已知条件中无位移x,也不让求x,一般选用速度公式

2.如果题目已知条件中无末速度。，也不让求。，一般选用位移公式X=如，+%尸：

3.如果题目已知条件中无运动时间，，也不让求一般选用导出公式/一如2=2”.

4.如果题目中给出两段连续相等时间的位移，则一般选用位移差公式X2一川=。b2求加速度，此公式在利用纸

带求加速度的实验中得到充分应用.

知识点二、自由落体运动与上抛运动

1.自由落体运动

①运动特点：初速度为。，加速度为女的匀加速直线运动.

②基本规律：a.速度与时间的关系式：三口.②位移与时间的关系式：工=上尸.b.速度与位移的关系式：-=2".

2.竖直上抛运动

①运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g,上升阶段做匀减速运动，卜降阶段做包正螯隹运动.

②基本规律a速度与时间的关系式：v=b.位移与时间的关系式；”=>“一金",

知识点三、相遇与追及问题

1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系

①一个条件：即两者速度相等，它往往是能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判

断的切入点.

②两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到.

2.追及相遇问题常见的情况

假设物体A追物体B（两物体做匀速或匀变速运动），开始时两个物体相距出，有三种常见情况：

①A追上B时，必有XA—XB=XO,且VA^VB.

②要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同•位置时速度相同，必有加一X8=X0,以=而

③若使两物体保证不相撞，则要求当小一。5时，为X/jVxo，且之后

3.解题思路和方法

分析两物体的运动过程I=1而运动示意图I=1找两物体位移关系I=1列位移方程

互动训练探究重点

知识点一：上抛运动

1.分段法：1）上不过程：叫内）、n=g的匀减速直线运动；2）下降过程：自由落体运动.

2.全程法：1）整个过程：初速度均向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律】，=物一/，h=vQt

一女尸；2）正负号的含义（取竖直向上为正方向）

①心＞0表示物体上升，uVO表示物体下降.

②力＞0表示物体在抛出点上方，力V0表示物体在抛出点下方.

【探究重点】

竖直上抛运动的对称性

1.时间对称：物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即门.=「下.

2.速率对称：物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反.

【例题精讲】

I.关于竖直上抛运动，下列说法错误的是（）

A.竖直上抛运动的上升过程是匀减速直线运动

B.匀变速直线运动规律对竖直上抛运动的全过程都适用

C.以初速度的方向为正方向，竖直上抛运动的加速度。=g

D.竖直上抛运动中，任何相等的时间内物体的速度变化量相等

【巩固训练】

2.（多选）从高处释放一石子，1s后在同一地点再释放另一石子（空气阻力不计），则（）

A.两石子均未落地时，两者距离保持不变

B.两石子均未落地时，两者的速度差保持不变

C.两石子均未落地时，两者的加速度均保持不变

D.两石子落地相差时间肯定是1s

知识点二：追及、相遇问题

追及与相遇问题的两种典空情况

假设物体A追物体&开始时，两个物体相距的，有两种典型情况：

1.初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体8,当％=照时，二者相距最远.

2.初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B,当匕=即时，

①若已超越，则相遇两次.

②若恰好追上，则相遇一次.

③若没追上，则无法相遇.

追及相遇问题的常见情况

初速度小者追初速度

|~|________□_

H——^1

大者乙甲

情景图

“/d---------1-----------7uh1

匀加速追匀速匀速追匀减速匀加速追匀减速

以前（也〈片）两物体距离增大

相羽最远

t=t（）以后（也〉力）两物体距离减小

追及情况只能追上一次

初速度大者追初速度

nf||S百乙

小者HXn»l

情景图

Oh/<.hto/|r<>ht°kkt

匀减速追匀速匀速追匀加速匀减速追匀加速

布时刻以前（也〉M）两物体距离减小

若入丫=即，恰好追上

时亥1（以=的）若ATVAO，追不上，有最小距离

若对，相遇两次

【探究重点】

注意运用v-t图来理解题目意思

1.根据两个物体的^一，图象分析追及相遇问题：

（1）利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.

（2）有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.

2.据两个物体的运动状态作出v-f图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出1，一/

图象，再通过定量计算分析得出结果.利用图象分析追及相遇问题更直观、简捷.

【例题精讲】

3.（多选）（2020•黄山巾高一期末）A、6两物体在同一直线上运动的了一：图像如图1所示，已知在第4s末两物体相遇,

则下列说法正确的是（）

A.两物体从同一地点出发

B.出发时A在8前方4m处

C.两物体运动过程中，A的加速度大于B的加速度

D.笫4s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇

【巩固训练】

4.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以。=3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一-辆自行车以6m/s

的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两

车的距离是多少？

知识点三：多过程问题

多过程问题解题思路

1.准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程.

2.明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量.

3.合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程.

4.多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对转折点速度的求解往往是解题的关键.

【探究重点】

多过程组合问题的“三个”处理技巧

1.用图象分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律，且直观、形象，这是图象法的优势，一些物理量

的关系能通过图象很明显地反映出来.

2.将末速度为零的匀减速直线运动通过逆向思维转化为初速度为零的匀加速直线运动.

3.多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键

【例题精讲】

5.（多选）某物体以30m/s的初速度竖宜上抛，不计空气阻力，身取10m/s2.5s内物体的（）

A.路程为65m

B.位移大小为25m,方向竖直向上

C.速度改变量的大小为10m/s

D.平均速度大小为13m/s,方向竖直向上

【巩固训练】

6.（2021・辽宁模拟）航天飞机在平直的跑道上降落，其减速过程可以简化为两个匀减速直线运动.航天飞机以水平速度

vo=100m/s着陆后，立即打开减速阻力伞，以人小为。1=4m/s?的加速度做匀减速直线运动，一段时间后阻力伞脱

离，航天飞机以大小为42=2.5m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下.已知两个匀减速直线运动滑行的总位移工

=1370m.求：

（1）第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小；

（2）航天飞机降落后滑行的总时间.

课堂检测逐点落实

1.关于竖直上抛运动，下列说法正确的是（）

A.在最高点速度为零，加速度也为零。

B.上升和下落过程的位移相同

C.从上升到下降的整个过程加速度俣持不变

D.上升到某一高度时速度与下降到此高度时的速度相同

2.如图1所示为A、B两物体运动的位移一时间图像.下列说法中不正确的是（）

A.A、8两物体开始运动时相距100m,同时相向运动

B.8物体做匀速直线运动，速度大小为5m/s

C.A、8两物体运动8s时，在距A的出发点60m处相遇

D.4物体在运动过程中停止了6s

3.（多选）（2020.陕西延安市第一中学高三二模）物体以初速度⑶竖直上抛，经3s到达最高点，空气阻力不计，g取

10m/s2,则下列说法正确的是（）

A.物体的初速度也为60nVs

B.物体上升的最大高度为45m

C.物体在第1s内、笫2s内、第3s内的平均速度之比为5：3：1

D.物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9：4：1

4.（多选）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其V—/图像如图5所示.已知两车在，=3s时并排行驶，则（）

A.在i=ls时，甲车在乙车后

B.在i=ls时，甲车与乙车并排行驶

C.在1=0时，甲车在乙车前7.5m

D.两车另一次并排行驶的时刻是z=2s

5.(2021.湖北卷2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军.某轮比赛中，陈芋汐在

跳台上倒立静止，然后下落，前5m完成技术动作，随后5

m完成姿态调整.假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10

m/s2,则她用于姿态调整的时间约为()

A.0.2sB.0.4s

C.1.0sD.1.4s

6.球4从高为2m的位置自由下落，同时球A正下方的球4由地面以5m/s的速度向上抛出，求：(g取lOm/sz,

不计空气阻力)

(1)两球相遇时8球的速度大小；

(2)若8球以4m/s的速度抛出，两球会不会在空中相遇.

7.在十字路口，一辆汽车以().5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速直线运动，此时恰好有一辆自行车以5m/s的

速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

(1)什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

(2)在什么地方汽车追上自行车？追到付汽车的速度是多大？

课后巩固夯实基础

1.将一个物体在/=()时刻以一定的初速度竖直向上抛出，/=0.8s时刻物体的速度大小变为8m/s(g取1()m/s2),则

下列说法正确的是（）

A.物体一定是在/=3.2s时回到抛出点

B.f=0.8s时刻物体的运动方向可能向下

C.物体的初速度一定是20m/s

D.『0.8s时刻物体一定在初始位置的下方

2.从地面上竖直向上抛出一个物体4同时在离地面某一高度”有另一个物体8开始自由落下，两物体在空中同

时到达同一高度时速率都为心不计空气阻力，则下列说法中错误的是（）

A.物体A上抛时的初速度和物体8落地时的速度大小相等，都是2i，

B.两球同时落地

C.物体A上升的最大高度为H

D.两物体到达同一个高度时，物体B下落了?

4

3.（多选）所示为甲、乙两个质点同时、同地向同一方向做直线运动的，一，图像，由图可知（）

A.在。〜3s内，甲做匀加速直线运动

B.甲在3s后做匀速运动，在7s末乙追上甲

C.5〜7s内两者逐渐靠近

D.0-7s内两者在前进方向上的最大距离大于5m

4.2021年7月31日，第二十届全国大学生机器人大赛ROBOCON圆满闭幕，本次大赛的主题项目为、'投壶行觞〃和''机

器马术”。如图甲，在一次比赛中〃、。两机器人从同一起跑线沿同一方向做直线运动，它们的速度-时间图像如图

乙所示，则下列说法正确的是（）

A.20s时，。、6两机器人在运动方向上相距约500m

B.40s时，a、2两机器人速度相等，在运动方向上相距最远，为400m

C.60s时，〃机器人在〃机器人的前方，在运动方向上相距400m

D.a、力加速时，力机器人的加速度大于a机器人的加速度

5.（2021•安徽芜湖市•高三期末）如图甲所示，一质点以初速度%=12m/s从固定斜面底端力处冲上斜面，到达。处

时速度恰好为零，滑块上滑的Lt图像如图乙所示。己知斜而力6段粗糙程度均匀，回段光滑，滑块在月8段的加速

度大小是比段加速度大小的三倍。则力C段的长度为（）

A.7.5mB.8mC.9mD.10m

6.在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A,物体上升的最大高度为20m,不计空气阻力，设塔足够高，则：

(g取10m/s2)

(1)物体抛出的初速度大小为多少？

(2)物体位移大小为10m时，物体通过的路程可能为多少？

(3)若塔高H=6()m,求物体从抛出到落到地面的时间和落地速度大小.

7.A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度％=10m/s,B车在后，其速度刖=30m/s,因大雾

能见度低，8车在距A车x°=85m时才发现前方有A车，这时8车立即刹车，但8车要经过180m才能停止.求：

(1)8车刹车的加速度大小;

(2)若8车刹车时4车仍按原速率行坡，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则

两车最近距离是多少？

温故知新新课预习

1.将一个物体以大小为W的初速度竖直向上抛出，物体能上升的最大高度为山不计空气阻力，直力加速度为g,

则物体上升到和高度时，物体的速度大小为()

A啦J-1n1

A.2voC.^voD.jvo

2.在离地面某一高度处有一物体A自由下落，与此同时将物体B从物体A下方的地面竖直上抛，两物体在空中只相

遇而不相碰，结果发现B物体刚好上升到A物体开始下落时的高度，不考虑空气阻力，则下列说法正确的是()

A.相遇时两物体的位移相等

B.相遇后两物体同时落地

C.A物体落地时的速度与B物体上抛时的初速度大小相等

D.相遇时A物体的速度大于B物体的速度

3.(多选)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为n)=30m/s,距离so

=100n/=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间的变化如图7所示，取运动方向为正方向.下

列说法正确的是()-2

u/(ms)。/(016力

-广pFl尔

1()甲乙

A.，=6s时两车等速

B.f=6s时两车距离最近

C.r=6s时两车位移之差为90m

D.两年在0〜9s内会相撞

4.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其式一，图像如图3所示.已知两车在f=3s时并排行驶，则()

A.在f=ls时，甲车在乙车后

B.在，=()时，甲车在乙车前7.5m

C.两车另一次并排行驶的时刻是r=25

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

5.某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直『地面的方向上运动.火箭点火后可认为做匀加

速宜线运动，经过4s到达离地面40m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g=10m/s2,求：

(I)燃料恰好用完时火箭的速度大小；

(2)火箭上升离地面的最大高度；

(3)火箭从发射到返回发射点的时间.

6.2019世界田径接力赛男子4x100米接力赛，冠军被巴西队以38秒05获得.甲乙

如图2所示，这是某一次接力训练.已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达弋干

fnr

到并保芍10m/s的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，

加速度大小为3m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在某次练习中，甲以v=IOm/s的速

度跑到凌力区前端so=14.Om处向乙发出起跑口令.已知接力区的长度为L=20m.

(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离.

(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口

令？

(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？

第12讲专题：竖直上抛运动与追及和相遇问题

［学习目标］

6.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性.

7.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全过程法求解竖直上抛运动的有关问

题

8.会分析追及问题中物体速度、位移的变化，会根据两者速度关系和位移关系列方程.

9.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧，会用图象分析追及相遇问题

10.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.

课前测试知识引入

知识点一、匀变速直线运动公式的比较

1.匀变速直线运动公式的比较

一般形式特殊形式（如=0）不涉及的物理量

速度公式O=0O+Gv=atX

,1，x=^at2

位移公式x=VQt-\-^arV

位移、速度关系式v2~v(^=2axv2=2avt

oo+oV

平均速度求位移公式x-2iCl

位移差公式X2-xi=at1。0、v

2.解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法

5.如果题目已知条件中无位移x,也不让求达一般选用速度公式。=%+〃：

6.如果题目已知条件中无末速度也不让求。，一般选用位移公式工=%+%产；

7.如果题目已知条件中无运动时间3也不让求3一般选用导出公式公一%2=2仃.

8.如果题目中给出两段连续相等时间的位移，则一般选用位移差公式由一为求加

速度，此公式在利用纸带求加速度的实验中得到充分应用.

知识点二、自由落体运动与上抛运动

3.自由落体运动

③运动特点：初速度为。，加速度为《的匀加速直线运动.

④基本规律：a.速度与时间的关系式：口史.②位移与时间的关系式：3速度

与位移的关系式：，=2时

4.竖直上抛运动

③运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g,上升阶段做匀减速运动，下降阶段

做自由落体运动.

④基本规律:a.速度与时间的关系式：v=v（｝—gt；b.位移与时间的关系式：xnyof-Jgr2.

知识点三、相遇与追及问题

4.追及相遇问题中的一个条件和两个关系

③一个条件：即两者速度相等，它往往是能够追上、追不上或两者距离最大、最小的

临界条件，也是分析判断的切入点.

④两个关系：即时旬关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到.

5.追及相遇问题常见的情况

假设物体4追物体例两物体做匀速或匀变速运动），开始时两个物体相距沏，有三种常

见情况：

④A追上B时，必有XA—XB=XQ,且VA^VB.

⑤要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有XA—XR=X（）,

VA=VB.

®若使两物体保证不相撞，则要求当。A=08时，%一切Vxo，且之后OAWS.

6.解题思路和方法

分析两物体的运动过程I=1画运动示意图I=1找两物体位移关系I=1列位移方程

互动训练探究重点

知识点一：上抛运动

3.分段法：1）上升过程：VO#）、的匀减速直线运动；2）下降过程：自由落体运动.

4.全程法：1）整个过程：初速度w向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用

规律箕=物一gz,/z=vo/—2）正负号的含义（取竖直向上为正方向）

③v>U表示物体上升，I，〈。表示物体下降.

④/?>0表示物体在抛出点上方，。<0表示物体在抛出点下方.

【探究重点】

竖直上抛运动的对称性

3.时间对称：物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即「上二，卜.

4.速率对称：物体.上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反.

【例题精讲】

7.关于竖直上抛运动，下列说法错误的是（）

A.竖直上抛运动的上升过程是匀减速直线运动

B.匀变速直线运动规律对竖直上抛运动的全过程都适用

C.以初速度的方向为正方向，竖直上抛运动的加速度a=g

D.竖直上抛运动中，任何相等的时间内物体的速度变亿量相等

【答案】C

【解析】A.竖直.上抛运动的加速度恒为向下的g,则上升过程是匀减速直线运动，选项A

正确；

B.竖直上抛运动加速度恒定，则为匀变速运动，则匀变速直线运动规律对竖直上抛运动

的全过程都适用，选项B正确：

C.以初速度的方向为正方向，竖直上抛运动的加速度〃=-g,选项C错误；

D.根据

Av=gZ

可知，竖直上抛运动中，任何相等的时间内物体的速度变化量相等，选项D正确。

此题选择不正确的选项，故选C。

【巩固训练】

8.（多选）从高处释放一石子，1s后在同一地点再释放另一石子（空气阻力不计），则（）

A.两石子均未落地时，两者距离保持不变

B.两石子均未落地时，两者的速度差保持不变

C.两石子均未落地时，两者的加速度均保持不变

D.两石子落地相差时间肯定是1s

【答案】BCD

【解析】设两石子均未落地时，第一个小石子运动时间为/,则第二个小石子运动时间为

（Lis）,根据也=*户,Q=*（Lis/,有△/?=/—e=gr—£g,所以随时间的增大，两石

子间距离将增大，选项A错误；根据也=/，吸=g"一1s）,有Avuni-V2=g，速度之差保

持不变，选项B正确；自由落体运动加速度均为g,选项C正确；由/?=%产知，下落时间

相等，故两石子落地时间差肯定是1s,选项D正确.

知识点二：追及、相遇问题

追及与相遇问题的两种典型情况

假设物体4追物体8,开始时，两个物体相距出,有两种典型情况：

3.初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体8,当W=VB时，二者相距最远.

4.初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B,当％=4时，，

④若已超越，则相遇两次.

⑤若恰好追上，则相遇一次.

⑥若没追上，则无法相遇.

追及相遇问题的常见情况

初速度小者追初速度■Vi，S

|~|________□_

H-x>-----H

大者乙甲

三:

情景图

。%td---------1-------7u卜1

匀加速追匀速匀速追匀减速匀加速追匀减速

以前（也〈力）两物体距离增大

，=力时（片=也）相羽最远

f=fo以后（V2>M）两物体距离减小

追及情况只能追上一次

初速度大者追初速度

石帝仍苒乙

H

小者Xu—*1

情景图

Ohtoht0/|r<>h10八ht

匀减速追匀速匀速追匀加速匀减速追匀加速

府时刻以前（外>也）两物体距离减小

若AX=KO，恰好追上

/O时刻（也=环）若心〈沏，追不上，有最小距离

若Ax>ao，相遇两次

【探究重点】

注意运用V-t图来理解题目意思

3.根据两个物体的v-t图象分析追及相遇问题：

⑴利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.

（2）有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.

4.据两个物体的运动状态作出丫一，图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动

情况，分阶段画出1，一/图象，再通过定量计算分析得出结果.利川丫一，图象分析追及相遇问

题更直观、简捷.

【例题精讲】

9.（多选）（2020•黄山市高•一期末）4、B两物体在同一直线上运动的y—f图像如图1所示，已

知在第4s末两物体相遇，则下列说法正确的是（）

A.两物体从同一地点出发

R.出发时A在A前方4m处

C.两物体运动过程中，4的加速度大于B的加速度

D.第4s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇

【答案】B

【解析】由速度一时间图像与f轴所围的“面积”表示位移可知，两物体在。〜4s内的位移

不相等，而在第4s末相遇，可知出发点不同，A错误；

用=）x4x4m=8m

X8=：X6X4m=12m

已知在第4s末相遇，则四发时A在8前方4m处，B正确：

由于A图线的斜率小于8图线的斜率，可知A的加速度小于8的加速度，C错误；

相遇后A的速度始终小于8的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误.

【巩固训练】

10•一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以〃=3m/s2的加速度开始加速行欢，恰

在这时•辆自行车以6mA的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追

上自行车之前经过多长时诃两车相距最远？此时两车的距离是多少？

【答案】2s6m

【解析】解法一（分析法）：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为

两车间的距离为Ax,则有片m

所以t=a=2s

Ax=vr-^/r2=6m.

解法二（极值法）：设汽车在追上自行车之前经过时间，两车相距最远，则以=四一最小

代入已知数据得Ax=6/-f

由二次函数求极值的条件知：7=2s时，Ax有最大值6m

所以/=2s时两车相距最近，为Av=6m.

解法三（图像法）：自行车和汽车的式一/图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，”时刻两

车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形（I勺面积,

vi=6m/s

所以有s=2s,

盘=¥=竽m=6m.

知识点三：多过程问题

多过程问题解题思路

5.准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动

的全过程.

6.明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量.

7.合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程.

8.多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对转折点速度的求

解往往是解题的关键.

【探究重点】

多过程组合问题的“三个”处理技巧

4.用图象分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律，且直观、形象，这是图象

法的优势，一些物理量的关系能通过图象很明显地反映出来.

5.将末速度为零的匀减速直线运动通过逆向思维转化为初速度为零的匀加速直线运动.

6.多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解

往往是解题的关键

【例题精讲】

11.（多选）某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2.5s内物体的（）

A.路程为65m

B.位移人小为25m,方向竖直向上

C.速度改变量的大小为10m/s

D.平均速度大小为13m/s,方向竖直向上

【答案】AB

【解析】解法一：分段法

物体上升的时间八弋s=3s,物体上升的最大高度/7产要=猾5m=45m,物体从

最高点自由下落2s时，下落的高度力2=*/卜2=，xi0x22m=20m,运动过程如图所示，则

总路程为E+〃2=65m,A正确.5s末物体离抛出点的高度为加一〃2=25m,即位移的大小

为25m,方向竖直向上，B正确.速度改变量的大小△i=g/=50m/s,C错误.平均速度的

大小v='"/m/s=5m/s,方向竖直向上，D错误.

解法二：全程法

将物体运动的全程视为匀变速直线运动，并取竖直向上为正方向，则有vo=3Om/s,〃=-g

=-10m/s2,故5s内物体的位移/?=%4+5户=25m>0,说明物体5s末在抛出点上方25m

处，由竖直上抛运动的规律可知，物体经3s到达最大高度小=45m处，故物体运动的总路

程为65m,位移大小为25m,方向竖直向上，A、B正确.速度的改变量的大小

----Vf)+V

=50m/s,C错误.5s末物体的速度—20m/sJ斤以平均速度v=—j—=5m/s>0,

方向竖直向上，D错误.]

【巩固训练】

12.(2021・辽宁模拟)航天飞机在平直的跑道上降落，其减速过程可以简化为两个匀减速直线

运动.航天飞机以水平速度叩=100m/s着陆后，立即打开减速阻力伞，以大小为m=4m/s2

的加速度做匀减速直线运动，一段时间后阻力伞脱离，航天飞机以大小为s=2.5m/s2的加

速度做匀减速直线运动直至停下.已知两个匀减速直线运动滑行的总位移x=l370m.求：

⑴第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小；

⑵航天飞机降落后滑行的总时间.

【答案】(l)40m/s(2)31s

【解析】(1)设第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小为V1,根据运动学公式有％2—

v\1=2a\x\y

力2=2。如

即+用=乂联立以上各式并代入数据解得0=40m/s.

(2)由速度与时间的关系可得用=也+。M，片=比大，，=h+d联立以上各式并代入数据解

得f=31s.

课堂检测逐点落实

8.关于竖直上抛运动，下列说法正确的是（）

A.在最高点速度为零，加速度也为零。

B.上升和下落过程的位移相同

c.从上升到卜.降的整个过程加速度保扑不变

D.上升到某一高度时速度与下降到此高度时的速度相同

【答案】C

【解析】A.竖直上抛运动，只受到重力作用，在最高点速度为零，但加速度仍为g,A错

误；

B.竖直上抛运动上升和二落过程的位移大小相等，但是方向相反，故位移不同，B错误；

C.竖直上抛运动，只受到重力作用，从上升到下降的整个过程加速度都是重力加速度，

保持不变，C正确；

D.竖直上抛具有对称性，整个过程加速度相等，故上行时间与下行时间相等，上升到某

一高度时速度与下降到此高度时的速度大小等，但是方向相反，故速度不同，D借误。

故选C。

9.如图1所示为A、8两物体运动的位移一时间图像.下列说法中不正确的是（）

A.A、5两物体开始运动时相距100m,同时相向运动

B.B物体做匀速直线运动，速度大小为5m/s

C.A、8两物体运动8s时，在由A的出发点60m处相遇

D.A物体在运动过程中停止了6s

【答案】D

【解析】根据位移一时诃图像知A开始运动时坐标位置为x=0,B开始运动时坐标位置

为x=100m,故A、3两物体开始运动时相距100m,位移一时间图像的斜率表示物体运动

的速度，八的速度为正，B的速度为负，故两物体的速度方向相反，是相向运动，A正确;

位移一时间图像的斜率表示速度，知8物体做匀速直线运动，谏度大小为『"[©Im/s

O

=5m/s,B正确；1=8s时两图线相交，表示A、8两物体运动8s时，在距4的出发点60m

处到达同一位置，即相遇，C正确；2〜6s内，物体A位置坐标不变，保持静止，即停止了

4s,D错误.

10.（多选）（2020•陕西延安市第一中学高三二模）物体以初速度w竖直上抛，经3s到达最高点，

空气阻力不计，g取10m/s2,则下列说法正确的是（）

A.物体的初速度vo为60m/s

B.物体上升的最大高度为45m

C.物体在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为5：3：1

D.物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9：4：I

【答案】BC

【解析】物体做竖直上帼运动，有仁W一家①

联立①©可得vo=3Om/s,h=45m,故A错误，B正确；物体在第1s内、第2s内、第3s

内的位移分别为25m、15m、5m,已知不=：,故在相等时间内的平均速度之比为1

：V3=vi：&：X3=5：3：1,物体在Is内、2s内、3s内的平均速度之比为；/：刀2'

:v/=Y：y：—=5：4：3,故C正确，D错误.

11.（多选）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其丫一/图像如图5所示.已知两车在1=3s

时并排行驶,吐）

A.在f=ls时，甲车在乙车后

B.在/=ls时，甲车与乙车并排行驶

C.在「=0时，甲车在乙车前7.5m

D.两车另一次并排行驶的时刻是，=2s

【答案】BC

【解析】根据丫一/图像与时间轴所围的“面积”表示位移，由图像可知，I〜3s甲、乙两车

通过的位移相等，已知两车在，=3s时并排行驶，所以两车在，=ls时也并排行驶，故B正

确,A、D错误；根据合一，图像与时间轴所围的“面积”表示位移,由图像可知。〜1s,甲的

0+10

位移为：A|—t2Xm=5m；乙的位移为：工2=一一1=-m=12.5m；甲、

乙两车的位移之差为：Ar=X2—Xi=（12.5—5）m=7.5m,所以在1=0时，甲车在乙车前7.5

m,故C正确.

12.（2021・湖北卷2）2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军

.某轮比赛中，陈芋汐在挑台上倒立静止，然后下落，前5m完成技术动作，随后5

m完成姿态调整.假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10

m/s2,则她用于姿态调整的时间约为（）

A.0.2sB.0.4s

C.1.0sD.1.4s

【答案】B

【解析】陈芋汐下落的整个过程所用的时间为/=、僧s=i.4s

下落前5m的过程所用的时间为

[2li/2x5,

r,=V7=Vfo-s=,s

则陈芋汐用丁姿态调整的时间约为/2=/—n=0.4S，故B正确.]

13.球A从高为2m的位置自由卜落，同时球A正下方的球B由地面以5m/s的速度向上抛

出，求：(g取10m/s2,不计空气阻力)

(1)两球相遇时8球的速度大小；

(2)若8球以4nVs的速度抛出，两球会不会在空中相遇.

【答案】(1)1m/s⑵会

【解析】(1)设两球相遇所需时间为f

力=叩/一上户+上户得f=0.4s

VB=v0—gf得vB=1m/s

⑵假设两球会在空中相遇，设相遇时间为r

由力=1勺丁一/e+上/'2得f=0.5s

3球在空中运动的时间为历

“一平得0.8s

O

A球落t也的时间为tA，以=\y券0.6s,

由于「4八，rV",故两球能在空中相遇.

14.在十字路口，一辆汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速直线运动，此时哈好

有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求:

(1)什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

(2)在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？

【答案】(l)10s时25m(2)距停车线100m处10m/s

【解析】(1)由题意知两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

汽车做初速度为零的匀加速直线运动，所以v/<=«/=vA

代入数据得1=10s

最远距离x=x在一x汽=v(I=25m.

(2)汽车追上自行车时，它们相对于停车线的位移相等，设汽车追上自行车所用时间为「

止匕时X（｝=x汽，

即：产.

代入数据得r=20s.

此时距停车线距离y=v〃=100m.

此时汽车速度V*=〃r=10m/s.

课后巩固夯实基础

8.将一个物体在t=0时刻以一定的初速度竖直向上抛出，，=0.8s时刻物体的速度大小变为

8m/s（g取10m/s2）,则卜列说法正确的是（）

A.物体一定是在/=3.2s时回到抛出点

B.f=0.8s时刻物体的运动方向可能向下

C.物体的初速度一定是20m/s

D./=U.8S时刻物体一定在初始位置的下h

【答案】A

【解析】物体做竖直上帼运动，在0.8s内速度变化量Ai，=g[=10x0.8nVs=8m/s.因为初

速度不为零，可知/=0.8$时速度方向一定竖直向上，不可能竖直向下，物体处于抛出点上

方，再经过0.8s,物体到达最高点，由对称性可知，1=3.2s时物体1可到抛出点，故选A.

9.从地面上竖直向上抛出一个物体A,同时在离地面某一高度“有另一个物体B开始自由

落下，两物体在空中同时到达同一高度时速率都为〃不计空气阻力，则下列说法中错误的

是（）

A.物体4上抛时的初速度和物体8落地时的速度大小相等，都是2V

B.两球同时落地

C.物体A上升的最大高度为〃

D.两物体到达同一个高度时，物体B下落了与

【答案】B

【解析】A.设两物体从下落到相遇的时间为九竖直上抛物体的初速度为%,则有

解得％=2u,f=上则A上升到最高点所用的时间为，'=%=空

gKg

所以根据竖直上抛运动的速率对称性，知竖直上抛的最大高度即为自由落体运动的高度，

所以8落地时速度大小也为2巧故A正确，不符合题意；

B.B做自由落体运动，故8会先落地，故B错误，符合题意：

C.B开始下落的高度为“=:g/'2=2二物体A能上升的最大高度4=工=生=〃

2g2gg

故C正确，不符合题意；

D.两物体在空中同时达到同一高度为/7=:切2=：”故D正确，不符合题