江西景德镇某中学2025-2026学年高一年级下册期中考试数学试卷+答案

江西景德镇一中2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知向量五二（一2,1）,坂=（3,2）,若（2a+Z?）〃a,fflx=（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

2.cosg+弹与以下哪个值相同（）

*、TT

A*.sian—31TB.—s•in—3C.cos—3nD.—cos—3n

5555

3.已知a=2,b=^-,<a,b>=则B在2方向上的投影向量为（）

A.-2aB.aC.—2aD.—3a

4.在△ABC中，D为线段BC上一点满足BD=3CD,则而等于

A.\AB-¥-ACB.-AB+-AC

3333

C.-AB+-ACD.-AB-V-AC

4444

5.已知函数f（x）=tan（①%+；）3>0）的最小正周期为2m则/（%）的对称中心为（）

A.―0）（kWZ）B.（/ur-：,0）（kWZ）

C.（2/cTT-pO）（/cez）D.（/cn-p0）（/ceZ）

6.已知扇形的周长为20,圆心角的弧度数是3,则该扇形的面积为（）

A.40B.20C.24D.12

7.已知3>0,函数/'(%)=sin(o)x+、)在(辟)上单调免减，则3的取值范围是()

A[叫B.(01C[1,1]D.(0用

8.记44BC的内角力,8,C的对边分别是a,瓦c,己知(a—c)(sin/l+sinC)+bsinB+asinB=

0,b+2a=4,CA=3CD-2CB,则线段CO长度的最小值为（）

A.-B.—C.2D.—

333

二、多选题

9.在△4BC中,卜列命题正确的是（

A.sin/4>sinB是A>B的充要条件

B.若siM力+siMB<siMC,则△力BC为钝角三角形

C.若sia4=cos8,则△A8C是直角三角形

D.若△力8C为锐角三角形，则sinA>cosB

10.如图所示，一半径为6米的水轮，水轮圆心。距离水面3米，已知水轮每60秒逆时针转动

一圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点儿）开始计时，点P距离水面的高度九（米）与时

间£（单位：秒）之间的关系为h=Asin（3£+w）+8（A>O,3>O,|0|vf,则下列说法正

确的是（）

A.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面3米

B.当水轮转动160秒时，点P距离水面3米

C.点P再次接触水面需要40秒

D.点尸距离水面的高度九（米）与t（秒）的函数解析式为/1=6$而（或亡一9+3

11.点。为△/BC所在平面内一点，且方？=%。？十、沅，其中与yCR,则下列选项正确的

是（）

A.当乃二y时，直线64必过边BC的中点

B.当乃=2,y=3时，AAOB与A40C的面积之比为3：2

C.若丽•历=0,K|^4|=\0B\=|0C|=1,贝Ij/+y2=i

D.若=|。矶=|0i?|=1,且x=y=L则09祝tg

三、填空题

12.已知8$戊=一［。为第二象限角，则tana的值为.

13.平面向量国与孩是单位向量，夹角为60。,那么，向量瓦、瓦构成平面的一个基.若G=z国+

y瓦，则将有序实数对（%,y）称为向量五在这个基下的斜坐标，表示为d=（居y）.设G=（1,-1）,

h=（2,1）.WJa•h=.

试卷第2页，共4页

14.已知函数/(x)=cos+；)(3>0),若方程［f(x)F=1在(0,3n)上恰有5个实数解,

则实数3的取值范围为.

四、解答题

15.已知向量之=(1,2),b=(l,-l),c=ka+b(k6R).

(1)若向量1与G-23垂直，求实数k的值；

(2)若向量日与族的夹角为锐角，求实数k的取值范围.

16.己知△力3c的面积记为S、△4BC内角力、8、C的对边分别为a、b、c,y［3AB-BC+2S=0.

(1)求角8

(2)若4c=3,且5=迪，求△力BC的周长.

4

17.如图，己知函数f(幻=4sin(3x+0)(4>0,3>0,0<0Vn)的图象与y轴交千点0,

与“轴交于点8和点C,DC=CE,|。0|=,已知点B,E的横坐标分别为一

263

⑴求/(%)的解析式及单调递增区间；

⑵将函数/(X)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变)，然后将所得图象向左平

移泞单位后得到函数y=g(x)的图象.若g(x)-m+120在%引用恒成立,求实数m的取

值范围.

18.已知函数/(%)=4cos(a>x+0)(4>0,3>0,0<@<n)的图象关于直线％=；对称，点

(0,1)在外幻的图象卜.，/(xj=0,/(x2)=A,口区一的最小信是会

⑴求/(%)的解析式

(2)已知函数g(x)=acos2r-2sinx+：(a>0)的最小值为一1；

4

①求Q的值；

②若对于任意的石eR,存在%2e卜式］，使得9。］)=时3)+2,求实数m的取值范围.

19.已知ab.c为△ABC三个内角48,。的对边，且c=5,b=6,a=7,线段8C边对应的高

为ADAABC的内心、重心、外心、垂心依次为点/、G、。、H.

(1)求△ABC的高力D的长度；

(2)若，B/4C的角平分线交8c于E,荏=6而+/?,求m,4的值

⑶欧拉线定理:设4A8C的重心,外心，垂心分别是G,。,”，则G,0,H三点共线，且丽=30G.

请合理运用欧拉线定理，求后•由的值.

试卷第4页，共4页

《江西景德镇一中2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BBADDCCAABDACD

题号11

答案ABC

1.B

【详解】已知向量&二=(%2),则2：十b=(-4十%4).

因为卜：+/?)〃；，所以(一4+%)X1=4X(—2),解得无=一4.

2.B

【详解】cosQ+Y)=-sin传).

3.A

【分析】根据投影向量的定义计算.

【详解】力在；方向上的投影向量为bcos<a,b>*=Wcos?•§=

\a\3622

4.D

【解析】利用向量加法的三角形法则、向量减法的几何意义即可求解.

【详解】而=而+而=而+3而=通+](前一通)

1■,■■■*3......*

=-AR+-AC.

44

故选：D

【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、减法的几何意义，属于基础题.

5.D

【分析】先利用正切函数的周期公式求出参数3,再根据正切函数对称中心的性质列方程求

解横坐标，得到/(%)的对称中心.

【详解】对于正切型函数f(%)=tan(tox+3)(3>0),最小正周期公式为7=%

已知最小正周期T=2TT,代入得E=2TB解得出=：,

0)2

因此函数为f(x)=tan(齐+胃

正切函数y=taniz的对称中心为GZ,

令整体打+：=WZ),解得打="一%即％=而一?，

2422Z4Z

答案第1页，共9页

因此/Xx)的对称中心为(kn-1o)(kez).

6.C

【分析】求出该扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.

【详解】设该扇形的半径为r,则该扇形的弧长为Z=3r,由题意可得Z+2r=5r=20,解

得r=4,

故该扇形的面积为S=1x3x42=24.

7.C

【分析】由不£gm)可求出3X+*的取值范围，根据函数/(外的单调性可得出关于3的不等

式组，由此可解得3的取值范围.

【详解】因为3>0,当工6(；刀)时，¥+?V3X+?<TT3+3，

\3/3666

因为函数/(无)=sin(3%+g在上单调递减，

所以售+9,1TO)+1)巾叱,2而+引(*),

(拳+注2kn+54

所以3:窘(kWZ),解得6A+1工3W2k+“k£Z),

(\neo+-6<2/cnH——2'

由6k+1<2/c+士可得k<—,

312

又因为3>0,所以2/c+g>0可得k>-g,即号

又因为kWZ,所以k=0,故1W34支所以3的取值范围是［1彳］.

8.A

【详解】由正弦定理，得［Q—C)(Q+C)+房+Q/J=0,即C?=小+〃+Q/J,

又由余弦定理，得COS。=c'=-A

弋2"ab-2

-*2r-*•*-*•

由而=+［至两边取平方，CD=(^CA+lCB)2=1CA2+^CB2+^CA^CB

=g匕2+g。2+gabcosC=g(b2+4a2-2ab)=1［(d+2a)2—6ab］.

因a>0”>0,b+2Q=4,WOCD|=1(16-6ab)

则由基本不等式可知4=b+2a>当且仅当力=2a时取等号，即得ab<2.

1-2

代入得卜。=*16-6ab)>1(16-6x2)=^,

答案第2页，共9页

即线段CD长度的最小值为半

9.ABD

【分析】利用正弦定理的边角互化和三角形边角大小关系可判断A；利用正弦定理和余弦定

理可判断B；利用正弦函数的图象及三角形内角的范围可判断C；利用正弦函数的单调性可

判断D.

【详解】选项A.在△A6C中，由正弦定理sinA>sinBa>b；

由三角形”大边对大角"得Q>b=/>8,因此sin/l>sin8是4>B的充要条件，A正确.

选项B.由正弦定理,sin2A+sin2F<sin2C=转化为小+62<。2,

则cosC=<0,B正确.

。2ab

选项C.因为sinA=cosF=sinQ-B）,所以4=1一8,即力+B=去△4BC为直角三角形；

或者力=口一《-/7）=］十O,此时A为钝角，△AOC不是直角二角形，C错误.

选项D.若△48。锐角三角形，则4+R即力>：一8,且力4一86（0弓）；

y=sinx在（（J,］）单调递增，因此sirr/1>sinR_8）=cosB,D正确.

10.ACD

【分析】利用题意求出点P距离水面的高度/i（米）与”秒）的函数解析式，逐项判断即可.

【详解】对于D选项，由题意可知4=6,hmax=4+A=6+d=9,所以B=3,

函数九=As\n（a）t+9）+B（4>0,3>0,|@|<的最小正周期为7=60,

故3*=铝奈所以仁6碗（恭+8）+3，

当t=0时，h=6sir）9+3=0,可得sin>=一5

又因为1例〈泉所以尹=一9所以h=6sin得一习+3,D对；

对于A选项，当t=50时，h=6sin（黑—。+3=6sing+3=-6+3=—3,

所以当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面3米，A对；

对于B选项，当£=160时，h=6sin一，）+3=6sin（g-：）+3=6sing+3=-3+

3=0,

所以当水轮转动160秒时，点P恰好在水面上，B错；

答案第3页，共9页

对于C选项，由九=6sin-§+3=0可得sin(^-^)=一｝其中0Vt<60,

则.太白上为所以黑一合》，解得"40,

o30oo30oo

故点P再次接触水面需要40秒，C对.

11.ABC

【分析】根据向量共线定理分析求解选项A,根据向量平行以及三角形的性质求解选项B,

根据向量的模以及向量的数量积的运算求解选项C,根据向量的线性运算以及向量的模的公

式判断选项D.

【详解】选项A.当％=y时，OA=xOB+xOC=x(OB+OC).

设N为8c中点，则+上=2加，

=2x0N,所以占与加共线、共起点。，故O,4N三点共线，直线。4必过BC中点，

A正确.

选项B.当x=2,y=3时，OA=2OB+3OC,则&-OC=CA=2[oB+Ocy

延长OB,OC到8',C',使得|OB|=\BB'\,\OC\=\CC\.

令晶=2(茄+辰则0=。京，AM=\AB'.

则四边形力MOC为平行四边形，则S-oc=S-OM.

3A/八»——3▲“八c，——3Aad.

7

°CC

面积比SMOB：S△?!"=

3:2,B正确.

2-»T।-♦.2

选项C.因为&=不而+疝:，所以函+2xyOB-OC+y2\OC\.

因为防左'=二OB=\oc\=所以

0,1,1:=x1+y2,C正确.

,22

选项D.当x=y=l时，OZ=OB+&7,进而=O'B\+2O%・o"+园，

则1=l+2O^・A+1,解得办•儿二一"

答案第4页，共9页

又BC=OC-OB,因此08=OB­(OC-OB)=OB-OC-\OB|2=-1-1=

D错误.

12.--

4

【分析】先根据a所在的象限，判断出sina的正负，进而根据同角三角函数的基本关系，利

用cosa的值求得sina,进而求得tana的值.

【详解】〈a为第二象限角，・・・sina>0

故答案为：—［

4

13.1/0.5

【详解】已知日=(1,一1).b=(2,1),则；=［一4，b=2)+/.

则；.I=值一动•(24+动=2-AE-同=1-同国cos60。=1-：=/

14.-<a)<—

99

【分析】由［fCOF=1可得f(x)=±1,根据题意确定k的取值范围，进而得到3的取值范围.

【详解】由［/(切2=1得052(3%十日)=1,即COS(3X十日)=±1,进而3X十日二仙(4WZ).

(：•500

已知％W(0,3n),>0,因此COX+；W(；,33TT+)

因为函数在区间上恰有5个实数解，所以满足不等式的整数k恰好有5个.

因此5n<3WTT+-<6TT,解不等式得"<o)<-.

399

即3的取值范围为

15.(l)k=：

(2)k<0或0<k<2

【分析】(1)利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算列方程求解参数上

(2)先根据数量积大于。列出不等式，再排除向量同向共线的情况，得到参数k的取值范

H

【详解】(1)c=ka+h=(kA-1,2k-1),a-2h=(-1,4)

答案第5页，共9页

c-(a-2b)=0,-(/c+l)+4(2k-1)=0,解得k=/

(2)若向量3与[的夹角为锐角,则落1>0且不与5不同向共线,

•••k+1—(2k-1)>0且一(k+1)工2k—1,解得A<2且A丰0,

k<0或0<kV2.

16.⑴

(2)372+3

【分析】(1)利用三角形的面积公式以及平面向量数量积的定义可求得tanB的值，结合角8

的取值范围可得出角3的值；

(2)利用三角形的面积公式可得出ac的值，结合余弦定理可得出Q+C的值，由此可得出△

力8C的周长.

【详解】(1)因为而•近+2S=0,HP2S=-V3AB-BC=V3BC-BA,

即2x^acsinB=y/3accosB,即sinB=V3cosB>0,所以tanB=V3>0,

因为B€(0m),故B=(

(2)因为S=[acsinB=3QC=所以QC=3,

244

又因为b=AC=3,由余弦定理可得力2=a2+c2—2accosB=a2+c2—ac=(a+c)2—

3ac=(a+c)2-3x3=9>

解得Q+c=3&,故卜力BC的周长为Q+b+c=3+3&.

17.(1)/(%)=sin(2%+1),[/cir-^,kn+^](/c6Z)

(2)m<1-y

【分析】(1)利用向量中点性质求出周期，进而得①；再代入已知点求8和4最后解不等

式求单调递增区间；

(2)先通过伸缩、平移变换得到g(x),再将恒成立问题转化为求g(x)+l的最小值，进而

得到m的取值范围.

【详解】(1)由己知可得。为的中点，则。点横坐标为噂二3

>.TT/Tt\Tt_2TT„

从而一=—(—)=-=/=n=—=3=2.

23x6/2co

将3(—：,0)代入/(%)=i4sin(2x+@)得Asin(2•(—看)+卬)=0,

答案第6页，共9页

即sin(0—g)=O,结合0V9V",可知0=g.

另外/(0)=4=4s呜=曰=A=1,从而/'(x)=sin(2x+；).

由2/CTT—<2.x+:W2kit+2=上冗-<x</cn+展,kE7.,

因此f(%)的单调递增区间为[而一意,5+总(kGZ).

(2)由已知得g(x)=sin(4(%+：)+；]=sin(4%+y)=-sin(4x+

又g(x)-m+l>0在％G[9,恒成立，即m<g(x)+1恒成立，因此m<[g(x)4-l]min.

由于％6[*]=m44%+；Wg,得-1Wsin(4%+§>苧,即——+1Wg(%)+1W2,

由mW[g(x)+l]min，可得mil-李

18.(1)/(x)=2cos(2x+

(2)①4；②mW-：或m23

4

【分析】(1)根据余弦函数的对称性、周期以及最值求解可得.

(2)①利用换元法，结合二次函数的性质求解即可；②结合三角函数值域应用二次函数值

域分类讨论求解.

【详解】(1)-=-=>?=7T=—=>0)=2.

440)

/TT\2nTT

cos(2x—4-=±1=>—+</?=kn,0<(p<TI,•"­(p=—>

。J。

/(0)=Acoscp=1=>/I=2,•••/(x)=2cos(2x4-g).

(2)①g(x)=a(l-sin2%)-2sinx+-=-asin2x-2sinx+-a.

44

设£=sinxG［-1,1］,^(x)=/i(t)=-at2-2t+a,va>0,.•.抛物线开口向下，

对称轴为t=--a<0»

结合二次函数性质知，g(£)min=九(t)min=MD=-。-2+；。=-1=。=4.

②问题等价于g(x)的值域是y=mfM+2值域的子集.

由①g(x)=八Q)=-4t2-2t+5,tG［一1,1］可得以%)的值域为卜1,曰］.

u66

设〃=2x+；,,•,x2G-d;f(x)

答案第7页，共9页

—m+2W—1

当m>0时，mf（x）+2E[—m+2f2m+2],・,•?9>21=>m>3.

4

（2m+2<—113

当m<0时，m/（x）+2e[2m+2,-m+2],:.,2i=>TH<.

~~ill-"T"9乙W'4

4

综上，血工一号或771工3.

4

19.⑴竿

（2）"Q=V

（3咛

【分析】（1）首先利川余弦定理求出cos4,进一步求出sin4再利用正弦定理和三角形面

积相