函数模型及其应用-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）原卷版

专题2.20函数模型及其应用.重难点题型精练

【新高考地区专用】

考试时间：90分钟；满分：式0分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分15（.）分，限时9（）分钟，本卷题型针对性较

高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2021秋吆［桥区期末）面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上

下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神.下面几个函数模型中，

能比较近似地反映出右图中时间与治愈率关系的是（）

全国治愈率趋势图

A.y=ax+bB.y=cur+bx+cC.y=axD.y=log“t

2.（5分）（2022•西城区校级开学）星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式M=〃?+5

-5/,蟾转换，其中M为绝对星等，机为目视星等，d为到地球的距离（单位：光年）.现在地球某处

测得牛郎星目视星等为0.77,绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03,绝对星等为0.5.则距离地球更

近的星球和它们到地球的距离之比（较远距离与较近距离之比）分别是（）

（参考数据：10°1小1.549,心顺心8.054,10°716%5.199）

A.牛郎星，约1.5B.织女星，约1.5

C.牛郎星，约2.9D.织女星，约2.9

3.（5分）（2022春•西山区校级期中）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在

浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目.为了倡导绿

色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水污染物数量N（竿）与

时间，的关系为N=N°ef'（No为最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物

消除至最初的64%还需要（）

A.3.6小时B.3.8小时C.4小时D.4.2小时

4.（5分）（2021秋•南昌期末）一般来说，产品进入市场，价格越高，销量越小.某门店对其销售产品

定价为〃元/件，日销售量为9件，根据历史数据可近似认为〃，^满足关系夕=2。。-〃,

如当定价〃=9（）元，毛收入为9900元.为了追求最大利润，不会无限提高售价，根据信息推测每天最少

毛收入为（）

A.7500元B.9600元C.9900元D.10000元

5.（5分）（2022•攀枝花模拟）中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任

务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗

汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是

（）

▲燃油效率（km/L）

04080速度（km/h）

A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶56〃

B.甲车以80。?〃?的速度行驶1人，消耗约10年汽油

C.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

D.某城市机动车最高限速80也必，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

6.（5分）（2022•江西二模）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示，饮茶

温度最好不要超过60C.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃,68℃,

给出三个茶温7（单位：°C）关于茶泡好后置于室内时间，（单位：分钟）的函数模型：①T=a+〃（〃V

0）；②7=log〃+b（0<a<l）；③T=20+/?・"">0,OV〃V1）.根据生活常识，从这三个函数模型

中选择一个，模拟茶温丁（单位：。C）关于茶泡好后置于室内时间，（单位：分钟）的关系，并依此计算

该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（）（参考数据：/g2-0.301,7^3^0.477.）

A.2.72分钟B.2.82分钟C.2.92分钟D.3.02分钟

7.（5分）（2022春•河南月考）如图，某池塘里浮萍的面积）（单位：机2）与时间/（单位：月）的关系

为），=".关于下列说法：

①浮萍每月的增长率为I；

②第5个月时，浮萍面积就会超过30〃尸：

③浮萍每月增加的面积都相等；

④若浮萍蔓延到2m2,3m2,6〃P所经过的时间分别是A，12,0则A+起=△.

其中正确的说法是（）

A.①②B.①②③C,①②④D.①②③④

8.（5分）（2022•淮南一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年

前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和.为门响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持

下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本），（单位：

万元）与处理量x（单位：吨）（x日120,500］）之间的函数关系可近似表示为丫=

1

3

-X

3—80/+5040%,XE[120,144)

1当处理量工等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（)

-X2

2-200x+80000,xe[144,500]

A.120B.200C.240D.400

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2022春•让胡路区校级期中）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教

室内每立方米空气中的含药量y（单位：〃长）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过

程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=（3*-Q为常数），则（

)

A.当工>（）.2时，y=G）x-。」

B.当0WxW（）.2时，），=5x

13

C.三小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到O.25〃?g以下

JLO

23

D.而小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.0625〃甲以下

10.（5分）（2021秋•山西期末）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获

得的月利润〃G）（单位：万元）与每月投入的研发经费工（单位：万元）有关：当每月投入的研发经

费不高于16万元时，p（x）=-g/+6x—20,研发利润率y=^x100%.他们现在已投入研发经费

9万元，则下列判断正确的是（）

A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率

B.要再投入6万元研发经费才能获得最大利润

C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元

D.要想获得最大利润，还需要再投入研发经费1万元

II.（5分）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之

路.某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月

平稳增长，1,2,3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以

这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：干台）和月份x之间的函数关系,

有以下两个函数模型可供选择：

®f（x）=aXL+bx+c（aWO）；

②g（x）=pq'+r（q>0,夕Wl）.

如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（）

A.f（x）=0.Lr-0.1x+l.2

Y

B.g（A-）=0.1X2+0.5

C.选择f（x）作为模拟函数

D.估计5月份的销售量为4.2千台

12.（5分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放a（1W〃W4,且aeR）个

单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度），（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数

关系式近似为），=〃•"[,其中当（XW4时，32一1,当4<xW10时，/〃=5-标若多次投放，则

O-XZ

某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所稀放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣

液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.则下列结论正确的是（）

20

A.一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为二克/升

B.一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟

C.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的

浓度为5克/升

D.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效

去污

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2022春•温州期中）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温

度是7b,经过一定时间，（单位：加〃）后的温度是T,则7-ra=（T0~七）（/万，其中心称为环境温度,

h为常数,现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖啡降到37℃需要16〃〃力，那

么这杯咖啡要从37℃降到25℃,还需要min.

14.（5分）（2022•天河区校级三模）为了做好疫情防控期间（1勺校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，

室内每立方米空气中的含药量），（单位：亳克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释

放的过程中，与入•成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=（袤尸一。（。为常数），根据测

定，当空气中每立方米的含药量降低到2亳克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物科放开始，至少

4

需要经过小时后，学生才能回到教室.

15.（5分）（2U22春•河南月考）某景区套票原价30U元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种

优惠方案供选择：

方案一：若人数不低于10,则票价打9折；若人数不低于50,则票价打8折；若人数不低于100,则票

价打7折.不重复打折.

方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.

已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为元.

16.（5分）（2022春•如皋市期中）根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒.若从喷

（0.130<t<10

洒药物开始，教室内空气中的药物浓度y（亳克/立方米）与时间/（分钟）的关系为:y=工O.IJI七>10，

根据相关部门规定该药物浓度达到不超过0.25亳克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少

一分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过0.5亳克/立.方米并续8分钟以

上时，才能起到消毒效果，则本次消毒—效果（填：有或没有）.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2022春•吉林期末）政府为了吸引更多对环境保护的投入资金，拟发行“稳健型”和“风

验型”两种投资债券，根据长期收益率市场预测，投资“稳健型”债券的年收益），=/（%）与投资额x成

正比，其关系如图1；投资“风险型”债券的年收益y=g（x）与投资额%的算术平方根成正比，其关系

如图2.

（1）分别求出两种债券/（x）和g（x）的函数关系式；

（2）某企业预计拿出40万元资金，全部用于这两种债券投资，请问如何分配资金投入能使偷资获得最

大年收益，其最大年收益是多少万元?

18.（12分）（2022春•华安县校级期末）某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月

销售量。万件与月促销费用工万元（工，0）满足关系式Q=l。-普（人为常数），如果不搞促销活动，

人I4

则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5

万元，厂家将每件产品的销售价定为（6+3元，设该产品的月利润为），万元.（注：利润=销售收入・

生产投入-促销费用）

（1）将），表示为x的函数；

（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？

19.（12分）（2022•常熟市开学）某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进

行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金），（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加.

（1）某业务员的业绩为100Zi,核定可得4万元奖金，若该公司用函数y=/gx+履+1&为常数）作为奖

励函数模型，则业绩为200万元的业务员可以得到多少奖励？（精确到0.1）

（参考数据:^2^0.301,/g3=0.477）

（2）若采用函数），=哗票作为奖励函数模型，为了响应国家的纳税政策，业务员还需要上交业绩值

的1%作为个人所得税，求业务员纳税后获得最终奖金的最大值.

20.（12分）（2022•浙江开学）某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段的交通拥堵情况，经实地

调查、数学建模，得该路段上的平均行车速度I，（单位：km/h）与该路段上的行车数量〃（单位：辆）的

关系为:

600

n<9

p=n+10nGN•其中常数kER.该路段上每日t时的行车数量〃=-2（|/-I2|-5）2+10（）,

33000n>10

n2+k

©0,24）.

已知某日17时测得的平均行车速度为3kmlh.（注：3.16<710<3.17）

（I）求实数我的值;

（II）定义车流量（单位：辆knifh）,求一天内车流最4的最大值（结果保留整数部分）.

21.（12分）（2022春•芳城区校级期末）土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大

农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”