期末复习：直线和圆的方程（知识清单）

专题02直线和圆的方程（16知识&16题型&3易错）

知识清单

士考点三〜

【清单01】直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

（I）倾斜角的定义

①当直线/与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线

/的倾斜角.

②当直线/与.v轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.

（2）直线的倾斜角a的取值范围为0—180,.

2.直线的斜率

（1）直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ina.

（2）斜率与倾斜角的对应关系

⑶过两点的直线的斜率公式

过两点户），2（.3,心Xx向2）的直线的斜率公式为"*二A

X2一K1

3,直线的方向向量

【清单02】直线的点斜式方程

我们把方程匚曲三组二由称为过点尸0（沏，兜），斜率为k的直线/的方程.

方程y—）b=A（x—即）由直线上一个定点（次，%）及该直线的斜率上确定，我们把它叫做直线的力斜式方栏,简

称点斜式.

注意点：

(1)点斜式应用的前提是宜线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.

⑵当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为)，=光.特别地，X轴的方程是)，=0：当直线与)，轴平行或重合

时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成工=的.特别地，y轴的方程是x=0.

【清单03】直线的斜截式方程

I.直线/与)，轴的交点(0,力的纵坐标〃叫做直线/在)，轴上的截距.

2.把方程)=匕+。叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.

注意点：

(I)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y

轴上的截距.

(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，

它在x轴上的截距和在轴上的截距都为0.

【清单04】直线的两点式方程

经过两点PGl,》)，P2(X2,闻(其中汨力2,巾分2)的直线方程我们把它叫做直线的两点式

)2-3?lX2-X\

方程，简称两点式.

注意点：

(1)当经过两点3，＞,|),。2，竺)的直线斜率不存在(文1=工2)或斜率为0但=)，2)时，不能用两点式方程表示.

(2)两点式方程与这两个点的顺序无关.

(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.

【清单05】直线的截距式方程

我们把方程?+尹1叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与X轴的交点(么0)的横坐标〃叫做直线口

轴：的截距,此时直线在)，轴上的截距是小

注意点：

(I)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线

都不能用截距式表示.

(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.

【清单06】直线的一般式方程

我们把关于X,y的二元一次方程Ar+8v+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般

式.

注意点：

(I)直线一般式方程的结构特征

①方程是关于x，)，的二元一次方程.

②方程中等号的左侧自左向右一般按X，)，，常数的先后顺序排列.

③式的系数一般不为分数和负数.

(2)当直线方程小:+B)，+C=O的系数人，B,。满足下列条件时，直线Ax+砂+C=0有如下性质

①当A和，8切时，直线与两条坐标轴都相交；

②当AM,3=0,*时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直;

③当人=0,琼(),CM时，直线只与)，轴相交，即直线与x轴平行，与)，轴垂直;

④当A=0,*0,。=0时，直线与x轴重合；

⑤当从桃，3=0,。=0时，直线与y轴重合.

【清单07】两条直线的位置关系

直线八：)，=〃d+"，h：y=hv+/?2,h：Aix+3i)，+G=0,4：A2x+&y+C2=0(其中/1与八是同一直

线，，2与〃是同一直线,，3的法向量蛇=(4,B)),Z4的法向量。2=(42,%)的位置关系如下表:

位置关系法向量满足的条件/..满足的条件4满足的条件

482—45=0目.4G-

平行V|//V1攵1=公且从金"

4GWO

垂直Vi—V2kvk?=­14A2+8由2=0

相交V1与也不共线k学k?

【清单08】直线的交点与方程组解的关系

(1)两直线的交点

点P的坐标既满足直线/i的方程AM+囱,v+G=0，也满足直线h的方程AM+B2)，+C2=()，即点P的

Aix+8iy+Ci=0,

坐标是方程组L八的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.

U2x+B2y+C2=O—

(2)两直线的位置关系与方程组解的关系

(4ix+4iy+G=0,

方程组.的解一组无数组无解

〔A2x+&y+C2=0

直线人与/2的公共点的个数一个无数个零个

直线人与/2的位置关系相交重合平行

【清单09】距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点PG”yi),PgM间的距离公式为旧221=心2—内)亚(k一W)

特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,v)的距离IOPI=、/f+y2.

(2)点到直线的距离公式

KVQ-H/?yo+C[

平面上任意一点办3)，W)至I」直线/：A+切+。=0的距离d=

\jA2+B2

(3)两条平行线间的距离公式

1gL—Q1

一般地，两条平行直线hAr+8)，+G=0,/2：Ar+8.y+C2=0(GWC2)间的距离〃=

A/A24-7?2>

【清单10】对称问题

(1)点P(X0,州)关于点4(小。的对称点为P'(2a—灿，2匕-yo).

⑵设点P*o,词关千百•线y=U+〃的对称点为V),

[y-yo,[

----k=-1,

X-Xo

则有〈可求出v,y.

—+为,X'+M).,

)—k*ih，

【清单11]圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

圆心C(afb)

标准(工一〃)2+°，一加2=/(r>0)

半径为£

方程

圆心C(档，-0

/+)2+瓜+母+尸=0

一般

(D2+E2-4F>0)半径,三]。2+E2-4?

【清单12】点与圆的位置关系

点与圆的位置关系

平面上的一点M(M),泗)与圆C：(x—a)2+(y—之间存在着下列关系:

(l)|MC|>r«>M在圆外，即(卅一。)2+3)—〃)2>'="在圆处；

⑵|MC|=r=M在圆上，即(向一〃)2+()，0—与2=/0加在圆上；

（3）|MC]vroM在圆内，即（X0—*+（刃一。）2〈尸="在圆内.

【清单13）直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系：

（I）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点：

（3）直线与圆相离，没有公共点.

2、直线与圆的位置关系的判定：

（1）代数法：

判断直线/与圆。的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆。有公共点.

有两组实数解时，直线/与圆C相交；

有一组实数解时，直线/与圆。相切；

无实数解时，直线/与圆C相离.

（2）几何法:

由圆C的圆心到直线/的距离d与圆的半径广的关系判断：

【清单14]圆的切线方程

1、点M在圆上，如图.

法一：利用切线的斜率勺与圆心和该点连线的斜率心,

法二：圆心。到直线/的距离等于半径

【清单15）直线被圆截得的弦长

2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.

【清单16］圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系：

（1）圆与圆相交，有两个公共点；

（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点：

（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.

2、圆与圆的位置关系的判定：

（1）代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解.

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离.

（2）儿何法:

设的半径为4，的半径为Q，两圆的圆心距为4.

—二级结论一

【二级结论1】直线系方程

概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系.它的方程称直线系方程.

2、几种常见的直线系方程：

3、直线系方程问题的一般解法

根据直线系方程的定义可知，处理直线系方程相关问题的关键是寻找这个直线系方程满足什么条件，再把

这个条件作为突破口解决问题.常见的条件有直线过定点、直线的斜率为定值、直线的截距为定值、定点到

直线的距离为定值等.

【二级结论2】圆系方程

1.圆系方程

根据前面直线系方程的铺垫，我们这里可以直接将圆系方程定义如下：圆系方程是满足某个条件的一系列

圆的通式方程.圆系方程中比较常见的通式方程有以下三种：

2.圆系方程问题的一般解法

类似于直线系方程相关问题，要处埋圆系方程相关问题，关键是寻找这个圆系方程满足什么条件，进而把

这个条件作为突破口解决问题.

【二级结论3］阿波罗尼斯圆

I.阿波罗尼斯圆的定义

2.阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似

期末常考题型清单

题型1直线的倾斜角与斜率定义

!1、求直线倾斜角的方法及关注点

（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.

Ii

（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.

12、求直线斜率的方法

（3）待定系数法：如果直线/沿/轴负方向平移加个单位长度，再沿）,轴正方向平移〃个单位长度

后，乂I可到原来的位置，求直线/的斜率.此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行

把应系数的比较求得结果.

【例1】（2223高二上•安徽阜阳・月考）如图，若直线上34的斜率分别为勺，Qk-则（）

【答案】D

【分析】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断.

【详解】设直线4，LA的假斜角分别为四，出，。

故选：D.

【答案】B

【分析】先根据已知两点求出直线斜率，再利用斜率结合各选项中条件逐一判定选项.

【详解】

故选：B.

【答案】C

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可.

故选：C

91

【答案】-/1-/1.I25

oO

9

故答案为：

O

题型2直线斜率的取值范围问题

,•・・■・・・・・・・・・・•・•・・・・■•・•・•・・■■■•・・■・・・・•・・■・・・・・■・・・・・■・■・・・・•・・・•・・・•・•・・・•・・・・・・・・・•・•・・・・・・《・・・・・・・・•・•■・・・・,・・・・・・・•・・・・・•・・・・■■■・■•・•・・■・・・・・・・■・・・・•・・・・/

8@点

斜率取值范围的2种求法j

(1)数形结合法：作出直线在立面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；:

(2)函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.\

LB(・・・・■■■・■・■・■(・(・(・(・(■・■(・(・•・(・(・(・(・(・(・•・(■(・・・・■■■・■•■・■・・(・(・・■(・(・(・(・(・(・(・•・,・•■・・・■■■(・•・・■・・・・(・(・(・(・(・(■(・■■・■(・(・(・■・(・(・・■・・■■■■(■(・•・(■・■・MJ

【答案】C

故选：C.

【答案】A

【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案.

【分析】先利用直线的斜率公式计算即八，X再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式,

即可得出结果.

【详解】由直线的斜率公式可得:

【答案】B

【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.

题型3求解直线的方程

目电❹通

（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组»③解这个方程（组）

求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.

【分析】讨论截距是否为0,设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程.

（1）求边上的高所在直线的一般式方程；

【分析】（1）求出直线的斜率，可得出8c边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线

的点斜式方程，化为一般式方程即可；

所以，8c边上的高所在直线的斜率为-；，

(2)

（2）若直线经过点P,且在两坐标轴上的截距相等，求直线4的方程.

【分析】（I）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可；

（2）先分直线（经过原点及直线!2不经过原点，应用点斜式及载距式设直线再代入点计算求参，最后转化

为一般式即可.

【详解】（1）由直线/的方程可知它的斜率为-；，

⑴求边A8上的中线所在直线的方程；

（2）过点3作直线AC的垂线BD,求垂足D的坐标.

【分析】（1）根据两点式来求得正确答案.

题型4两条直线的位置关系问题

If

/i：4X+BD，+G=0(A++B/0),

直线方程

，2：A2X+Ci=0(A?+

与/2垂直的充要条件4A2+B山2=0

八与12平行的充分条件4一B2*C23252c2和)

6与6相交的充分条件殖加物

人与/2重合的充分条件A2~B2~C^A2B2Ci^O)

i

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

故选：A

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

故选：C.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两条直线垂直求出凡〃的关系，利用充分条件和必要条件求解

故选:A.

A.-1或0B.-1C.0D.1

【答案】A

【分析】根据两直线垂直列出方程，求解即可.

故选:A.

题型5直线的交点与距离问题

◎屯旬®

1、求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出宜线方程，

也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.

2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

（1）求点到直线的距离时，应允化直线方程为一般式.

（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且达），的系数对应相等.

【答案】B

【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可.

故选：B

【答案】D

【详解】

故选:D.

A.8B.J5C.5D.正

2

【答案】D

故选:D

A.2B.12C.12D.14

【答案】C

故选c.

题型6与直线有关的对称问题

◎Q旬0

x'=2a-x,

1、点关于点：点P（x,y）关于点。（〃，b）的对称点P5,了）满足…

y=2b-y.

2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

3、点关于线：点4小份关于直线Ax+5y+C=0（即0）的对称点4（〃?，〃）,

ja-rm,b+n,

[4^—+C=0.

4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

■M•■・■・・■■(・•■(■•・■・■■•■(・■■(■(・•・(・•・•・(・•■•■■■•・・■•■・■・・・・・・■■•■(■■■•■•■(・(・(・(・•■(・(・(・(・■・・■・■•・•・■■(・・■•・・■■■•■

【答案】B

【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解.

故选：B

【答案】B

故选：B

（2）法一：根据平行关系设出直线机的方程，然后利用P到两条直线的距离相等列式求解即可:

题型7与直线有关的最值问题

00@嫉

1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在宜线异侧，三点共线最短；

2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最

短.

【答案】5

【详解】

【答案】D

故选：D.

【答案】B

【分析】求山点A关了直线，的对称点4,则『为直线46与直线，的交点时，满足条件，进而可求得答案.

故选:B.

【答案】BCD

题型8求圆的标准方程与一般方程

1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

2、待定系数法：(1)若已知条件与圆心3,与和半径，有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关

于小b,r的方程组，从而求出小b,「的值；

(2)若一知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据-知条件列出关于。，E,产的

方程组，进而求出。，E,/的值.

【分析】由垂径定理找到圆心，然后得到半径，即可写出圆的方程.

【答案】A

由轴对称的性质得新圆的半径为，

故选：A

A.该方程一定是圆的方程

B.该方程一定能表示过坐标原点的圆

C.若该方程表示圆，则圆心在定直线上

D.若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1

【答案】ACD

【分析】化•般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可.

因为这两点到原点的距离都为1,

所以圆上总存在两点到原点的距离为L所以D正确.

故选：ACD.

【答案】C

故选:C

题型9与圆有关的轨迹问题

100^0

:1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；

:2、定义法：根据圆、直线等定义列方程：

:3、几何法：利用圆的几何性质列方程；

：4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

•■■・■・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

⑴线段A8的端点8在圆。上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程；

⑵若经过点A的直线/截圆。所得弦长为26,求直线/的方程.

【分析】（1）根据相关点法求解出点M的轨迹方程；

（2）先计算出。到/的距离，然后根据/的斜率是否存在进行分类讨论，由此求解出结果.

因为8在圆。上运动，所以点”的坐标满足圆。的方程，

(2)因为直线与圆所截弦长为26,

【答案】1

【分析】设出点M、3的坐标，结合向量坐标运算可得点M的轨迹方程.，再利用圆上的点到定直线的距

所以点M的轨迹是以防为直径的圆，除去尸点，E点,

综合以上两种情况,点M的轨迹是以王尸为直径的圆.除去以点.

题型10直线与圆的位置关系及应用

100^0

J1、直线与圆的位置关系的判断方法

:(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径一的大小关系判断.

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程绢解的个数来判断.

:(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过

j定点的直线系.

，2、根据直线与圆的位置关系求参数

：第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式.

，第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法.

：第三步：建立不等式(或方程)并求解参数范围.

（1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式；

（2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等

式解''与“隐含限制”的交集.

【答案】B

故选：B

D.10

【答案】A

故选：A

【答案】D

故选：D.

【答案】AC

故迄AC.

题型11圆的弦长及中点弦问题

1、几何法：如图所示，设直线）被圆C截得的弦为A/工圆的半径为，，圆心到直线的距离为d,则有关

系式：|A8|=2炉二^

4VD7B

2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A（XA，为），B（XR,卉）两点，

则I4阴=41+十.U口+工82—4.以切=yj।+表11yLM（其中#0）.

特别地，当左=0时，-阴=必一冲I；当斜率不存在时，=M—泗I.

【答案】c

【分析】根据题意，求得圆心C到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解.

故选:C.

【答案】ACD

D.圆C上的点到直线/的最大距离为7

【答案】ABD

当直线/与MC垂直时，此时I员I心到直线/的距离取得最大值，最大值为4,

故选：ABD.

【分析】根据圆的性质，以及两点间的距离公式，列出方程，求出点的轨迹方程.

【详解】

题型12圆的切线方程及切线长问题

g@点

求圆的切线方程的方法

1、几何法：当斜率存在时，设为鼠则切线方程为厂），0=十一对，即人一），十加一ho=S由圆心到直线

的距离等于半径，即可求出〃的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；

2、代数法：当斜率存在时，设为幺则切线方程为y—.w=Mx-xo）,即），=履一辰o+yo,代入圆的方程,

得到一个关于x的一元二次方程，由/=0,求得鼠切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证.

故切线必垂直于切点与圆心的连线，

（2）求出圆心到直线4B的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线AB截圆C所得弦长.

【答案】B

【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长.

故选:B.

C.当直线八P与圆G相切时，原点。到直线人尸的距离为4

4

D.当直线”平分圆G的周长时，原点。到直线"的距离为］

【答案】AD

当直线AP与圆G相切时，由题意可知AP的斜率存在,

故选：AD.

题型13圆与圆的位置关系

，・■・■，■・■・■・・・・•・・・・・・・•・・・・■・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・・・・・・・・■・・・■♦■・■・■・・・・・・・■・・・・・・・・・・・・,・・・•■・・・・・・・・・・・・•・•

可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系：

（1）集合法：通过比较两圆半径为门，/2与圆心距1=|。。2|之间的关系判断：

（2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系.

A.内含B.外切C.内切D.相交

【答案】B

故选：B.

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】A

【分析】先根据圆的面枳被直线平分得出直线过圆心，从而求出圆C1的参数i,确定圆G的圆心和半径,

再结合己知圆a的圆心和半径，通过计算圆心距并与两圆半径的和差关系作比较，判断两圆位置关系.

故选:A.

【答案】BD

【分析】根据两圆的位置关系判断ACD,利用相交圆公共弦求法判断B.

故两圆相交，故A错误；

故选:BD.

A.1B.2C.3D.4

【答案】BD

【分析［根据圆与圆的位置关系列式计算即得参数值.

因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切，

故选：BD

题型14两圆的公共弦问题

公共弦长的求法\

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

i

(2)几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公\

共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求\

得弦的一半，进而得到公共弦长.

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【答案】D

【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项；

故选：D.

【答案】B

【分析】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程.

故选：B

【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共

弦长即用.

【答案】（1）6或—14

【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心0到相交弦所在宜线的距禽，再利

用勾股定理可得出关于。的等式，解之即可：

由圆的几何性质可知，圆心。在直线依上，

因为圆