2026年高考数学抢分专练：轻松突破二项式定理（7大热点题型）学生版+解析

专题19轻松突破二项式定理的七大热点题型

ONE幽颜f命题溯源）

题型考情分析考向预测

1.求二项展开式特定项或项的系数2025年上海卷第4题考查求二项展开式特定结合近年高考命

项的系数题规律与新课标导

2024年天津卷第11题考查求二项展开式的向----“基础稳、

2.求两个二项式乘积展开式中特定

常数项交汇活、文化

项的系数

2024年全国甲卷第13题考查二项展开式系浓”，大概率以选

3.求三项展开式的特定项或特定项

数的最值择题或者填空题出

的系数

2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数现，难度基础或者

4.用赋值法求系数和

的和中档，掌握公式，

5.求系数最大（小）的项

掌握通性通法，基

6.杨辉三角问题

础题遇到必拿分。

7.二项式定理的应用

TWOt幽颜2押

A题型1求二项展开式特定项或项的系数

01抢分攻略

1.二项式定理

定理内容：S+力九=+禺Qn-%1+・・•+CQibk+・・•+

型SEN"其中a,b可以是数或多项式或其他，要灵活看待）.

2.二项式通项

Tk+l=幅…〃.

（Q+b『型问题的解题思路:

步骤1：利用二项式定理展开重+1=优化简得展开式.

步骤2：令展开式次数等于题目所求次数,求k.

步骤3:将k代入展开式得系数.

【例1】（安徽蚌埠市2026屈高三下学期适应性考试数学试题）二项式卜+2）展开式中的常数项是

()

A.15B.30C.240D.480

【变式1・1】（25-26高三下•重庆渝中•月考）在（2«+,丫的二项展开式中，若常数项为240,则一项的

IX）

系数为（）

A.60B.36

C.729D.6

【变式1-2］（25-26高三上•河北邯郸・期中）若2V—匕的展开式中心的系数比F的系数小300,则实

数”=()

A.5B.4C.3D.2

A题型2求两个二项式乘积展开式中特定项的系数

01抢分攻略

L（p+q）•（a+b）n型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理展开或+l=化简得展开式.

步骤2:分类讨论，令展开式p・£+i与q•或+i的次数分别等于题目所求次数,分别求h

步骤3:分别将k代入展开式p•TM与q•或+i得系数.

2.（p+q）m・（a+b『型问题的解题思路：

步骤1：利用二项式定理对（p+q）m展开得或+1=CZpm-k丸对（a+b『展开得丫”=&。口一2]

步骤2：分类讨论，将题目所求的项的次数分配给（p+q）m和（Q+b）\分别求“和『；

步骤3：分别将k和T代入或+1和匕+1得系数.

【例2】（2026高三上•贵州贵阳•月考）（1+丁）（/-」）6的展开式中，含F的项的系数是（）

A.35B.5C・—5D.-35

在（Y+l/x—gj的展开式中，含V的项的系数为

【变式2-1]（2026高三上•河北邢台•月考）

【变式2.2]（2025高二下•云南昭通・期中）（1-2幻5（1+3幻4的展开式中按工的升暴排列的第3项的系数为

()

A.26B.-26C.6D.-6

”题型3求三项展开式的特定项或特定项系数

01抢分攻略

（a+b+c）”型问题的解题思路：

思路一:利用二项式定理展开或+I=5aL（b+C）k=C浓nf6~Tcr=&；侬时无心-已令展开式次数等于

题目所求次数，求k与『，代入展开式得系数.

思路二:将题目所求次数依次分配给%b、c,再利用二项式定理展开.

02押题预测

\6

【例3】（2025•浙江•二模）4%的展开式中，/），2的系数为（)

x

A.60B.120C.240D.360

【变式3・1】（2025•江西•二模）在（f+x+y）6的展开式中，/），的系数为（）

A.3B.6C.60D.30

A题型4用赋值法求系数和

01抢分攻略

【知识点解析】

已知（s+b）"=a）+。任+。2/+。3〃+•••

①^£=0,得Q0=bt

X=1,得％)+a[+&+出+…+即=(a+h)n；

=—1,得a。-a1+%-Q3+…+(-1)%“=(―a+b)n;

(a+b)"+(—a+b)”

，得a()+©+&+...—■

2

②一③(a+b)"—(―Q+b)”

---5---，得Q]+%+Q5+…=--------------------------------；

人ga।..II.1.।1(a+6)n+(—a+b)”(a+b)"—(—a+b)”

®4*®+⑤，得|a)|+|QJ+血|+l&l+…+I&I=---------------z---------------T~

23

⑦;(。1+5)”=4)+a\X4-ao^+o,3x+...+Qn衬'

n2n1n1

...[(ax+b)]‘=QR+2aH+3a3x+...+nanx-=an(are4-6)-

令c=1,・•・Qi+2az+M+...4-nan=an(a4-6)n-1.

空押题预测

【例4】（多选）（2026高三上•湖南长沙•月考•多选）若（l+2x严5=%+qx+//++啧5婢”，则下列

正确的是()

A.4=1

B.%+%+。4+―+&)24=---

「3迎+1

C.%+%+%++a.=-;—

D.4—2%+3a、-4%+•••+20254物5=—2025

【变式4・1】（多选）（2025•湖南永州・模拟预测•多选）设（261）|。=4°+/1+令2++/”，则

（）

A.%=T

B.佝=一5120

_3,0+1

C.a2+a4+•+4。=—^―

D.q+2a2+•+10q。=20

A题型5求系数最大（小）的项

01抢分攻略

【知识点解析】

考向一:若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决.

考向二:若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最

大值.

【例5】（2025高三下•浙江宁波•月考）二项式*-2）7展开式中，系数最大值为（）

A.?«0R.44RC.S60D.67?

【变式5・1】（2025高二下•江苏徐州•月考）（2x-），）6的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别

为（）

A.第1项和第3项B.第2项和第4项

C.第3项和第1项D.第4项和第2项

器题型6杨辉三角问题

01抢分攻略

杨辉三角本质

第八行对应（Q+b）n的系数

高频考点与固定套路

1.求某一行的和

C：+C：+…+C；；—2n

策略:令。=l,b=1代入（Q+b）”.

2奇数项和=偶数项和

CB+…=Q+C"…=2吁1

策略：令。=1,6=—1,两式相加/减。

3求某一行平方和

（叱）2+（C；）2+…+（5-=

策略：看成（1+C尸（1+1产=（1+£产，比较产系数。

【例6】（多选）（2025高二下•内蒙古赤峰•期末•多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著

的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年.如图所示，在“杨辉三角〃中，除每行两边的数

都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和•则下列命题

中正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行114641

第5行1510105

A.笫6行中，有两个相等的最大数B.C；+C：+…+C[=2I9

C.第〃行所有数之和为2”D.在第3行以后，还会出现全为奇数的行

【变式6-1]（多选）（2025高二下•河南信阳•期末•多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性

质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行I33I

第4行14641

第5行15101051

第6行161520156I

第八-1行1C3・C31

第八行1Cic：Chc：C1

+

A.c：=crB.c：=c：,+c；!

c.c；+c；+c；+…+c：i=C(〃22)D.G+C；+C：+...+C"C：(〃N3)

»题型7二项式定理的应用

01抢分攻略

一、求余数问题

适用:求a”除以m的余数（a,m为正整数，n为正整数）

核心步骤:

1.凑整拆分:将底数Q拆为a=Mn±r（k为整数，0&rVm,r为余数核心），使km能被m整除:

2.二项展开:将（履几士「广按二项式定理展开,展开式中除最后一灰（仅含尸）外，其余项均含km因子，能被m整

除:

3.求余化简:只需计算最后一项严除以m的余数，即为砂+m的余数：

若产仍大于TH,重复拆分产再求余。

关键:拆分时优先凑km+1或后n-l（展开后最后一项为±1,求余最简）。

二、近似计算问题

适用：求（1+x）n（\x\远小于1）的近似值，或（Q+b）n（b远小于Q,可化为+贯）”）

核心原理：国《1时，炉、炉、…、仃，为微小项,可忽略，仅保留展开式前2~3项即可满足精度。

核心步骤：

1.凑标准型:将原式化为（1+X）n（\x\«1）,若为（Q+b）n,提取Qn得+看了（令1=号，国《1）；

2.有限展开:按二项式定理展开，仅保留前2项（一次近似）或前3项（二次近似）：

-一次近似（基础精度）：（1+。广y1+nx；

-二次近似（更高精度）：（1+x）n弋1+nx+吗❷/；

3.计算化简:代入数值计算,得到近似值。

关键:仅当也I远小于1时可用，㈤越小，忽略高次项的误差越小;按需选择一次/二次近似。

【例7】（2025高二上•辽宁锦州,期末）若ria既能被9整除乂能被7整除，则正整数〃的最小值为

（）

A.18B.19C.54D.55

【变式7・1】（2025•江西吉安•模拟预测）1.0严的小数点后第二位的数字是（）

A.0B.1C.2D.5

【变式7-2］（25-26高三上•山东荷泽•期末）数列｛4｝中的项凡w｛Hx=2攵MwN-｝,若存在奇数人使得

年均不为偶数，则称数列｛&｝为邛介除序列.

⑴数列｛2,4,6｝为攵阶除序列，当ke｛l,3,5,7,9｝,求出所有的k；

（2）已知4=6,对任意的犯〃eN*,恒有〃"q+.=（〃7+〃）对4,求证：数列是5阶除序歹J.

THREE\麻颜3通关特训

一、单选题

1.（2026高三下•吉林•月考）若（2-V）（x+a）s展开式的各项系数和为32,则该展开式中/的系数是

（）

A.5B.10C.15D.20

2.（2026高三下•北京•月考）二项式的展开式中的常数项为（）

A.60B.-60C.64D.-64

3.（2026•吉林•模拟预测）在（*+），）（x-2），y的展开式中，尸），3的系数为（）.

A.120B.80C.40D.-40

4.（2026•河北邢台•一模）卜一白［的展开式中的常数项为（）

A.4B.-4C.1D.-1

5.（2026高三・山东泰安•月考）在（2-/）'（2'+］）2的展开式中％6的系数为（）

A.280B.300C.320D.360

6.（2026高三下•北京•月考）若（2+工）（1-2力7=%+qx+a/++仆/.则4+。2+。3++4的值是

（）

A.-5B.-3C.3D.5

二、多选题

7.（2026•河北衡水♦模拟预测）关于（5-1）6的展开式，下列判断正确的是（）

A.展开式共有6项

B.展开式的各二项式系数的和为64

C.展开式的第6项的系数为30

D.展开式中二项式系数最大的项是第4项

8.（2026高二上•河南驻马店•期末）已知（2-公）"（〃eN.）的二项式展开式中，二项式系数和为256,所

有项的系数绝对值的和为3'，则（）

A.a=-\

B.二项式系数最大的项为1120f

C.第6项的系数为448

D.所有奇数项的系数和为3281

9.（2026高二上•吉林长春・期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128,则（

A.〃=7

B.展开式中无常数项

C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大

D.展开式的各项系数之和是-1

10.（2025高二下•重庆•月考）已知x+的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数

最大的项是第（）项

A.2B.3C.4D.5

11.（2026高三上•福建福州•开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256,则（）

1X

A.〃=8

B.展开式中各项系数的和为3$

C.展开式中存在常数项

D.展开式中f的系数为16

12.（2026高三上•浙江宁波・期末）已知的展开式中常数项为3,aeR,则下列说法正确的有

\X）

（）

A.a=­\

B.（aF+gJ的展开式中/的系数为3

C.（aP+Tj的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和

D.（a/+：j的展开式中系数最大的项为第2项或第3项

13.（2026•辽宁朝阳•一模）若（l+a）"=/+qx+…+〃wN,，，为常数，则（）

当/=时，（）

A.〃=6B.2a,<«4/=0,1,--,6

64

C.当Z4=729时，t=2D.当4+生=2时，/<—

k=o15

14.（2026面二上•黑龙江哈尔滨•月考・多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书

中

展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（）

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行1510105i

第〃行

A.第48行的所有数字之和被7除的余数为1

B.第20行第7个数和第8个数的比为2:3

C.从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为7

D.第〃行所有数的平方和等于第2〃行最中间的数

三、填空题

15.（2026高三上•浙江杭州•期末）展开式中/项的系数为.

16.（25-26高三下•江西•月考）若〃2H0,且（X?-x+=4+…+卬2/，贝1加的值为

17.（2026•广东•模拟）在（or-y+z）'的展开式中，记广了次项的系数为了。〃,〃,而），若/（3,2,2）二豆，则

a的值为.

18.（2026高三下•天津•专题练习）已知多项式（x-l）'+（x+l1=14+4/+生/+4工+/，贝lj

a2+%+《=•

19.（2026高三下•广东深圳・月考）在1+的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则展开式中系

数最大的项是.

20.（2026高三上•广东东莞•期中）若“X）被5-1）2除之余式为2x+l,"力被（1-2）除之余式为4+3,

则“力被（x-l）2（x-2）除所得余式为

21.（2026高三上•黑龙江齐齐哈尔•月考）小丁+小上+小才+…+Cj7被9除的余数是

22.（2026高二上•河南驻马店•月考）已知〃7>0,且手皿+加恰能被6整除，则〃?的最小正整数取值为

专题19轻松突破二项式定理的七大热点题型

ONEI

题型考情分析考向预测

1.求二项展开式特定项或项的系数2025年上海卷第4题考查求二项展开式特定结合近年高考命

项的系数题规律与新课标导

2024年天津卷第11题考查求二项展开式的向---“基础稳、

2.求两个二项式乘积展开式中特定

常数项交汇活、文化

项的系数

2024年全国甲卷第13题考查二项展开式系浓”，大概率以选

3.求三项展开式的特定项或特定项

数的最值择题或者填空题出

的系数

2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数现，难度基础或者

4.用赋值法求系数和

的和中档，掌握公式，

5.求系数最大（小）的项

掌握通性通法，基

6.杨辉三角问题

础题遇到必拿分。

7.二项式定理的应用

TWOI幽盛1T2押

A题型1求二项展开式特定项或项的系数

01抢分攻略

1.二项式定理

定理内容：（a+8）-=Cga”+禺出广181+°.。+c々优，-上坟+…+

姻SEN"其中a,b可以是数或多项式或其他，要灵活看待）.

2.二项式通项

nkk

Tk+l=C^a^b,

（。+6广型问题的解题思路：

步骤1：利用二项式定理展开重+i=火化简得展开式.

步骤2：令展开式次数等于题目所求次数,求k.

步骤3：将右代入展开式得系数.

【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式卜+白）展开式中的常数项是

（）

A.15B.30C.240D.480

【答案】C

【解析】卜的展开式通项为2尸士（白）手仕=0,1,2,,6）,

令6—|左=0得2=4,故展开式中的常数项为C：・2“=15x16=240.

【变式1・1】（25-26高三下•重庆渝中•月考）在（24+JJ的二项展开式中，若常数项为240,则一项的

系数为（）

A.60B.36

C.729D.6

【答案】A

【解析】展开式的通项公式为7；,广，：（2«）”等.

n-3r

令——=0,则〃=3r,

2

当r=l时，〃=3,22C^=12^240,

当r=2时，〃=6,2"C：=240,所以〃=6,

令等=-3,则r=4,所以22C；=6O.

2/一斗）的展开式中产

【变式1-2］（25-26高三上•河北邯郸・期中）若的系数比r的系数小300,则实

数。=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】由二项式-4）展开式的通项为乙广膜（2丁）6-（一¥），=（_&）-26工晨.*川,

令18-4r=10,可得厂=2,所以展开式的父。的系数为。=240%

令18-4r=2,可得厂=4,所以展开式的/的系数为/•22・C：=60“2,

因为展开式中一的系数比/的系数小3（）0,可得60/-240〃=300，

即/一4a—5=0，解得。=5或〃二一1,

又因为。20,所以。=5.

故选:A.

A题型2求两介二项式乘积展开式中特定项的系

01抢分攻略

L（p+q）•（a+b）n型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理展开或+l=化简得展开式.

步骤2:分类讨论，令展开式p・£+］与q・£+i的次数分别等于题目所求次数,分别求h

步骤3:分别将k代入展开式p-K+i与q•或+i得系数.

2.（p+q）m・（a+b『型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理对（p+q）m展开得或+i=C*严-号,对（a+b『展开得Y+i=3。时方；

步骤2：分类讨论，将题目所求的项的次数分配给（p+q）m和（Q+b）\分别求k和『；

步骤3：分别将k和T代入或+1和匕+1得系数.

【例2】（2026高三上•贵州贵阳•月考）（1+丁）（/-1）6的展开式中，含V的项的系数是（）

x

A.35B.5C.-5D.-35

【答案】C

其中含有.金的项分别是1•和ac

这两项系数之和为-20+15=-5,故选:C.

【变式2・1】(2026高三上•河北邢台•月考)在［的展开式中，含Y的项的系数为

【答案】5

【解析】由题意得(/+1)卜一：］=/卜一gj+卜一£|5,

则含丁的项为/C*31-J+C*，(一£］=5/，所以含Y的项的系数为5.

故答案为：5.

【变式2・2】(2025高二下•云南昭通・期中)(1-2幻5(1+3»的展开式中按工的升累排列的第3项的系数为

()

A.26B.-26C.6D.-6

【答案】B

【解析】展开式中按x的升幕排歹J的第3项，即展开式中含/的项.

(l-2x)s的2次项，1次项分别为C；(—2x)2,C；(-2x)；

(l+3x)4的2次项,1次项为C：(3X)2,C；(3X)L

则(1一2»(1+3»的2次项为Cj(3x)-G(—2x)2+G・(—2x)-C(3xy=-26寸.

故选:B.

》题型3求三项展开式的特定项或特定项系数

01抢分攻略

(a+b+c)”型问题的解题思路：

k

思路一:利用二项式定理展开Tk+l=CMRb+c)=CELabF=。2⑦…竹飞，,令展开式次数等于

题目所求次数，求k与『，代入展开式得系数.

思路二:将题目所求次数依次分配给%b、c,再利用二项式定理展开.

【例3】(2025・浙江•二模)(丁+：+))的展开式中，的系数为()

A.60B.120C.240D.360

【答案】B

【解析】要得到xb，2这一项，相当于从6个含有V,4,),三项的因式/+差+),中的3个因式取炉，1个因

XX

7

式取一，2个因式取y,

X

即力2这一项为c：(r7c-^-cy=i20xy.

故W的系数为120.

故选：B

【变式3”】(2U25•江西•二模)在(F+x+y)6的展开式中，Fy的系数为()

A.3B.6C.60D.30

【答案】C

【解析】

根据二项式定理，可得［渊+幻+外展开式的通项为乙尸&(犬+》厂产(〃=0J2,…,6).

要求/)，的系数，则y的次数〃=1,此时(/+工)6-『=(/+外5

同样根据二项式定理，(/+4展开式的通项为*=/(一尸/=c；M=c"g"

(777=0,1,2,--,5).

要得到x1，则令10-〃?=7,解得m=3.

当r=l,m=3时，Jy的系数为CC：=6xl0=60.

在(/+x+),)6的展开式中，/),的系数为GO.故选：c.

A题型4用赋值法求系数和

01抢分攻略

【知识点解析】

已知(3+6)“=4+。0+。/2+。3炉+•••+4砂

①^c=0,得4=胪；

=1,得a()+。1+02+03+…+Q,i=(a+6)n;

—n=

(3^$,X=—1,得Q()—Q]+的—。3+…+(l)CLn(—CL+b)”；

nn

人②+③z(a+b)+(―a+6)

-------Q-------，得a)+©+&+•«­-----------------------Q---------------------j

(a+6)re—(―a+6)n

，得Q1+%+Q5+…一

92，

1++|Q|_(a+6)w+(-a+b)“+(a+b)”_(_a+b)n

⑥令④+⑤,得|山|+|。1|+血|+

1

⑦「(Q”+b)”=a)+。避++Q3c3+…4-an3/

n12n1n1

[(ax+b)]‘=QR+2a>a:+3a3x+...+nanx~=an(aa;4-6)-

nl

令1=1,工Qi+2a2+3a3+...H-na,.=an(a+b)~.

02押题预测

【例4】（2026高三上,湖南长沙•月考・多选）若（1+24严5=4+*+廿2+.+，#。25,则下列正确的是

()

A.%=1

I_3202s

B.%+%+&++出024=---

3叫1

C•%+/+&++“2025=

D.%-2%+3%―44+…+2025。2025=-2025

【答案】AC

【解析】对于A,令x=0,则％=1,故A正确；

对于BC,令X=l,贝I]%+%+%+…+&O25=3?°”，

令x=-1,则4|_q+生_4++々2024_生025=(_1)皿5=一|,

320”_।32025+|

则40+生+…+。2024~~~--4+。3+。5+…+。2025~~—，故B错误，C正确;

对于D,由(1+2外2阳=%+4/+%/++%025产”两边同时求导可得：

22024

2025(1+2x)202iX2=4+2a.,x+3a3x++2O25^5x,

令lr=—1,则4050(—1)"'=4—2出+3%—++2025t/9025,

所以《一242+3%一44++2025tr2025=4050,故D错误.

故选：AC

【变式4・1】(2025•湖南永州•模拟预测•多选)设(21—『°=为+4尤+生/+-・,+即3°,贝lj()

A.%=T

B.“9=-5120

「3,ft+l

C.a2+a4++%=-^―

D.q+2a?++1。颉=20

【答案】BD

【解析】对于A,令x=0,则%=(T严=1,故A错误；

对干B,由/的系数为C；°x29x(-『二-5120,故B正确；

对于C,令X=l,则4+4+①，

令上=-1,则%—%++%0=3'°②,

2代4.I4-I个°_]

①+②口J得，6(2+---^“10=-2---"。=-2----]=-2-，报C错误；

9

对于D,对原方程两边求导，有20(2%-l)9=q+2%4++10al0x,

令x=l,得q+2%++10即)=20,故D正确.

故选：BD

A题型5求系数最大(小)的项

01抢分攻略

【知识点解析】

考向一:若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决.

考向二:若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最

大值.

Q2押题预测一

【例5】（2025高三下•浙江宁波•月考）二项式2Y展开式中，系数最大值为（）

A.280B.448C.560D.672

【答案】C

【解析】（工-2）7展开式通项公式为*=3（-2）37”,0分47且厂为整数,

要想系数最大，则「为偶数，是展开式中的奇数项，

则第1项的系数为1,第3项的系数为84,第5项的系数为560，第7项的系数为448,

故二项式（x-2）7展开式中，系数最大值为560.

故选:C

【变式5・1】（2025高二下•江苏徐州•月考）（2x-），）6的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别

为（）

A.第1项和第2项B.第？项和第4项

C.第3项和第1项D.第4项和第2项

【答案】B

【解析】（2人=），）6的展开式的通项为九1二（一1»21《f4）3,

当士取奇数时，系数为负值，

535

当上=1时，T2=-\92xy,当&=3时，7；=-160x/,当Z=5时，7；=-12xy,

所以第2项的系数最小；

因为（2x-），）6的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第g+1=4项的二项式系数最大.

故选：B.

A题型6杨辉三角问题

01抢分攻略

杨辉三角本质

第n行对应（Q+b）n的系数C*C：,...，C；：

高频考点与固定套路

1.求某一行的和

c：+3+…+3=2”

策略：令a=l,b=1代入（Q+b）n.

2奇数项和=偶数项和

+a+…=。+0+…=2吁1

策略：令a=l,b=-l,两式相加/减。

3求某一行平方和

（C：）2+（3）2+…+（5）2=C%

策略：看成（l+c）n（l+l）n=（l+l）2n,比较产系数。

【例6】（2025高二下•内蒙古赤峰•期末•多选）“杨辉三角〃是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析

九章算法》一书中首次记载的，匕欧洲早393年.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1

外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则卜列命题中止确

的是（）

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

♦•••••♦♦••••••••••••••••

A.第6行中，有两个相等的最大数B.C+C：+…+C：=219

C.第〃行所有数之和为2”D.在第3行以后，还会出现全为奇数的行

【答案】BCD

【解析】对A,由杨辉三角的规律可知,第6行的数为：1,6,15,20,15,6,1,最大数只有一个，错误;

对B,C；+C2・TCi=C；+C；+C：+~+Cj_l

=C+C+…+C：1-1=C+C+…+C\lh..=C：2-l=219,正确:

对C,由二项式系数性质可知，笫〃行所有数之和为2"，正确:

对D,由杨辉三角的规律可知,第6行的数为：1,6/5,20,15,6.1,

第7行的数为：1,7,21,35,35,21,7.1,所有数都是奇数,正确.

故选：BCD

【变式6・1】（2025高二下•河南信阳•期末•多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并

把系数写成一张表,后人称为杨辉三角，如图所示,关于杨辉三角正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行I21

第3行1331

第4行14641

第5行5101051

第6行I615201561

第八-1行1C；|C3・・1

第桁1cic：5C1

A.C：=c「B.C：=C"C；［；

C.C+C；+C；+...+Ci=C(〃22)D.C；+C+C：+...+CT=C：(〃23)

【答案】ACD

【解析】根据杨辉三角的性质：C；=c7，C；=C3+C3,所以选项A正确，B错误;

当〃22时，c；+c；+c；++C“=c；+c；+c；++CL

=c"c"+Ci=?*+：£=3选项c正确；

当〃N3时，C；+C；+C；++C；T=C；+C；+C：++C3

=c：+c+•+C3=?=..：4+评="选项D正确.

故选：ACD.

■题型7二项式定理的应用

01抢分攻略

一、求余数问题

适用:求d除以m的余数（a,rn为正整数，n为正整数）

核心步骤：

1.凑整拆分:将底数Q拆为a=fcrn±r（k为整数，O&rVm,r为余数核心），使km能被m整除：

2.二项展开:将（h九士按二项式定理展开,展开式中除最后一项（仅含〃）外，其余项均含km因子，能被m整

除：

3.求余化简:只需计算最后一项尸除以m的余数，即为砂+m的余数：

若产仍大于TH,重复拆分产再求余。

关键:拆分时优先凑km+1或后n-l（展开后最后一项为±1,求余最简）。

二、近似计算问题

适用