2025北京初二（下）期末数学汇编：特殊的平行四边形（解答题）

2025北京初二（下）期末数学汇编：

特殊的平行四边形（解答题）1

一、解答题

1.2025北京丰台初二下期末）如图，菱形A8C7）的对角线AC,40相交于点0,BE//AC,EC//BD.

（1）求证：四边形4EC。是矩形；

（2）连接AE.若/ABC=60,AB=2,求AE的长.

2.（2025北京门头沟初二下期末）如图，在正方形中，E是人8延长线上一点，连接C£,O为CE

的中点，过点E作斤_LAC于点F,连接。立设N8CE=a.

（1）依题意补全图形；

⑵求NEOF的度数（用含a的式子表示）；

⑶用等式表示线段。EO/之间的数最关系，并证明.

3.（2025北京门头沟初二下期末）如图，在四边形A5c。中，AO〃AC,点E在4c上，BE=AD,AE

平分BAD.

（1）求证：四边形ABK。是菱形；

（2）连接〃。交AZ?于点O,如果E为3。的中点，ROE+CE=8,08=4,求的长.

4.（2025北京门头沟初二下期末）已知：如图1,直线A3,线段

求作：矩形ABC。，使得点C。在直线A4的上方，且4。=〃.

，°，-I------------L--------

~A

图1图2

作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线A4于点M,N；

②分别以点M,N为圆心，大于:MV的长为半径画弧，两弧在直线A8上方相交于点P,作射线AP;在

射线AP上截取AD=a；

③以点4为圆心，线段。的长为半径画弧，再以点。为圆心，44长为半径画弧，两弧在直线44上方相

交于点C：

④连接8C,DC.

・・・四边形人3C。为所求的矩形.

⑴根据以上作法，使用直尺和圆规补全图2（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•:AB=CD,AD=BC=a,

・•・四边形ABC。是平行四边形（）（填推理的依据）。

又•・•由作图可知，AD1AB.

/.ZDAB=90°,

・•・平行四边形人〃C。是矩形（_）（填推理的依据）.

5.（2025北京密云初二下期末）在正方形A8CO中，点E是射线上的一个动点（不与点8重合），过点

。作OE的垂线交直线BC于点/，取线段后户的中点，，连接8”和C".

图I图2

（1）如图I,当点E在线段上时，连接求证：DH=BH；

（2）如图2,当点E在线段84的延长线上时.

①用等式表示线段的和C”之间的数量关系，并证明；

②若A£=2,4〃=4,直接写出正方形边长A4的值.

6.（2025北京密云初二下期末）如图，在四边形A8CO中，AB//CD,AC平分/8A。，过点C作4。的

平行线交AB于点E.

⑴求证：四边形AEC。是菱形；

（2）若点K是A〃的中点，EC=2.5,AC=4,求线段8C的长.

7.（2025北京密云初二下期末）如图，在矩形A3c。中，AC.8。交于点0,点E为BC边上一点，连接

AE交BD于点、F,ZAFD=2ZADB,A〃=5,求的长.

8.（2025北京密云初二下期末）阅读下列材料：

宽与长的比是叵」（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国

2

许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.

下面是小芸同学设计的“已知矩形的长，构造黄金矩形”的尺规作图过程：

如图，线段AB的长为2.

一万

A---------------------------cB

/i

①过点8作A8的垂线4，在4上截取4£=3月4,连接4E；

②以点E为圆心，跖的长为半径作弧交4E于点尸；

③过点A作A8的垂线4，以点A为圆心，AF的长为半径作弧，在直线43的上方交《于点”

④过点。作A3的平行线交4于点C.则四边形A3C。即为所求蚱的黄金矩形.

结合阅读，根据上述尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下列推理与计算，并在括号内填写推理的依据.

证明：-BC1AB,AD1AB.

.\AD//BC.

CD//AB,

••・四边形A8CO为平行四边形.

•；NABE=90°,

二平行四边形/WC。为矩形（）.

在RtAABE中，/W=2,BE=\AB=\,

2

：.AE=,

,-EF=BE,

：.AD=AF=_^

•_A_D__

AB-

即：矩形ABC。为黄金矩形.

9.（2025北京怀柔初二下期末）如图，RtZ\A8C中，ZABC=9（r,AB<BCtE是AC的中点，

ZAEB=a,过点4作8QJ.AC于点。.延长3。至点尸，使BF=BE,连接并延长交84延长线于点

备用图

（1）①依题意补全图形：

②猜想NEM3的度数，并证明.

⑵用等式表示线段QW与人8之间的数量关系，并证明.

10.（2025北京平谷初二下期末）如图，菱形A8CD的对角线AC与8。交于点。，E为8c的中点，延长

AB到点尸，使8尸=；8。，连接E7L

⑴求证：四边形08F£是平行四边形；

⑵若B。=12,A8=10,求平行四边形OBFE的面积.

11.（2025北京平谷初二下期末）已知：如图，在△A4D中，AB=AD.

求作：以为边作菱形ABC。.

作法：

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A艮A。于点M,N；分别以点M,N为圆心，大于（MN的长

为半径作弧，两弧在一胡。的内部相交于点尸，作射线AP与交于点。；

②以点O为圆心，AO的长为半径画弧，交射线于点C；

③连接。。,3。.

四边形A8C。为所求的菱形.

（1）根据以上作法，使用史尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成以下证明.

证明：=平分/84O,

/.B0=_,AP±HD

又AO=CO,

••・四边形A38为平行四边形（）（填推理的依据）

又APA.HD

二•平行四边形A8CZ）是菱形.（）.（填推理的依据）

⑶若AB=5,BD=6,则菱形ABC。的面积为

12.（2025北京平谷初二下期末）如图，A4CZ）中，AE_L8C于E,DF1BC,交8c的延长线于点

F,求证：四边形为矩形.

13.（2025北京清华附中初二下期末）如图，在cA8co中，A£_L6C,点尸在4。上，且BE=DF,连接

⑴求证：四边形4EC厂是矩形；

⑵连接防，若斯平分/A3C,48=6,ZABC=60°,求：ABCO的面积.

14.（2025北京石景山初二下期末）如图，正方形A4CO中，点P，。分别在OC的延长线上且

（1）求乙4后。的大小

（2）点尸在射线“上，EF=EB,连接力/，Q的角平分线交。尸十点M.依题意补全图形.用等式

表示线段OM与的数量关系，并证明.

15.(2025北京石景山初二卜期末)如图，在矩形八48中，ABVBC,点M,N分别在A。，4c'边

上，将四边形CDMN沿史线MN翻折，点C恰好落在点八处，点。的对应点为点E.

(1)求证：AM=AN

(2)若AB=4,BC=8,求AM的长.

16.(2025北京石景山初二下期末)如图，在RtZ\4CB中，N4CB=90。，CM是边上的中线.过点A

作BD〃MC,月.8O=MC,连接CD.

(1)求证：四边形是菱形

(2)连接40,若BC=2,NAgC=60°,求AO的长.

17.(2025北京顺义初二下期末)在正方形4BC。中，E是A8上一动点(不与点4,5重合)，F是点、E

关于直线BC的对称点，连接CE,CF,过点£作EG_Lb于点G,延长GE交C4的延长线于点”.

(1)依题意补全图形.若NECB=a,求NC7/G的大小(用含。的式子表示)；

(2)用等式表示线段4〃与E尸的数量关系，并证明.

18.(2025北京顺义初二下期末)如图，在四边形A6CD中，NBC£>=90°,E是的中点，AC,DE交

于点尸，AF=FC,BF//CD.

⑴求证：四边形4CQ尸为矩形；

(2)若3C=2,CD=3,求AB的长.

19.（2025北京顺义初二下期末）小华设计了“利用两条互相垂直的直线作菱形”的尺规作图的寸程.

如图，MN_LPQ十点。，作图步骤如卜：

①在射线O仞上任取一点4（不与点。重合），以点。为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点C；

②在射线O尸上任取一点8（不与点。重合），以点。为圆心，08长为半径画弧，交射线少于点。：

③连接A8,BC,CD,DA.

所以四边形ABC。即为所求作的菱形.

"-O3-------N

Q

根据小华设计的尺规作图的过程，

（）使用直尺和圆规,补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：=、OB=,

..・四边形AACO是平行四边形（）（填推理的依据）.

ACA.BD,

••・四边形A38是菱形（）（填推理的依据）.

20.（2025北京昌平初二下期末）正方形人BC。，点七是线段CD上一点，作射线跖，交4C于点F,

NCBE=a（O0<a<45。）.点A关于射线房的对称点为点G,连接3G,CG,线段AG与BE,BC分别交

于点P，Q.

⑴①补全图形：

②求NAGC的度数；

⑵延长GC交射线3/于点，，连接A",若PF=CF,用等式表示BQ,CH,4G的数量关系，并证

明.

21.（2025北京昌平初二下期末）已知VABC,ZAC8=90。，点。是4B中点，DE1BC于点、O,过点。

作CE〃48交。O延长线于点E,连接BE.

⑴求证：四边形CEBD是菱形；

(2)连接AE,AEA.CD,CD=2,求AE的长.

22.(2025北京昌平初二下期末)已知，VABC中，AE±BCfiY.ZADC=,4。平行于BC.

(1)求证：四边形人8c。是平行四边形；

(2)在线段八。上取一点尸，使得村尸=£。，连接AC,EF交于点、O.求证：四边形AEC/7是矩形.

23.(2025北京海淀初二下期末)aABCD^,AE1HC,点尸在A。上，旦BE=DF,连接CA

(1)求证：四边形人KC厂是矩形；

(2)连接所，若班'平分N48C,AB=6,ZABC=60°,求：A8CO的面积.

24.(2025北京海淀初二下期末)VA8C中，AB>BC.求作：VA8C的边AC上的高8”.

下面是小明设计的尺规作图过程：

①以点8为圆心，8c长为半径作弧，交线段AC于点A

②分别以点。和点。为圆心，BC长为半径作弧，两弧相交于点E；

③连接班"交线段AC于点”.线段8H即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程：

⑴使用更尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；

⑵完成卜面的证明.

证明：连接80,CE,DE.

BC=BD=DE=,

・•・四边形"CEO是菱形.（）（填推埋的依据）

工BEDC.

/.BHYAC.

25.（2025北京西城初二下期末）在矩形A8CZ）中，AB,8C两边的长满足2A氏ZBA。的平分

线交边BC于点E.DH工AE于点H,连接。E,BH,线段4,的延长线交。石于点尸，交。C于点G.

Q

EE

图1图2

（1）如图1,当=时，求证：DH=DC；

（2）如图2,当A"#八4时，

①求证：点H为线段BG的中点；

②用等式表示线段4G与的数量关系，并证明.

26.（2025北京西城初二下期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到

的证明思路和证明过程，具体如下.

制作学具：两张直角三角形纸片人8C和。律，其中NAC3=N。庄=90。，BC=EF=a,

AC=DF=b[a<b）,AB=DE=c.

证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片。即的边EF落在纸片A8C的边AC上，点七

与点C重合，连接A。、08得到四边形4c8。，利用四边形ACBD的面积的两种不同表示方法证明

a1+〃2=c2-

请根据小高同学的思路补全以下证明过程.

证明：如图，作。G_LC8,垂足为点G,设48与CD的交点为H,

•.BC=EF,AC=DF,AB=DE,

A88DEF,

.\ZCAB=Z_f

./.FDE+ZACH=9(T,

ZC4B+_=90°,

/.ZA/fC=90°,

ABJ.CD,

2

$四边形ACBD=S.AC/J+SADH=—x+-xABx=-xABx=-c

22~2-2

•・•NCFD=NFCB=NG=90。，

・••四边形尸CG£＞为矩形，

：.DG=FC=a,

四边形=xx

••SACBD=SACD+SBCD2AC'_+—BCx

a2+〃=c2.

27.（2025北京西城初二下期末）已知：如图，NMAN.

求作：射线AC，使得AC平分NM4N.

作法：①在射线A〃上取点8,以点4为圆心，线段A8的长为半径画弧，交射线AN于点。；

②分别以点8,点。为圆心，线段A8的长为半径画弧，两弧交于点C（不与点A重合），

③作射线人C.

射线4c就是所求作的射线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接8cCD.

•/AB=AD=_=_,

•••四边形ABC。是一（填“矩形”“菱形”或“正方形”）

（）（填推理的依据）

・••4C平分/物。（）（填推理的依据）.

即AC平分NM4N.

28.（2025北京大兴初二下期末）在正方形A8C。中，将边A8绕点A逆时针旋转。（0＜。＜180）得到线

段AP（点尸不与点D重合），连接。P.过点8作直线尸。的垂线，垂足为点Q,连接BP,CQ.

(I)如图，当。<。<90时.

①依据题意补全图形，求的度数；

②用等式表示线段BQ,OQ,CQ的数量关系，并证明；

(2)当90va<180时，直接用等式表示8。，DQ,CQ的数量关系.

29.(2025北京大兴初二下期末)如图，在矩形/WCO中，点E,b分别在A。，4c上，且

AE=CFf8E尸是等边三角形.

(I)求证：四边形/叶。石是菱形；

(2)若线段AB=石，求菱形3q史的边长.

30.(2025北京大兴初二下期末)下面是小明“作矩形AEb”的尺规作图过程.

已知：四边形A3C3是平行四边形.

求作：矩形AEC户(点七在BC上，点尸在AO上).

作法：①以点A为圆心，/1B长为半径作弧，交BC于点G；

②分别以点A和点G为圆心，A8长为半径作孤，两弧交于点，(点〃与点4在异侧);

③连接4H交8c于点E；

④以点A为圆心，C七长为半径作弧，交A。于点尸；

⑤连接C尸.

则四边形AEC”为所求作的矩形.

⑴根据作法补全图形，保留作图痕迹；

(2)根据小明的作法完成下面的证明.

证明：连接”4,HG,AG.

.四边形人88是平行四边形，

/.AD〃BC.

AF=EC>

二•四边形是平行四边形.

•;AG=AB=HB=HG,

••・四边形ABHG为,

t/ZAEC=90°,

••・四边形AECF为矩形（）（填写推理依据）.

参考答案

1.(1)见解析

⑵万

【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾

股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键.

(1)先证明四边形8EC0是平行四边形，再由菱形的性质得出即可得出结论：

(2)先证△ABC是等边三角形，得出AC=AB=2,求出49=1,再由勾股定理求出80=G,然后由

矩形得出CE=80=75,Z4CE=9O°,最后由勾股定理即可求出4E的长.

【详解】(1)证明：・.・8E〃AC,EC//BD,

二•四边形BEC0是平行四边形，

・四边形人ACO是菱形，

：.AC±BD,

.•"OC=90°,

乂四边形8EC0是平行四边形，

••・四边形。ECO是矩形；

(2)解：，•四边形A8CO是菱形，

:.AB=BC,AC±BD,AO=CO=-AC,

2

vZABC=60°,

「•.ABC是等边三角形，

AC=AB=2,

:.AO=-AC=-x2=\,

22

在Rt-AO8中，由勾股定理得：BO=^AB2-AO2=V22-I2=x/3»

由(1)得：四边形8EC0是矩形，

:.CE=BO=6,Z4CE=90。，

在Rt。ACE中，由勾股定理得：AE=7AC，+CE2=百十(国=手.

2.(1)见解析

(2)90。+2。

G)DF=6OF,证明见解析

【分析】(1)根据题意画出图形艮J可；

(2)根据正方形的性质得到NACB=45。，得到206=45。+。，根据直角三角形的性质得到

OC=OF=^CE,求得NOC尸=/O尸0=45。+。，根据三角形外角的性质得到

/EOF=AOCF+/OFC=2(45°+a)=90。+2a；

⑶求得N8£C=90~3CE=90〜，连接。8,由。为"的中点，得到。吟。展。cj”求得

ZBOF=18()0-ABOE-ZCOF=9()°,得到.4。户是等腰直角三角形，得到=根据全等三角形

的性质即可得到结论.

【详解】(1)解：如图所示

(2)•・•四边形A5CD是正方形,

.-.Z4CB=45°

NBCE=a

NOW=45。+a

•：EFA.AC

/.Z£FC=90°

TO为C£的中点，

OC=OF=-CE,

2

NOCF=Z.OFC=45。+a,

AEOF=ZOCF+Z.OFC=2(45°+a)二900+2a.

(3)DF=j2OF.理由如下

讦明：ZCBE=90°.

J/LBEC=90°-ZBCE=90°-a,

连接08,

•・・。为CE的中点，

・•・OB=OE=OC=-CE

2

:.OF=OB,/BOE=NOCB+NOBC=2a,

：ACOF=180°-4OCB-ZOFC=180°-2x(45°+a)=90°-2a,

/BOF=180°-/BOE-Z.COF=90°,

・•・B。尸是等腰直角三角形，且OF=30,

:.BO2+OF2=BF\

^2FO2=BF\

；・=或3F=-及O”(不符合题意,舍去)，

V^DAF=ZBAF=45°,AD=AB,AF=AFf

...DAF^ZMF(SAS),

:.DF=BE

・•・/"=鼻。卜.

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直

角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

3.(I)见解析

(2)6

【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理

是解题的关键.

(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABED是平行四边形，根据平行线的性质得到勿止

求得N3AE=NAE8,得到A8=M,根据菱形的判定定理得到川边形A8EO是菱形；

(2)根据菱形的性质得到AE_L3O，BO=OD,再由=得出=，然后利用勾股定理求出

OE即可得到结论.

【详解】(1)证明：VAD//BC,

:.AD//BE,

,/BE=AD,

・•・四边形A8E。是平行四边形，

VAD//BC,

；・功AE=ZAEB，

「AE平分/

,ABAE=ZDAE,

ABAE=ZAEB,

AB=BE,

，四边形ABE•。是菱形；

(2)解：•・•四边形A8EO是菱形，

：•AELBD,BO=OD,AD=BE,

IE为8c的中点,

JBE=CE,

：.OE//CD,OE=-CD,

2

：.BD1CD,

・•・ZBDC=90P,

*：OE+CE=S,

：・CE=8-0E,

•：OB?+OE2=BE2,

222

・•・4+OE=(S-OE)f

/.0E=3,

:.CI）=2OE=b.

4.⑴见解析

⑵两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【分析】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的判定、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

（1）根据作法直接作图即可：

（2）根据平行四边形的判定、矩形的判定填空即可.

【详解】（1）解：如图所示.

求J

S

AWi

（2）证明：•：AB=CD,AD=BC=a,

，四边形ABC。是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），

又•.•由作图可知，ADJ.AB,

ZDAB=90°f

，平行四边形ABC。是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

故答案为：两组对边分别相等的囚边形是平行四边形：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

5.（1）见解析

（2）①CH=亘BE,证明见解析；②2yli

2

【分析】（I）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得=DH=；EF,即可得出结论；

（2）①如图，过点H作HGJ.BC于G,连接先证明,ACH%/X77（SSS）,得至1]“CH=NDCH,

从而求得NBCH=45。,进而得出NG〃C=N4C〃=45。，得到G〃=GC,再由勾股定理求得

CH=\lGH2+CG2=\l2GH2=>/2GH然后证明/£是的中位线，得到GH=gBE，即可得出结论

CH=—BE.

2

②根据直角三角形的性质求得所=23"=8,然后根据AM可证,E4■EC。，得到。石=。/，再根据

等腰直角三角形的性质和勾股定理求得。E二方=4及，然后由勾股定理求得AD=ylDE2-AE2=2yfl，

最后由正方形的性质得AB=AD=2^.

【详解】（1）证明：如图h

图I

•・•正方形ABC。，

・•・ZEBF=90°,

•・•点”是线段石产的中，

BH=-EF,

2

•；DE工DF,

/.Z£DF=90°,

・•・DH=-EF

2f

:.BH=DH；

(2)解：①CH=①BE.

2

证明：如图，过点〃作HGJ_AC于G,连接

图2

「正方形ABCD,

：,N£»F="C£>=90°,BC=CD,

丁点〃是线段所的中，ZEBC=ZEDF=90°,

HF=BH=DH=LEF,

2

在^BCH与LDCH中,

BH=DH

BC=CD,

CH=CH

；・BCHWDCH(SSS),

：.JBCH=ZDCH,

*/ABCH+ZDCH=/BCD=900.

，ZBC//=45°,

•:HG±BC，

・•・Z/7GC=90°,

，/GHC=/BCH=45°,

:.GH=GC,

JCH=xlGH-CG2=y/2GH2=MGH，

•:BH=HF,HG工BC,

：.BG=GF,即G是跳'的中点，

丁点”是线段EF的中，

，的是所的中位线，

GH=、BE,

2

：-CH=42X-BE=—BE；

22

②;点H是线段E”的中，ZEBF=90°

，EF=2BH=2x4=8

•・•正方形ABC。，

/.ADAE=ZDCF=ZADC=90°,AD=CD,

•・•AEDF=90°,

・•・ZEDF-ZADF=ZADC-ADF,即NEDA=ZFDC,

：^EAD^^FCD(ASA),

，DE=DF,

,EF=yjDE2+DF2=ODE，

...DE=^=[=m,

V2V2

在Rt中，AE=2,

:.AD=ylDE2-AE2=J(4&『一2?二2屿，

•・•正方形/WCO,

AB=AD=2币.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，等腰

三角形的性质，勾股定理.熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

6.(1)见解析

(2)3

【分析】此题考查了菱形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用.

(1)先证明四边形A£CO是平行四边形，再证明A£>=8即可；

(2)根据菱形的性质得到AE=CE,求得C£=58,推出446=90。，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：•・•A8〃C。，CE//AD,

•••四边形AEC。是平行四边形，

AC平分/847，

：./1DAC=^CAB,

VAB//CD,

/.ZC4B=ZDC4,

/.XDAC=^DCAt

・•・AD=CDt

・•・四边形4ECO是菱形；

(2)解：•・•点E为AB的中点,

:,AE=BE,

•・•四边形AECO为菱形，

/.AE=CE,

：.CE=-AB,

2

/.ZACB=90°,

・••AC2+BC2=AB2,

VAC=4,AB=2CE=5,

在RtV/WC中，BC=>jAB2-AC2=3^

・•・BC=3.

7.10

【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.由矩形的性质得

AC=BD=2OA=2OD,再证明ZA/,D=ZAOB即可求解.

【详解】解：：四边形ABC。是矩形

/.AC=BD=2OA=2OD

••・/OAD=NODA

/.ZAOB=ZOAD+ZODA=2/ODA

•・,ZAFD=2ZADB

/.AAFD=ZAOB

:.AO=AF=5

:.AC=BD=2OA=\()

8.(1)见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了尺规作图，矩形的判定，勾股定理，正确作出图形是解题的关键.

(1)根据题意按照尺规作垂线，线段垂直平分线，作•个角等于己知角的步骤作图即可；

（2）先证明四边形/1BC。是矩形，再由勾股定理求得=由耳'=£3=1得A〃=4/）=万-1，即可

求解.

【详解】（1）解：如图所示，四边形人BCO即为所求：

..AD//BC.

CD//AB,

••・四边形A4c。为平行四边形.

QZ4BE=90°,

二•平行四边形ABC。为矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）.

在RlAABE中，AB=2,BE=-AB=\,

2

/.AE7AB?+BE。=舟

•：EF=BE,

AD=AF=AC-EF=&\,

ADV5-1

---=-----,

AB2

BP：矩形ABC。为黄金矩形.

9.⑴①补图见解析；②NEMB=45。,证明见解析

（2）FM=^-AB,证明见解析

2

【分析】（1）①根据描述作图即可；②由直角三角形作边中线的性质得出AE=8E=CE.进而可得

NEBC=NC=*.用含a的式子表示出NBW和再利用三角形内角和定理即可求解；

（2）作EHJ.BC于点、H,FNLAM于点N,证明一胡丁二二8”£（—5）,得出NF=EH.由切是VA3C

的中位线，可得NF=EH=；AB.由.MN尸是等腰直角三角形，可得FM=QNF.

【详解】（1）解：①补图如图所示

M、

②/EMB=450.

证明：•••R△ABC中，ZABC=90°,E是4C的中点,

:.AE=BE=CE.

ZAEB=a,

NEBC=ZC=-.

2

NDBE=90°-a.

BF=BE,

ZBEF=45°+-.

2

•/£MBE=ZABC-ZEBC=90°--,

2

/.NEMB=180。-（90。-41-145。+3]=45。.

I2）[2）

(2)解：FM=­AB,证明如下：

2

作EH于点H,FNA.AM干黑N,

NBNF=NBHE=90。.

vZA®F+ZDBC=90°,ZC+ZDBC=90°,

:.小BF=ZC,

•/BE=CE.

NEBH=/C.

4NBF=/EBH,

ZBNF=NBHE,

在.BNF和-BHE中，•NNBF=NEBH,

BF=BE,

:.LBNFWZ?/ZE（AAS）,

NF=EH.

•/BE=EC,EHA.BC,

是BC的中点，是VABC的中位线.

,\NF=EH=-AB,

2

•・•NEMB=45°,FN工AM于点、N,

・•.△MN尸是等腰直角三角形.

:.FM=®NF.

FM=V2/VF=6EH=—AB.

2

【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形

内角和定理，等腰三角形的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.

10.(1)见解析

⑵S平行四边形ABCD=24

【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练学

握菱形的性质，平行四边形的判定是解题的关键.

(1)先得到OE为VA8C的中位线，则根据三角形中位线的性质以及已知添加证明。石〃4£0七=/步\即

可证明；

(2)先求出8厂，再由勾股定理求出08,然后过点。作OM_LA8于点M,由面积法得到

S^OB=^OAOB=^ABOM,艮］可求解。W，再由平行四边形面积公式求解・

【详解】(1)证明：菱形A4CO

AB=BC,AO=CO.

E为BC中点

，。石为VA3C的中位线

0E//AB,0E=-AB.

2

：.OE〃BF,OE=LBC

2

'：BF=-BC

2

:,BF=OE

二•四边形08正是平行四边形.

(2)解：过点。作OM_L人8于点M

DC

菱形ABCD

ACA.BD

：.ZAO8=90

•・80=12.49=10

..06=6,

,48=10

:.OA=y]AB2-OB2=8.BF=5

S.,=-OAOB=-ABOM

A‘'0O"B22

.•.6x8=10。”

解得：OM=4.8.

••S平行四边形A8c。=BFXOM=24.

11.（1）见解析

⑵D。；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形

⑶24

【分析】本题考查尺柜作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是

学握相关知识解决问题.

（1）根据要求作出图形；

（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可；

（3）根据菱形的性质得OD=DB=3,AO±BD,由勾股定理求出AO=4,再利用菱形的面积公式求解.

【详解】（1）解：如图所示：

（2）证明：VAB=AD,AP平分/3AO,

:,BO=DO,APLBD,

又・・・4O=CO,

.四边形八28为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）,

又•:APLBD,

・•・平行四边形A8CO是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)；

故答案为：。。，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形；

(3)解：:四边形A8C。是菱形，

：.OD=DB=3,AOA.BD,

：•'0=5/52-32=4,

AC=2AO=S,

菱形/WCD的面积=—x6x8=24.

2

故答案为:24.

12.见解析

【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到AO〃BC,白

AEA.BC,DF工BC得出"EF=NEFD=NEAQ=90。,根据矩形的判定定理即可得到结论.

【详解】证明：•・•四边形A8CO是平行四边形，

・•・AD//BC,

XVAE1.BC,DF工BC,

：.AELAD,

ZAEF=NEFD=ZE4D=90°,

・•・四边形是矩形；

13.(1)见解析

(2)27^

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30。角的直角三角形的性质，勾股定理，

角平分线的定义，熟练以上知识点是解题的关键.

(1)根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据48=90。即可得证；

(2)由班'平分/ABC,可求得4尸=人4,再根据NAAC=60。，贝lJ®E=30°,根据含30。角的直角三角

形的性质，求得3£,再求出AE,由。尸=8七进而即可求得AO,即可得到答案.

【详解】(1)证明：四边形A8C。是平行四边形，

.：AD〃BC,AD=BC.

•;BE-DF,

;.AD—DF=BC—BE,^AF=EC.

又KDHBC、

二.四边形AEb是平行四边形，

•/AELBC,

/.ZAEC=90°.

「•平行四边形AEC尸是矩形.

(2)解：vZAEC=90°,ZAfiC=60°,

NBAE=90。-ZABC=30。.

又A8=6,

•.BE=3,AE=\IAB2-BE2=3>/3-

5/平分/ABC,

:.ZABF=ZCBF.

又AO〃BC,

/.ZAFB=NCBF.

:.ZAHF=ZAFB,

AF=AB=6.

又DF=BE=3,

:.AD=AF+FD=9.

*ABC。的面积为：AOME=9X3X/5=27G.

14.(1)90

(2)图见解析，DM-FM，证明见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质.

(1)先根据正方形的性质证明.AB2BCQ(SAS),等量代换即可得到答案；

(2)补全图形，过点4作AN_LAE交的延长线于点N,连接DV,根据正方形的性质证明

Z4=Z3,由角平分线得到N5=乙5。，进而证明△4VZ)£KAEB,&DMN&FME,即可求出ZW与EW的数

量关系.

【详解】(1)解：•・•四边形A8C。是正方形，

/.AB=CB,ZABC=NBCD=9(F.

：.^ABP=ZBCQ=90°,N2+Nl=90。.

,,,BP=CQ,

・••AB-BCQ(SAS).

AZ3=Z1.

:.Z2+Z3=90°,

/.ZAEQ=90。.

（2）解：依题意补全图形如图2.数量关系：DM=FM.

证明：过点A作AN_LAK交的延长线于点N,连接。V,如图2.

•・•四边形ABC。是正方形，

AAD=AB,ZBAD=90°.

/.Z4=Z3.

•・・Z4EQ=90°,EM平分NAEQ,

AZ5=45°.

/.Z6=Z5=45°,/MEF=T35°,

/.AN=AE.

：.^AND^AEB.

:•ND=EB,ZAND=ZAEB=90°.

J工MND=/MEF=\35°.

EF=EB,

:,ND=EF.

*：〃）MN="ME,

：.DMN"FME.

，DM=FM.

15.(1)见解析

(2)5

【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握折叠的性质是关键.

(1)证明N3=N1,根据等角对等边即可得到结论：

(2)设AM=x,则AN=AM=x.得到CN=AN=x,BN=BC—CN=8—x.在中，由勾股定

理，得AB?+BN?=AN?,据此列方程并解方程即可得到答案.

【详解】(1)证明：如图，

E

丁四边形ABC。是矩形，

工AD//BC.

:.Z1=Z2.

•••四边形沿直线MN翻折得到四边形AEMN,

AZ3=Z2.

/.Z3=Z1.

・•・AM=AN.

(2)解：设则/W=/W=x.

,:四边形CDMN沿直线MN翻折得到四边形AEMN,

:・CN=AN=x,

・••BN=BC-CN=8-x.

•・•四边形A8CO是矩形，

・・・NB=90°.

在RlZXA&V中，由勾股定理，得AB?+BN?=AN?,

即42+(8-X)2=V.

解得x=5.即AM=5.

16.⑴见解析；

(2)277.

【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质及判定，勾股定理.

(1)先证明四边形BMC。是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等r•斜边的一半即可证明四边形

BMC。是菱形；

(2)如图，过点。作O”_LAC交4c的延长线于点H,先求出N84C=30。，再根据勾股定理求出

AC=2b，进而求出A"=AC+C〃=30，在RjAM)中，根据勾股定理计算即可.

【详解】(1)证明：*.*BD//MC,BD=MC,

・•・四边形BMCD是平行四边形.

VZACB=90°,CM是AB边上的中线，

,CM=-AB=BM.

2

：.3MCD是菱形；

(2)解：如图，过点。作O”_LAC交AC的延长线于点”,

•n△AC8中，ZACfi=90°,ZI=60°,

・Zft4C=30°.

；・AB=2BC=4,

:.AC=2后.

•・LW是AB的中点，

MI3=-AB=2.

2

•••四边形BMC。是菱形，

:.CD=MB=2,CD//MB.

/.N2=NR4C=30°.

**,DH=—CD—1,CH=\f3.

AAH=AC+CH=343.

在中，/H=90。,

由勾股定理，得AD=\IAH'+DH，=丁27+1=2币.

17.（1）图形见解析；ZCHG=45Q-a

Q）EF=&AH，证明见解析

【分析】本题重点考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，结合题中条件，与图

形，灵活运用所学知识是解题的关键.

（1）利用轴对称的性质，证明.即推出"C五=4CE=a,再由EG_Lb,得

NC"G=90°—NGC"=45。一a；

（2）过点/作〃M_LA3,交0A延长线于点M,先在‘7/M4中，推出“〃=立4〃，再证明

2

.MHEmBEC,推出M”=E8=gEB,代入“〃=立人”化简即可

22

【详解】（1）如图1所示：

图I

四边形A8CO为正方形，

.•.ZAC«=45°,C〃_L^4,

二.点E关于BC的对称点尸在人B的延长线上，

由对称性可知，EB=FB,Z^C=Z/-BC=90°,

又CB=CB,

jEBC小BC（SAS）,

：.ZBCF=ZBCE=at

NGCH=ZACB+NBCF=45。+a,

又EG1CF,

:,ZCGH=90°,

ZCHG=90°-ZGCH=45°-a.

（2）EF=y/2AH,理由如下：

设NECB=a,由（1）知，4cHe=45。—a,

又^HCE=ZACB-ZECB=45°-a,

;.ZHCE=NCHE,

:.CE=HE,

如图2,过点H,作“MJ.AB,交84延长线于点M,则/EMH=90。,

;四边形A8CO为正方形，

.1.ZC4A?=45°,

.'.zM4//=ZC4/?=45°

又=

5HA=ZMAH=45°,MH=AM,

由勾股定理得AH2=MH2+AM2=2MH2,

2

ZMEH=Z.MAH-ZCHG=45°-（45°-a）=a,

:.ZMEH=AECB,

又CE=HE,NHMB=NCRA=9CT,

：MHEm5EC（AAS）,

:,MH=EB=-EF,

:.-AH=-EF,EF=>/2AH.

22

18.（1）证明见解析

（2）2710

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与

性质是解题关键.

（1）先根据三角形的中位线定理可得。石〃4。，则可得四边形48「为平行四边形，再根据矩形的判定

即可得证；

（2）先根据矩形的性质可得8歹=8=3,BFA.DE,再根据三角形的中位线定理可得8c=1,然

后利用勾股定理可得好的长，根据线段中点的定义即可得.

【详解】（1）证明：•・•4/=尸。，

，点尸是AC的中点,

又：石是的中点，

••・E尸是VA4C的中位线，

:.DE〃BC、

又•:BF//CD,

・•・四边形86方为平行四边形，

,:NBCD=90。,

・•・四边形8（笫尸为矩形.

（2）解.：由（1）已证：四边形6c。尸为矩形，

ABF=CD,BF1DE,

•：CD=3,

・•・BF=3,

由（l）已得：所是V48C的中位线，

・•・EF=-BC,

2

'：BC=2,

：.EF=-x2=l,

2

在RtAJJE/中，BEZBF+EF?=M，

,：E是48的中点，

AAB=2BE=2>/10.

19.⑴作图见解析

（2）00：对角线互相平分的四边形是平行四边形：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法.

（1）利用尺规按步骤作图即可：

（2）结合图形填空，根据解答过程选择合适的判定方法填空;

【详解】（1）如图所示：

（2）证明：OA=OC,OB=OD,

，四边形A4co是平行四边形（对角线互