2026届高三数学百日冲刺小题集训18（解析版）

2026届高三百日冲刺小题集训18

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.命题“以£R,2X+1>sinx”的否定是()

A.3xeR,2X+1>sinxB.3xeR,2X+1<sinx

C.Vx6/?,2X+1<sinxD.Vx6/?,2X+1<sinx

【答案】B

【解析】由题意知,命题”xER,2X+1>sinx”的否定为“比GR,2X+1<sinx'\

故选：B

【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.

2.已知复数Zi=2+i,z2=1+mi(mE/?),且z］，z?在更平面内对应的点分别为4B,

设复平面原点为。，若向量方与丽共线，则m=()

A.1B.-2C.1D.2

【答案】A

【解析】由复数的几何意义可知Zi=2+i对应点4(2,1)，即易=(2,1).

Z2=1+zni对应点B(Lm)，即而=(l,m>

若瓦?与丽共线，则2m-1=0,解得m=*

故选：A.

【分析】由复数的几何意义得皿2,1),然后利用向审的共线坐标运算列式即可求

解.

3.已知定义在R上的函数户㈤=｛葭4,:鼠，则僧TT)的值是()

A.-B.--C.一遮D.遗

2222

【答案】C

【解析】因为rn>0,所以利用人切二人工一切多次递推，

w(»=/O。=/(河，/(〉)=/(>-北)=/(2

f(1)=f(>-丘)=f修4f(河=f0-n)=，(一7)，

此时一5<。符合/(x)=sinx,

代入得O=SM(-5=-苧，

故选：C

【分析1运用分段函数性质和正弦函数计算即可.

4.已知随机变量XN(1,O2),且P(X$-2)=P(XZ2Q-2),则(ax-1产展开式中各项系数

1/9

之和为()

A.32B.64C.-32D.-64

【答案】A

【解析】因为P(X<-2)=P(X>2a-2),所以苫==1,解得Q=3,

52n

设(3x—l)=a0+axx4-a2x+…+anx,

则当戈=1•时，+%+a2+…+an=(3—I)5=32,

故选：A.

【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出a,再利用赋值法求出系数和.

5.如图，点。是的重心，点。是边BC上一点，旦前=3沆，0D=mAB+nAC,则

；=()

【答案】D

【解析】如图所示,

延长小。交8。于E,由1知。为△4BC的重心，则点E为BC的中点,

可得荷=2丽，且族=；(屈+启)，乂由近=3万？，

可得。是BC的三等分点，则=OE+ED=-AE+-BC=-x-(AB+AC]+

3632\/

3(晶—硝=：启

因为万5=m荏+"而，所以m=0,几=?，所以；=0.

故选：D.

【分析】根据向量的线性运算，结合重心的性质即可化简求解.

6.已知数列｛即｝是等差数列，b=J—,且仰=1,比=：,数列｛九｝的前〃项和为

nanan+l3

若不等式az”恒成立，则实数入的最小值为()

A.1B.C.gD.;

【答案】B

【解析】由题设瓦=总=擀，则。2=3,又｛卅｝为等差数列，则其公差4二的一

%=2,

2/9

=

所以即=%+("一l)d=2几一1,故腺=(2n_1)(2n+i)2Qn-1-2n+i)，

所以〃=*1-3+9-3+...+/一区匕)=*1-57)<去而不等式aNTn恒成立，

所以2对，即实数入的最小值为:

故选：B

【分析】根据已知得。2=3,进而有｛斯｝的公差d=2,贝％二⑵一；2应用裂项相消

法求及,最后由不等式恒成立求参数最小值.

7.已知双曲线E：/3=1(Q>0”>0)的左、右焦点分别为&,尸2，P为E上一点、,若

ZF1PF2=p|0P|=正"。为坐标原点)，则后的离心率为()

A.V5B.2C.回D送

22

【答案】D

【解析】不妨设IPKI>|PE|,记|PF/=m,\PF?\=nt|KAI=2c,由|PFJ—|PF?|=

2a,得m?+九2—2m〃=4次，

在△PFIF?中，由余弦定理，得m?+M一小"=曲2,两式相减，得nm=492—。2),

因为。为招尸2的中点，所以而=会屈+港)，

所以p02=:(pF］+PF?)=：(病+九2+2m7icos§,又|0"|=所以20/?2=/+

n2+mn,

2222

所以62+足=16Q?2—a),又m2+足一mn-4c2,所以16(。2-a)-4(c-a)=

4c2,解得C=^Q,

2

所以e=渔.

2

故选：D

【分析】根据焦点三角形，利用双曲线的性质|。&|-仍巳1=2或余弦定理、向量的相关

知识得出a和c之间的关系，从而求出双曲线的离心率.

8.己知函数/(幻=/_如％+%3>0)有两个极值点，则。的最小整数值为()

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

［解析］函数f(%)=ea—x\nx+x(a>0)的定义域为(0,+°°)»

问题等价于r(%)在(o,+8)内存在两个变号零点，

即/'(%)=十加一bix在(0,+8)内有两个变号零点，

因为3£(0,+8),令：=瓶,

3/9

问题可以转化为关于％的方程mxemx—xinx=。在(0,+8)内有两个不同的解，

又方程mxe"次-xlnx=0可化为mx-emx-Inx•e,nx=0,即mx•emx=In%-elnx,

令九(%)=xex,x>0,则”(x)=(1+x)ex>0在区间(0,+8)上恒成立，

所以函数人(外在区间(0,+8)上单调递增.

又mx>0,所以Inx>0,BPx>1,所以问题等价于Inx=mx,

即m=¥在(1,+8)内有两个不同的根，

令火")=等，则d(%)=要，

当％W(l,e)时,<pf(x)>0,函数平(外在区间(l,e)上单调递增；

当％e(e,+8州寸，(p'(x)<0,函数M无)在区间(e,+8)上单调递减，

所以函数W(x)在x=e处取得极大值0(e)=%

由图象可知，当7nW(0,J时，直线y=m与函数©(%)的图象有两个交点，且其横坐标分别

为小、孙，

又Q=5,所以aw(e,+8),所以a的最小整数值为3,

故选：B.

【分析】分析可知/1'(%)在(0,+8)内存在两个变号零点，令5=m,可得出mx,e7nx=]nx•

e,nx,构造函数=x>0,利用导数分析函数九(切的单调性，可得出即m=?在

(1,+8)内有两个不同的根，令9(x)=等，利用导数分析函数双灯的单调性与极值，数形

结合可得出m的取值范围，即可得出a的取值范围，即可得解.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.两组数据看,外，•••,工〃和%，丫2,••，为，它们的平均数分别为无，为方差分别为SmSj,则

()

A.xt+ylfx2+乃，%的平均数为无+歹

B.+yltx2+乃，…,+yn的方差为S：+Sj

C.若Xi<yltx2<y2f-,xn<yn,则ACQAi

D.若可<九,尤2<5<%，则S2vSj

4/9

【答案】AC

【解析】由题意可知：元=3£占/，歹=；£21%,即2%阳=n兀NEU%=nyf

对于选项A：因为:£陶(阳+%)=勺+2%%)=；g+M=%+y，

所以％1+yvx2+yz，'->xn+%的平均数为土+已故A正确：

对于选项C：若勺<yltx2<y2,-,xn<yn,

=

则土=：21~1阳<即ACG4，故c正确；

对于选项BD：例如两组数据分别为1,3和2,4,

则以=31+3)=2,y=i(2+4)=3,Sj=1(1+1)=1,Sj=1(1+1)=1,

数据3,7的平均数为了+9=5,方差为“4+4)=4*S；+Sj,故B错误；

且满足1<2,3V4,但S^=Sj,故D错误：

故选：AC.

【分析】根据题意结合平均数的定义判断AC；对于BD：举反例说明即可.

10.己知。为坐标原点，点P(a,b)在直线八Arx-y-4=0(A：e/?)±,PA,是圆不？十

『=2的两条切线，A,8为切点，则()

A,直线/恒过定点(0,4)

B.当△P4B为正三角形时，\OP\=2>/2

C.当PA1P8时，「的取值范围为(一8,-网U[V5,+8)

D.当丽・同=14时，a+b的最大值为4企

【答案】BCD

【解析】对于A选项，直线，：kx—y—4=0(kER)恒过定

点(0,-4),A错误，

对于B选项，因为△R48为正三角形时，则41。。=30。，所

以|OP|=2V2,B正确,

对于C选项，因为"41户氏所以四边形OAPB为正方形，

则|OP|=&|。川=2,

所以点:P的轨迹方程为/+/=4。*0),问题转化为直线Z与点P的轨迹有公共点,

2

所以人工2,BPk>3,所以k的取值范围为(一8,-网U[H,+8),C正确，

X,»V1X

对于D选项，因为。。・24=po•PA\cos/-OPA=PA\=14，

2

则网2=同2+丁2=]6，即Q2+b=16,

由(一)2工贮产=8,所以a+b44鱼，当且仅当a=b=2或取等号时，

点P(2四,2e)代入直线1的方程有k(2或)一2a-4=0,

5/9

可解得k=l+&,则该点在直线上，

故Q+b可以取到最大值，最大值为4或，D正确.

故选：BCD.

【分析】根据直线过定点判断A选项，根据圆的切线的性质判断B选项，求出点尸的轨迹

方程，根据点到直线的距离公式得到不等式，求解不等式判断C选项，根据数量积的几何

意义得到|易『=14,从而得到。2+/=16,再利用基本不等式判断D选项.

11.如图，在棱长为2的正方体A8CD-4B1GD1中，M,N,。分别

是A4,CG，G5的中点，Q是线段Di&上的动点，则（）

A.存在点Q,使B,N,P,。四点共面

B.存在点Q,使PQ//平面MBN

C.过Q,M,N三点的平面截正方体4BCD—4BiGDi所得截面面积的取值范围为

[2V6,3V3]

D.经过C,M,B,N四点的球的表面积为9爪

【答案】ABD

【解析】选项A,连接为8,AiP,CDi，正方体中易知CD"/41B,

化可分别是的。1，的。中点，则PN〃CD],所以PN〃4B,即4，P,N,8四点共面，当Q与儿

重合时满足从N,P,。四点共面，A正确；

选项B,如图，取力中点为Q,连接PQ,QM,&G，

因为M,N分别是A4,CG中点，则与GN平行且相等，&GNM是平行四边形,

所以MN〃/116，又P是C】Di中点，所以PQ〃4G，所以户Q〃MN,

MNu平面BMN,PQC平面BMN,所以PQ〃平面BMN,B正确；

6/9

选项C,正方体中，M,N分别是中点，则MN〃勺G〃4C，

Q在力Mi上，如图，作QE交GDi于E,连接EN,延长交DC延长线于点K,

连接QM延长交DA延长线于点T,连接TK交力8于点G,交BC于点、F,

QENFGM为所过M,N,Q三点的截面，

由正方体的对称性可知梯形QENM与梯形FGMN全等，

由面面平行的性质定理，TK//QE,从而有TK〃AC,由正方体性质，

设。iQ=x,则Di£=DiQ=x,C,E=2-x,

N是CCi中点，GN〃CK,则CK=GE=2—所以CF=CK=2—同理AG=2-

x,BG=BF=x,

QE=缶，MN=2vLEN=Vl2+(2-x)2=Vx2-4x4-5,

梯形QENM是等腰梯形，高为h=JEN?—(^^)2=RX2-2X+3,

截面面积S=2x：(QE+MN)h=g-6/+8>+24,

设/'(%)=7x4-6x?+8M+24,x£[0,2],f'(x)-4x3-12x+8-4(%—l)2(x4-2)>0,

/(%)在[0,2]上递增，fWmax=/(2)=32,/(%=/(0)=24,

所以SW[2连,4企],C错；

A

经

选项D,取BA中点U,DDi中点V,连接MV,MU,NV,N",则MUNV-/1BCD是正四棱柱

（也是长方体）,

它的外接球就是过8,C,M,N四点的球，所以球直径为＞/22+22+12=3,半径为R=右表

面积为S=4TTR2=9豆，D正确.

6/-----R——71G

故选；ABD.

7/9

【分析】作出过8,N,P的截面判断选项A：取为5中点为Q,证明其满足选项B；当Q在

45运动时，确定截面的形状，引入参数（如&Q=x）计算出面积后可得取值范围，判断选

项C,过MN与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C,M,

B,N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆推的

底面直径与母线长的比值为.

【答案】V5-1

【解析】设该圆锥的底面半径为r,母线长为人则其表面积为Tirl+n",

球的表面积为二五仍，所以五厂,+nr2=n/2,

即G）2+>I=O,解莺=与1（负值舍去），

故圆锥的底面直径与母线长的比值为半=V5-1.

故答案为；V5—1

【分析】设该圆锥的底面半径为r,母线长为Z,由圆锥与球的表面积公式计算求解即可.

13.设△48c的角力，B,。所对的边分别为a,b,c,且6=2,力=45。，当△4BC有两个

解时，Q的取值范围是

【答案】（注,2）

【解析】由正弦定理可知-、=」，即治=熹，所以s勿8=乌

因为有两个解.即R有两解,又4=45。.则0。（/?<135。.

由正弦函数y=si*的性质，可得45。<B<135。且8=90°,

所以日Vs讥BV1，即解得企<a<2，

即a的取值范围是（注,2）.

故答案为：（