高中数学基础练习题-空间向量及其线性运算（原卷版）

1.1空间向量及其线性运算

模块一：基础知识...................................................2

考点一：空间向量的有关概念......................................2

考点二：空间向量的加法、减法运算................................2

考点三：空间向量的数乘运算......................................3

考点四：共线向量................................................3

考点五：共面向量................................................4

模块二：题型分类...................................................5

题型一：空间向量的有关概念......................................5

题型二：空间向量加减运算及几何表示..............................6

题型三：空间向量数乘运算及几何表示..............................8

题型四：空间向量共线的判定......................................9

题型五：空间向量共线求参数.....................................10

题型六：向量共面的判定.........................................11

题型七：空间向量共面求参数.....................................13

题型八：空间共面向量推论及其应用...............................14

模块三：综合巩固..................................................15

1.1空间向量及其线性运算

模块一：基础知识

考点一：空间向量的有关概念

1.空间向量的有关概念

(1)概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或

模：如空间中的位移速度、力等.

(2)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为o的向量叫做零向量，记为6

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量Z长度相等而方向相反的向量，称为£的相反向量，记为-£

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2.空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

(1)几何表示法：用有向线段而来表示，/叫向量的起点，8叫向量的终点；

(2)字母表示法：用瓦)表示,向量£的起点是/,终点是6，则向量)也可以记作而，其模记为。

或AB.

考点二：空间向量的加法、减法运算

1.空间向量的位置

已知空间向量£3,可以把它们平移到同一平面a内，以任意点O为起点，作向量厉=£,OB=b

2.空间向量的加法运算(首尾相接首尾连)：作向量％=加，则向量名叫做向量2,5的和.记作3+B,

即灰=衣=£+6

3.空间向量的减法运算(共起点，连终点，指向被减向量)：向量瓦？叫做£与书的差，记作即

BA=OA—OB=a—b

4.空间向量的加法运算律

(I)加法交换律：a+b=b+a

(2)力口法结合律：£+3+2=[+0+))

考点三：空间向量的数乘运算

L定义：与平面向量一样，实数2与空间向量£的乘积义£仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

2.数乘向量义工与向量£的关系

义的范围Aa的方向花的模

2>0与向量Z的方向相同

Z=0Za=6»其方向是任意的1乂1=1刈M

A<0与向量"的方向相反

3.对数乘向量丸£与向量）的关系的进一步理解：

（I）可以把向量£的模扩大（当|2|>1时），也可缩小（当|2|<1时）；可以不改变向量£的方向（当4>0

时），也可以改变向量£的方向（当义<0时）.

（2）实数与向星的积的特殊情况：当义=。时・，Aa=0；当义工（）时，若3=。，则N3=

（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，％+义-£没有意义，无法运算.

考点四：共线向量

1.共线（平行）向量的定义

若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若£与B

是共线向量,则记为"/4.

<|）零向量和空间任一向量足共线向量.

（2）共线向量不具有传递性,如。区石〃入那么£〃工不一定成立,因为当石=6时，虽然

但工不一定与展共线（特别注意。，6与任何向量共线）.

2.共线向量定理

对空间任意两个向量2花3=0）,Z||E的充要条件是存在实数;I,使［=2几

3.共线向量定理推论

如果/为经过点力平行于己知非零向量£的直线，那么对于空间任一点o,点尸在直线/」一的充要条件是存

在实数，，使丽=次+不①，若在/上取彳*=［，则①可以化作：OP=OA+t~AB

A

0

4.证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点八小8可通过证明下列结论来证明三点共线

(1)存在实数九使五5=4而成立.

(2)对空间任一点0,有而=044-tAB{tG/?).

(3)对空间任一点0,有方=%比(+丫而(％+y=1).

考点五：共面向量

L共面向量定义

如图，如果表示向量方的有向线段次所在的直线如与直线J平行或重合，.

那么称向量市平行与直线L…产玄….

如果直线以平行于平面a或在平面a内，那么称向量五平行于平面8/0r】

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。//

2.共面向量定理Ag/

如果两个向量£3不共线，那么向量方与向量£3共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(戈/),使

—•—•—•

p=xa+yb

3.空间共面向量的表示

如图空间一点尸位于平面45。内的充要条件是存在有序实数疝(匕刃，使/=x荏+歹充.

或者等价于：对空间任意一点O,空间一点尸位于平面45。内(P,4民。四点共面)的充要条件是存

在有序实数对(x,y),使而=8+工益+)，%,该式称为空间平面48。的向量表示式，由此可知，空间

中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

4.向量共面证明

(1)证明点P在平面/18C内，可以用丽="方+、而，也可以用而=a+工近+、元，

若用而=x6?+y而+z屈，则必须满足x+y+z=1.

(2)判断三个向量共面一般用万=切+yb,

证明三线共面常用而=xAB+yAC,

证明四点共面常用而=不耐+y而+z沆(其中x+y+z=1)

模块二：题型分类

题型一：空间向量的有关概念

1.（多选）下列说法正确的是（）

A.零向量没有方向

B.空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小

C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D.同向且等长的有向线段表示同•向量

2.己知2为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）

A.与。共面的单位向量有无数个B.与G垂直的单位向量有无数个

C.与不平行的单位向量只有一个D.与不同向的单位向量只有一个

3.在正方体A8CD-481clz中，与向量和相反的向量是（）

A.印B.西C.D.AB^

4.下列命题中是假命题的是（）

A.任意向量与它的相反向曷不相等

B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果同=0,则

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

5.下列命题中为真命题的是（）

A.空间向量方与法的长度相等

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

I）.不相等的两个空间向量的模必不相等

6.对于空间任意两个非零向量五，无力〃而是“值同=0〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（多选）下列说法，错误的为（）

A.若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同

B.若向量而,而满足|通|>|而且7万与而同向，则方>而

C.若两个非零向量彳及与而满足同+而,=6,则说,而为相反向量

D.而=而的充要条件是力与C重合，B与。重合

8.洽出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同：②若空间向量£3满足R=M，

则-=③在正方体中，必有4C=4C；④若空间向量满足/=1,〃=p,则

薪.其中正确的个数为（）.

A.4B.3C.2D.1

9.如图所示，已知/出。-4AGR为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求:

(1)与函相等的向量；

(2)与蓝相反的向量；

(3)与胡;平行的向量.

题型二：空间向量加减运算及几何表示

1.如图少分别是长方体48。。一/1'80的棱力8,。的中点，化简下列表达式:

(3)AB-而+B'D'；(4)35+CF.

2.如图，在斜棱柱48CD-&B1GD1中，力C与8。的交点为点M,而=优而=瓦AA[=C,则西=()

B.--a+-b+~c

22

D.一：五一2b+七

22

3.己知在空间四边形/1SC。中，CG=^CD,则丽+沅+2方=()

A.2AGB.2GCC.2BCD.-BC

4.正方体川?CQ-44GA中，化简方+而一而=()

A.QBB.BC}C.C~DI).~DC[

5.在长方体力BCO-4B£"中，O为线段力。的中点，则两+而+而=()

A.~AD{B.函C.西D.西

6.如图，空间四边形。4"中，而=五，丽=反而=a点M在65上，且。M=2M428N=3/VC,则标=

()

2一।3工।2-

A.-[方一'|b+]ZBD.-,a+g匕+gC

「2一।2工13-一

C.--a+-b+-cDc.-2a_+,-3bT--2c

on〉355

7.如图，四棱锥P-力BCD的底面是平行四边形，若万？=五，DC=b,DP='c,£是PC的中点，则屁=()

ITir,IT

AA.--a—-b+-cB.-+|c

C.一方+处吴D-

题型三：空间向量数乘运算及几何表示

1.已知正方体/8CZ)-W8'CZ>',点£是力'。’的中点，点产是4E的三等分点，且4,则您等于

().

——1—1——1——]—1——

A.AAr+-AB+-ADB.-AA,+-AB+-AD

22222

11-,1—1I—1—,

C.—AA'H—ABH—ADD.—AA'H—ABH—AD

266366

2.如图，在四面体48CD中，E,尸分别为8CME的中点，G为△4CD的重心，则的=()

A.—^AB+-^AC+^AD

B.—^AB+-^AC+^AD

c.\AB-^AC+^AD

D.—AB—AC——AD

3124B

3.已知三棱锥。一/BC,点M,N分别为48,OC的中点，且色？=苍，OB=b,况=苍用益，h,E表示丽,

则而等于()

A.^(a+b-c)B.^(b+c-a)C.^(c-a-b)D.^(a-b+c)

4.如图，在四棱锥P-力BCD中，底面46C。是正方形，E是PD的中点、，点F满足而=2施,若丽=五,

PB=b,PC=c,则而=()

B-颉-'-公

D.软-的一疝

5.在二棱柱4B1G一力8。中.。是四边形8BCC的中心.且44=d・AB=b»/C=d.则%。=（）

6.如图：在平行六面体ABCO-A/igDi中，M为416,331的交点.若匹瓦=初4⑷；=5标=♦,则

向量4M=（）

7.在平行六面体，48CQ-48]GA中，点A/满足2/M=4C.若4q=a,/。=瓦44=。，则下列向量中与

瓦面相等的是（）

题型四：空间向量共线的判定

1.设2]是空间中两个不共线的向量，己知而=93+〃加，於=-2）-坂，DC=a-2h^且4s。三点共

线，则实数〃?=_____..

2.如图，已知。,力,8cQ,E,RG,“为空间的9个点，且砺=k近，OF=kOB^OH=kOD^

就=而+〃?而，EG=~EH+n{EF〃工0,〃？工0.

求证：（1）~ACl!EG;（2）OG=kOC-

3.如图所示，在正方体AOCC-为%的小中，点E在月道1上，且裾=2可，点F在体对角线4C上，且中=

|FC.求证：E,凡B三点共线.

4.如图，四边形180力3£户都是平行四边形且不共面，M,N分别是4C、即的中点，判断法与砺

是否共线？

5./是△4CQ所在平面外一点，G是△8CO的重心，"、E分别是80、4G的中点，点/在线段上,

7

网=出”|,判断三点c、E、尸是否共线.

题型五：空间向量共线求参数

1.设区,夙是空间两个不共线的非零向量，已知而=2品+k与，就=可+3与，反=2百一可，且N,B,

。三点共线，求实数k的值.

2.设『［是两个不共线的空间向量，若方=24-^，BC=^+?^2,3=3+也，且力，C,D三点、

共线，则实数左的值为______.

3.已知瓦、访、瓦为空间三个不共面的向量，向量2=/+〃直+4瓦，石=3可+9蔽+入落，若万与石共线,

则2+〃=()

A.-3B.3C.-15D.15

4.已知位5,"｝是空间的一个基底，若云=》+26-3",〃=耳。+"一］而+。）+3（。+。），若防〃G，则:=

（）

A.-3B.——C.3D.—

5.设是空间中两个不共线的向量，已知方=93+""，BC=-2a-b>成=£-2B，且力，£D三点共线,

则实数〃?=..

6.下列命题中，正确命题的个数为（）

①若7"，则［与B方向相同或相反：

②若刀=丽，则♦B,C,。四点共线：

③若人石不共线，则空间任一向量万=筋+痴（"R）.

A.0B.1C.2D.3

7.已知向量G,6不共线，AB=el+e2,AC=2e(+8e2,AD-Se2,则()

A.适与配共线B.而与无共线

C.A,B,C,。四点不共面D.A,B,C,。四点共面

题型六：向量共面的判定

1.如图，在长方体X6C£>-H6C7T中,向量而，布，而是,向量（填“共面”或“不共面）

2.对于空间一点O和不共线三点.4,B,C,且有6加=瓦?+2而+3沅，则（）

A.O,力，B,。四点共面B.P,力，B,。四点共面

C.O,P,B,。四点共面D.O,P,4B,。五点共面

3.设空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若点户满足向量关系诉=xE+y砺+z沆（其中

x+y+z=l）,试问：P,A,8,C四点是否共面？

4已知7,7,Z是不共面向量,3=7-27+。1=一7+句+2］,1=一寸+7］讦明这三个向量共面.

5.（多选）空间四点4民C,。及空间任意一点。，由下列条件一定可以得出4SC,。四点共面的有

A.AB=27C+3ADB.OA=3OB-OC-DO

C.~AB//JCD.OC=W+3AO-57）d

6.卜列条件中，一定使空间四点P、42c共面的是（）

A.OA+OS+OC=-OPB.OA+OB+OC=OP

c.OA+OB+OC=2OPD.OA+OB+OC=3OP

7.(多选)以下能判定空间四点P、M、A,8共面的条件是()

A.MP=2MA+3MBB.OP=-OA+-OB+-OM

236

C.PMAB=OD.~PMH7B

8.在四棱柱-中，方工=忆用,市=k)］，D^G=kD^C,D^H=kD^D.

(1)当k=:时，试川而，而，祐表示而;

(2)证明:£F,G,H四点共面;

题型七：空间向量共面求参数

1.0为空间任意一点，若丽=一3萌+:丽+而，若A,B,C,P四点共面，则亡=()

911

A.1B.5C.-D.7

884

......-2一I----

2.己知4民。三点不共线，。是平面力外任意一点，若OM=22O4+=08+:OC,则4凡。,〃四点

56

共而的充要条件是()

A.2=—B.2=—C.2=--D.2=--

60606060

3.己知。为空间中一点，44,。,。四点共而且任意三点不共线，若2而=/方+砺+。个，则x的值为

4.已知O,A,B,。为空间中不共面的四点，且而=：万？+"而+若尸，力，B,。四点共

面，则2=()

AA・-1Bc•l-CZ>.-5CD.-----7-

341212

5.在四面体ABC。中，点M,N满足祠=2M瓦而=2丽，若而=%前+丫而+z而，则X+y+z=()

A--1B.-C.~D.1

332

6.如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点，设

办="3+〃砺+2左，则加+〃的值为()

7.{£石1}是空间向量的一组基底，OA=2a+mb+c^OB=a+2b^OC=a+b+c^已知点O在平面ABC内,

贝ji〃z=.

题型八：空间共面向量推论及其应用

1.在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是（）

A.0M=20A-OB-OCB.而=班+逆+通

C.AM+2MF+MC=0D.OM+0A+08+0C=0

2.己知4SC三点不共线，O是平面,4灰:外任意一点，若由加=:夕+：砺+41确定的一点P与

48,。三点共面，则4等于（）

2277

A.—B.-C.——D.-----

331515

3.己知。为空间中任意一点，A、8、C、。四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且

->4T->J-----

PA=-PB-xPC+-DB,则实数x的值为________.

36

4.在三棱锥。一力8。中，M是平面力4C上一点，且5丽=2万+/而+无，则，=（）

A.1B.2C.1D.y

5.已知点。在确定的平面内，。是空间任意一点，实数戈4满足历=x宓+2y丽-反，则£+/的

最小值为（）

4o/s

A.-B.—C.1D.2

55

6.已知点。在ABC确定的平面内，0是平面48C外任意一点，实数MN满足历=》方+少丽-双，则

£+4的最小值为（）

A.-B.—C.1D.2

55

7.四棱锥夕-力灰?。中，底面力AC。是平行四边形，点E为棱PC的中点，若施=B万+>，石+z万，则

22

8.如图，在四面体力38中，E,F,G,〃分别是48,BC,CD,。力的中点，点河是EG和777的交点,

对空间任意一点。都有O4+O8+OC+QO=AQW，则左=()

A

11

--C24

A.4B.2D.

9.如图，在正方体工—中，点”是CQ上靠近点。的三等分点，点N满足丽=L4M,若N

为4H与平面BO4的交点，则/=()

模块三：综合巩固

1.下列说法正确的是()

A.若|司〈同,则往B.若优石互为相反向量，则近+E=0

C.空间中两平行向量相等D.在四边形48CQ中，AB-AD=DB

2.下列各式计算正确的是()

A.a+b-(a+b)=2a

B.2(a+b)+c=2a+b+c

C.3G-司+3(£+司=0

D.a+b-(b-3c)=a+3c

3.给出下列命题:

①零向量没有方向；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同;

③若空间向量2,3满足即M则£=九

④若空间向量m,P满足=P，则〃?=P;

⑤空间中任意两个单位向量必相等.

其中正确命题的个数为（）

A.4B.3

C.2D.1

4.在下列条件中，一定能使空间中的四点M,48,C共面的是（）

A.OM=20A-0B-0CB.OM=^OA+-OB+^OC

444

C.OM+OA+OB+0C=0D.OM=-OA+-OB+-OC

632

5.空间四边形力BCD中，点M在上，且丽=2拓?，N为BC中点,则而等于（）

A.-AB--AC+-ADB.-~AB--AC+-~AD

232232

C.-~AB+-~AC-~~ADD.-AB--AC+-AD

223223

6.在平行六面体力次第一44GA中，点七满足赤=-；豆+筋+；丽，则（）

A.3B[E=BC]B.3B[E=2B\C\C.B\E=3B、CiD.2B]E=3BCi

7.如图，在四面体。力8c中，N是BC的中点.设立？=五，OB=~b,OC=~c,用乙b,W表示而，则（）

A.而=a+1b+|cB.AN=-a+b+c

2

C.加一d+9+zD丽=一益

.22

8.已加三棱锥O-4?。中，点、M、N分别为45、OC的中点，且玄？=方，OB=~b,OC=c,则而=（）

A.1(S+c-a)B.^(a+b+c)

C.1(a-?+c)D.1(c-a-b)

9.已知完J,2是不共面的空间向量，若力=3£-27-4下与胃=（巾+1）丞+87+应（7七九是实数）是平行向

量，则m+九的值为（）

A.16B.-13C.3D.-3

10.（多选）己知四面体力AC。，E,厂分别是8C,。。的中点，则而二（）

A.^(AD-AB)B.1(DC-fiC)

C.AF-^(AB+AC)D.南+g(而+南)

11.如图，三棱柱4BC-4BiCi中，AB=a,AC=b,旃=Z,点M为四边形BCCi/的中心点，则需二

()

A.声+笆+吴B.a+-b+-~c

22

c-1Tl一

C.+D.a--b--c

22

12.对于空间任一点。和不共线的三点4B,C,有心=x&+yO^+zA,则x+y+z=l是P,A,B,

C四点共面的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

13.如图，在四面体力8C。中，E、尸分别是48、CQ的中点，过Eb的平面。分别交棱。力、3。于G、II

（不同于A、B、C、D）,P、。分别是棱8C、C。上的动点，则下列命题错误的是（）

A.存在平面。和点P,使得平面aB.存在平面。和点。，使得力。〃平面a

C.对任意的平面。，线段£/平分线段G〃D.对任意的平面线段G"平分线段E产

14.四面体。-"C中，OP=3PA^。是8。的中点，，”是P。的中点，设万=5，OB=b＞沅=1,则丽=

（）

1-1r1-3_1r1_3-1r1-1,1r1,

A.-a+-b+—cB.-a+-b+—cC.-a+—b+—cD.-a+-h+-c

4664