2026年高考数学第一轮练习：导数与函数的单调性（一）（附答案）

§3.2导数与函数的单调性（一）

（分值:80分）

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.函数,/U）=2.r-cosx在R上是（）

A.增函数B.减函数

C.先增后减D.不确定

2.设/。）是函数府）的导函数，产八幻的图象如图所示，则产/⑺的图象可能是（）

3.函数,/（x）=x-21n（2x）的单调递减区间为（）

A.（l,+8）B.（0,1）

C.（0,2）D.（2,+8）

4.（2025・黄山模拟）已知函数./U）与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数g（x尸詈单调性的说

法正确的是（）

.v|

-3

A.在（・1,1）上单调递减

B.在（0,2-b）上单调递减

C.在［2-百，1］上单调递减

D.在［1,2］上单调递减

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.如图为）=/“）的导函数/'（为的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（）

AJU）有三个单调区间

BR2）4-1）

D加）在［-1,2］上单调递增，在（2,4］上单调递减

6.下列函数在定义域上是增函数的是（）

A./W=等B./（x）=ln4

C/x）=ev-2'xD/.r）=et（.r2+1）

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.函数./U尸ex-厘的单调递减区间为.

8.（2025•丽水模拟）已知函数府）=圣十,九人〃.什1的单调递减区间是（-3,1）,则〃计〃的值为

四、解答题（共27分）

9.（13分）已知函数府）=?+"（ai+l）lnx在x=l处的切线方程为y=bx^a,b^R）.

（1）求。，〃的值；（6分）

（2）证明：段）在（1,+8）上单调递增0分）

10.（14分）（2025•北京模拟）已知函数於）=（l-at）eX（a£R）.

⑴若“1,求函数在点（1,火1））处的切线方程；（5分）

（2）讨论7U）的单调性.（9分）

向第力拓展

II题6分，12题5分，共11分

11.（多选）（2024•青岛模拟）如果函数产©）在区间/上单调递增，且竽在区间/上单调递减，那么称函数

），可口）是区间/上的“缓增函数”.则下列函数是区间［1,百1上的“缓增函数”的是（）

A./（.r）=ev

B./x）=lnx

CJ（x）=r-2.v+3

D./（x）=-*+28x+3

12.函数,/（x）=sin2x+2cosx在（0，兀）二的单调递增区间为.

答案精析

1.A［=2x-cosx,

A/W=2+sin.v>0在R上恒成立,

・・・,/U)在R上是增函数J

2.C|由y=f3的图象可知，当xvO和x>2时,/U)>0，./U)单调递增;当0<x<2时J'(x)vO，危)单调递

减，结合选项可知，只有C中图象符合要求」

3.C［/(x)=x-21n(2*的定义域为(0,+8),

J/U)=l-22-x2=1--x

_x-2

由,可得x£(0,2),

故贝x)=x・21n(2。的单调递减区间为(0,2).］

4.B［从图象可以看出过点(2,0)的为凡。的图象，过点(1,0)的为导函数的图象，

当工£(-1,2・V5)时,

f\x)-Av)<0,故g'(x)<0,

g(x)二等在(-i,2-V5)上单调递减，

当,2］时，

外幻-於)20,故g(i)20,

g(x)二等在［2-V3,2］上单调递增，故A,C,D错误，B正确」

5.CD［对于A,由图象可以看出，广(X)的符号是先负后正，再负再正，所以函数/U)有四个单调区间，故

A错误；

对于B,当x£［・2,・1］时，

/(x)W0,函数火幻单调递减，

所以汽・2)M-1),故B错误；

对于C,当x£[-1,2]时，

,函数7U)单调递增，

所以式-I)勺U)，故c正确；

对于D，当x£(2,4]时，/(x)WO,函数式幻单调递减，显然D正确」

6.BCD|对于A,危)的定义域为(0,+8)"⑺二上乎，

*v

当x£(e,+8)时，八幻<0,

工区)在(e,+8)上单调递减，A错误；

对于B/(%)=>妥>0,

.7/U)在(0,+8)上为增函数,B正确；

对于C,J*)二e±2-x二6)”为增函数，C正确；

对于D"。)=^(/+\)+cx-2x=c\^+2x+l)=cr(x+1)2>O,・\/(x)为增函数，D正确.]

7.(1,+8)

解析了3=e-e"

令/(x)<0,解得Q1,

所以£r)的单调递减区间为(],+8).

8.-2

解析/'⑴二/+2"优+〃，

由人工)的单调递减区间是(・3,1),

得/(x)<0的解集为(・3,1),

则・3,1是/。)=0的解,

丁・・2/7?=-3+1=-2,

/z=lX(-3)=-3,

可得用=1,〃=-3,故机+〃=-2.

2

9.(1)—解因为yU)=Y£+ax

-3+l)lnx,

ax1

所以/(x)=x+〃-«lnx-x=x-a\nx,

fW=b,

依题意可得

/1)="|,

1-1-a\nl=b,

即1

3+a—(a+l)lnl=b+5

解得F=°'

a=2.

(2)证明由(1)可得

At)=v+2.r-(2x+l)lnx,

则fW=x--21nx,

令四)=八用=公；21门，］£(1,+8),

则g'(x)=l+9■:二厘>0,

所以g(x)在(1,+8)上单调递增，

又g⑴=0,

所以当xe(l,+8)时，g(x)X),即/U)>0,

所以JU)在(1,+8)上单调递增.

1().解(1)当a=l时，

/%)=(1-x)e\

.*,AD=0,/W=

・・・/'(l)=-e,

,切线方程为y-0=-e(x-1),即ex+y・e=0.

(2y，Cv)=(l-a-axW,

当aHO时，令f'(x)=O,

ZQ1-Q

长TX=---

a

若a>0,当X£(-8,平)时,

八幻乂)，yu)单调递增，

当同早,+8）时，/a）〈o,危）单调递减;

若〃＜0,当回-8,与］时，/'«）＜。，段）单调递减，

当了£（早，+8）时，

/V）＞0，/W单调递增；

若a=0,7W=ev,函数7U）在R上单调递增，

综上可知，当〃＞0时，函数4r）在（一8,平）上单调递增，

在（詈，+8）上单调递减，

当a＜0时,函数次x）在

（-co,上单调递减，

在（詈，+8）上单调递增，

当a=0口寸，函数於）单调递增.

11.CD［/U）=e,在

［1,逐］上单调递增,

设g。）二型=V，

则g'（©二竺沪，

当工£口，V5］时，g«）＞o,

则g⑴在u,遮］上单调递增，

故A错误；

_/U）=lnx在［1,g］上单调递增，

设/心户上;也，

XX

则力。）二等，当x£［l,同时，

/ru）＞o,〃（x）在［1,V5］上单调递增，故B错误；

火X）=W・2Y+3在［1,百］上单调递增，

设出。）二号二x・2+:,

则攵。）二学，当x£［l,8］时，,依）在［1,遍］上单调递减，故C正确：

J(x)=+28工+3在［1,6］上单调递增，设“(%)二一

=-A+2V3+,

心户・1・专,当问1,a时,

g3<0,q(x)在［1,V5］上单调递减，故