函数的概念及其表示-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）解析版

专题2.2函数的概念及其表示.重难点题型精练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A={x|-IWXWI},B={y\-则下列图象中,

能表示从集合A到集合B的一个函数的是（）

【解题思路】根据函数的定义域和值域的关系，结合函数的定义逐个分析各个选项的图像即可.

【解答过程】解：由题意可知函数的定义域为集合人=3-lWx〈l},值域为集合B=3-IW,WI}的

子集，

对于选项A：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个x对应值域内唯一的一个y值，所以

选项A正确，

对于选项B：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当％=0时，y的值有2个，不符合函数的定义，

故选项B错误，

对于选项C：函数的定义域不符合题意，故选项C错误，

对于选项D函数的定义域不符合题意，故选项。错误，

故选：A.

2.（5分）（2022春•疏勒县校级期末）函数y=与^中，自变量x的取值范围是（）

A.x>2B.在2C.在2且田）D.

【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求解..

【解答过程】解：要使原式有意义，贝山:二:之。，即x22.

・•・自变量工的取值范围是x22.

故选：B.

3.（5分）（2021秋•阳春市校级月考）函数/（x）=-2?+4A,xG[-1,2]的值域为（

A.[-6,2]B.[-6,1]C.[0,2]D.[0,1]

【解题思路】利用二次函数的性质判断函数的单调性，求出最值即可得出函数的值域.

【解答过程】解：函数/（x）=-2?+4x的开口向下，对称轴为x=l,

所以/（x）在[-1,1]上单调递增，在“，2]上单调递减，

所以/（X）max=f（1）=2,f（X）min=f（-1）=-6,

所以函数,f（x）=-2?+4x,A€[-1,2]的值域为L6,2].

故选：A.

4.（5分）（2021春•临澧县校级期末）若/（x）=1（"+2）'”〈I,则-2）的值为（）

wa2x,x>1

A.0D.1C.2D.-2

【解题思路】利用函数的解析式知道当xVI时是以2周期的周期函数，故/（-2）=/（2）,再代入函

数解析式即得

〃x+2),x<l

【解答过程】解:V/(x)=

Jog2x,x>1

・••当xVl时，/（-2）=/（0）=/（2）,

，当x=2时即f（2）=log22=l

故选：B.

5.（5分）（2022春•济宁期末）若函数y=Tx?+2x+a++（x+2）的定义域为（1,+8）,则〃=（）

A.-3B.3C.1D.-1

y2.X,Oya>0

【解题思路】由题意，不等式|二:7的解集为（1,+8）,可得1是方程，+公+4=0的一个

x+2>0

解，由此求得a的值.

【解答过程】解：♦函数y=、/程+2%+a++2）的定义域为（1,+°°）,

・.・不等式工2二+2,X+Q>0的解集为（1，+8）,

x+2>0

/.1是方程jr+2x+a=0的一个解，・•・l+2+a=0,求得a=-3,

故选：A.

6.（5分）（2022春•商丘期末；已知函数/（x+2）的定义域为（・3,4）,则函数仪外=/吗的定义

域为()

A.4，4)B.4，2)C.4，6)D.(；,1)

【解题思路】由已知求得了(x)的定义域，结合分式的分母不为0,可得函数g(x)的定义域.

【解答过程】解：•・•函数/(x+2)的定义域为(・3,4),即・3VxV4,

：.x+2E(-1,6),即/(x)的定义域为(-1,6).

又3x-1>0,・•・*%,取交集可得函数g(幻的定义域为6).

JW

故选：C.

1—x，x<0

7.(5分)(2020•广东学业考试)已知函数/Cr)=-，若/(I)=/(-1),则实数。的值

.ax,xX)

等于()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】由分段函数我们易求出f(l),f(-l)的值，进而将式子/(I)=；(-1)转化

为一个关于。的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数。的值.

【解答过程】解：•.・函数〃%)=[1一"'X~Q.

(a*,x>0

：.f(-1)=2,/(I)=a,

若/⑴=/(-1),

；・a=2,

故选：B.

8.(5分)(2021春•高安市校级期中)已知函数/(x)=/-6”+6,*20,若互不相等的实数

⑶+4,x<0

.⑵X3满足/(XI)=/(X2)=/(X3),则X1+X2+X3的取值范围为()

111811181

A.76)B.(—一)C.D.(/3

33(丁6]

x2-6x+6,x>0,,,内

【解题思路】先作山函数/(x)=的图象，如图,不妨设X\<X2<X3,则X2，X3关

3%+4,x<0

于直线X=3对称，得到X2+X3=6,且一(VxiVO；最后结合求得X1+X2+X3的取值范围即可.

x2—6%4-6,x>0„,皿

【解答过程】解：函数/(X)=的图象，如图,

3丫+4,

不妨设X1<X2<X3，则X2，X3关于直线X=3对称，故X2+X3=6,

且XI满足-Z<11<0；

则X1+X2+X3的取值范围是：-^+6<Xi+X2+A3<0+6:

即X1+X2+X3E(―,6).

3

故选：A.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2021秋•鄂州期末）已知集合4={.很=2鼠依N*},集合B=M,下列表达式能建立从集合A

到集合4的函数关系的是（）

A.y=2xB.y=jrC.y=log2xD.y=2x

【解题思路】通过举反例可得对应关系/：y=logiv不是从4到B的函数关系，而按照对应关系/：）=

2x,y=/，y=2x构成从A到B的函数关系，由此得出结论.

【解答过程】解：由函数的定义可得A中的每个元素在8中都有唯一的一个元素与之对应.

按照对应关系fy=logZK,4中的6在3中没有元素与之对应，故不是映射.

而按照对应关系/：y=f,y=2x,A中的每个元素在8中都有唯一的一个元素与之对应，

满足函数的定义.

故选：ABD.

10.（5分）（2021秋•温州期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为

“同族函数”，例如函数），=『，x曰I,2］与函数y=7,x1-2,-1］为“同族函数”.下面函数解析式

中能够被用来构造“同族函数”的是（）

A./(x)=B.f(x)=2X+2X

C.fW=D./(x)=x+^

【解题思路】根据“同族函数”分别进行判断即可.

【解答过程】解：A.f(x)是偶函数，当入曰1,2］与X曰-2,-11M，两个函数的值域相同，可以构造

“同族函数”，

/(-x)=2x+2x=2x+2'x=f(x),函数/(x)为偶函数，且/(x)为增函数，有可能是“同族函数”，

C./(-x)=-f(x),/(x)是奇函数，且当x>()或xVO时，分别为减函数，不可能是“同族函数”，

D.由对勾函数的性质知当()qvi时/(x)为减函数，当QI时，/(x)为增函数，当回，2］与.伯白,

1］时，两个函数的值域相同，可以构造“同族函数”，

故选：ABD.

11.(5分)(2022春•道里区校级期末)下列说法中正确的是()

A.函数y=炉_1+3的值域为(一8,1］

B.函数y=车坦的值域为⑵+8)

C.函数y=4+|益的值域为［2,2企］

D,若函数旷=/。欠(。/+2%+。)的值域为口，则实数〃的取值范围是［0,1］

【解题思路】直接利用二次函数的性质判断函数的值域，进一步确定人的结论：利用函数的关系式的变

换和对勾函数的性质的应用判断8的结论，利用函数的定义域确定函数的值域，进•步确定。的结论，

利用对数的性质的应用判断。的结论.

【解答过程】解•：对于y=/_£+3=._)+2,故函数的值域为(0,刍，故A错误：

对于3：函数y二手出:=+〒工,利用对勾函数)，=/+；(/>0),整理得%„山=鱼+々=蜉,

J/+2JX2+2t12/

故函数的值域为［等，+8),故8错误；

对于C：函数/(%)=4+，4-%,由于f'(%)=，-c，令/(X)=。，解得工=2时，函数取

的极大值，函数的定义域x@0,4］,根据导数的性质.隹［0,2］上单调递增，，函数/(%)在.诧［2,4］±

单调递减，当x=0或4时，函数取得最小值为2,当工=2时，函数取得最大值2注,所以的值域为［2,2V2］,

故C正确；

2

对于。：由于函数y=log2(ax+2x+a)的值域为R,当。=0时，函数的值域为R,成立，当〃>0且

4-4/20,解得。日0,1],故。正确；

故选：CD.

12.(5分)(2021秋•天河区校级期末)下列结论正确的是()

A.若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数

B.函数y=:定义域为[1,+8)

Vx-1

C.若函数y=Iog2(%2+%+a)的值域为R,则。的取值范围为(一8,1]

D.函数y=/(x)定义域为[-1,2],则)，=/(%)4/(-X)定义域为[-1,1J

【解题思路】根据题意，对选项中的命题真假性判断即可.

【解答过程】解•：对于A,两个函数的定义域与值域相同时，这两个函数为不一定是同一个函数，

如/(x)=R,在R,与g(x)=/,所以选项A错误；

对于8,函数丫=言定义域为(1,+8),分母不能为0,选项8错误；

对于C,函数y=Zog2(%2+无+a)的值域为R时，A=I2-4«^0,解得

所以。的取值范围是(一8,1],选项C正确；

对于O,因为函数y=/(x)定义域为[7,21，令厂;“解得-10W1,

I—，s-xsZ

所以函数y=/(x)+f(-x)的定义域为[-1,1],选项。正确.

故选：CD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)(2021秋•博野县校级月考)已知/(2x+l)的定义域为[-1,2],贝UJ(x・1)的定义域为10,

【解题思路】根据函数/(2x+l)的定义域知x的取值范围，求出/CO的定义域，再求/(x-1)的定

义域.

【解答过程】解：函数/(2x+l)的定义域为[-1,2J,

知xW[-1,2],

所以-1W2X+1W5,

即/(x)的定义域为L1,5]：

令・lWx・1W5，

解得0Wx<6,

所以/(x・1)的定义域为［0,6］.

故答案为：［0,6］.

14.(5分)(2021秋•新乡期末)函数/(幻=-2%-4+/一%+1的值域为⑶+8).

【解题思路】先判断加彳口和/-x+1的单调性，从而判断/(x)的单调性，进而求值域.

【解答过程】解：由2x-420,得在2.

因为反』在［2,+8)上单调递增，且f-x+l在⑵+8)上单调递增.

所以因为/CO在［2,+8)上单调递增.

所以f(X)min=f(2)=3.

故答案为：［3,+8).

15.(5分)(2021春•龙凤区校级月考)已知/(x)+2f(-x)=/+〃，则/(x)的解析式为f(x)=#・

2x_.

【解题思路】由/(x)+2f(-x)=/+2x,f(-x)+2/*(x)=x2-2x,联立可求.

【解答过程】解：因为/(x)+〃(-x)=/+2r,

所以/(-%)+2f(X)=f-2c,

联立可得，/(x)=p-2x.

故答案为：/(x)=jx2-2x.

16.(5分)(2022春♦南平期末)若函数/(%)=］(：-D"+l'的值域为R,则实数”的取值范

I%2—2ax+6,x>l

围是⑵+8).

【解题思路】由题意，分类讨论。的范围，利用一次函数、二次函数的性质，可得结论.

【解答过程】解：•.•函数X-lf的值域为R,

［x2-2ax+6,x>l

当。=1时，/(x)=F；，不满足值域为R.

(X2-2X+6,X>1

当。>1时，应有a-l+12/-2a・a+6,解得q22.

当a<l时，由于(〃-1)"1(xWl)和』-2"X+6(X>1)都有最小值，

故函数的值域不可能为R,故不满足题意.

综上，a沁,

故答案为：［2,+8）.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2021秋•龙门县校级月考）求下列函数的定义域.

（1）y=y/x—2•V3—x；

2xz-3x-2

【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

【解答过程】解：⑴由题意可知《二:梵，解得｛:<3

，2WxW3,

即函数的定义域为［2,3］.

（2）由题竟可知出三产30解得-20W2Hx#2H

（2x2-3x-202

11

，文€2,—2）U（—2，2）,

却函数的定义域为［-2,-1）U（-12）.

18.（12分）（2021秋•思南县校级月考）已知函数/（x）=k-2|+f.

（1）去掉绝对值，写出/（工）的分段解析式；

（2）画出/（工）的图象，并写出值域.

O

【解题思路】（1）分x22和xV2讨论，取绝对值即可;

（2）根据抛物线的性质，分别画出两段上的图象即可.

【解答过程】解：（1）当x22时，/（x）=/+x-2,

当xV2时，/（x）=?-x+2,

x2+x—2,x>2,

所以/<l)=

,x2-x+2,x<2

（2）当x22时，/（x）为以尸一义为对称轴，开口向上的抛物线,

当x<2时•，f（x）为以x=2为对称轴的抛物线，

所以/（X）的图象如图所示：

19.（12分）（2022春•桃源县月考）若指数函数/（工）的图像过点A（2,9）.

（1）求函数/6）的解析式；

（2）当入曰・2,3]时，求函数/（工）的值域.

【解题思路】（1）由题意，利用待定系数法求出指数函数的解析式.

（2）由题意，结合函数的单调性求出函数/（外的值域.

【解答过程】解:（1）设指数函数为/（X）="（。>0,。中1）,

•・•它的图像过点A（2,9）,

.•・/=9,：.a=3,・、困数/（外=3t

,41

（2）当人[-2,3]时，3XG[~,27],

故函数/（X）的值域为R,27].

9

20.（12分）（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数/（幻=£-2x,g（x）=«|x-2|,F（x）=f（x）+g

（x）.

（1）a=2,求尸（x）在xC[0,3]上的值域;

(2)a>2f求尸(x)在3］上的值域.

【解题思路】(1)求出〃(%)的解析式，再结合图象可求出值域.

(2)求出F(x)的解析式，分0WxW2和2VxW3讨论.

【解答过程】解:(1)当。=2时，

0_2o01卜2-钛+4,(0WXW2)

F(X)-2x+2\x-2|=<,

1/-4,(2<x<3)

当0Wx<2时，F(x)=f-4.r+4=(x-2)2,则值域为［0,4］：

当2VxW3时，F(x)=』-4,则值域为(0,5］；

工产(工)的值域为［0,5］.

/、、t,,,,、x2—(a+2)x4-2a,(0<x<2)

(2)当a>2时，F(x)={'>”,

+(a-2)x-2a,(2<x<3)

当0WxW2时，F(x)=.*-(a+2)x+2a,对称轴为人=竽之2,所以值域为［0,23；

当2«3时，F(A)=』+(a-2)x-2a,对称轴为工=孕<0,所以值域为［0,a+3］；

,当2VaV3时,F(x)的值域为［0,a+3］；当a妾3时,F(x)的值域为［0,2a］.

21.(12分)(2021春•齐齐哈尔月考)(1)已知)，=/(x)的定义域为［0,1］,求函数y=/(』+l)的定

义域：

(2)已知y=/(2"l)的定义域为［0,1］,求y=/(x)的定义域；

(3)已知函数)，=/(x)的定义域为［0,2］,求函数g(x)=《竺的定义域.

乙XJL

［解题思路］(1)由己知可得0</+1经1,求解A•的范围得答案;

（2）），=/⑵-1）的定义域为[0,1],即码0,1],求出2r・1的范围得答案;

（3）由已知求得了（2r）的定义域，结合分母不为0,取交集得答案.

【解答过程】解：（1）Vy=/（x）的定义域为[0,1],

・•・由0W/+1WI,得x=（）,

即y=/（/+l）的定义域为｛0｝；

（2）V.v=/（2x-1）的定义域为[0,I],即团0,11，

A-\^2x-K1.可得y=/（x）的定义域为[-1,I];

（3）•••函数）=/1）的定义域为函,2],

由2.隹[0,2],得O&x&l,

：.y=f（2v）的定义域为[0,1].

又2x-1WO,UPxW

・•・函数y=g（x）的定义域为[0,1].

22.（12分）（2021秋•中山市期木）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已

知函数/（