浙江省某中学等校2025-2026学年高二年级下册3月阶段练习数学（解析版）

高二数学试卷

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线怎-y+i=°的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】设直线石大一），+1=0的倾斜角为a,

由题可知，直线），=&+1斜率为6,则lana=G，

又0。4。＜180。,

所以直线V3x-y+l=0的倾斜角是60。.

2.已知｛a』?,c｝为空间一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）

A.+/?,Z?4-c»a—cB.a+2b，b,a-c

C.2。+力，/?+2c，a+h+cD.a+c,b+2ab-2c

【答案】B

【解析】

【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得.

【详解】对于A,因B+c=（4+〃）一（。一c）,即Z?+c,a+/2,a-c共面，故A不合题意；

对于B,因给，b,a-d其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故a+2b，b,。一。不共

面，即B符合题意；

对于C,因〃+23=2（4+5+d）—（2。+%）,BP2a4-b»b+2c»a+/2+d共面，故C不合题意；

对于D,因〃+2。=(〃-2c)+2(a+c),即a+c,b+2a，/?一2c,共面，故D不合题意.

故选:B.

3.已知随机变量X服从正态分布N（2,b9,且P（X>3）=\,则P（X>1）=（）

I1C25

A.—B.-C.-D.一

6336

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果.

【详解】根据题意可得，P（X>3）=P（X<1）=^,

则p（x>i）=i-2（x〈i）=」=3.

66

故选:D

4.已知双曲线C：x2-y2=4,其一条渐近线被圆（X—2『+./=4截得的弦长为（）

A.1B.2C.72D.2X/2

【答案】D

【解析】

【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离结合圆求弦长即可.

【详解】双曲线C：工2-）,2=4的渐近线方程为工±）,=0,

圆（工一2）2+_/=4,圆心（2,0）,半径2，

因为双曲线与圆都关T-A-轴对称，

故取其中一条渐近线x+y=0,

2

圆心（2,0）到x+y=0的距离d==x/2,

故所求的弦长为2J”后=2y12.

5.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有（）

A.720B.360C.240D.120

【答案】C

【解析】

【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.

【详解】先将甲、乙两人排成一排共用=2种排法，将甲、乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成

一排，共有大=120种，所以甲、乙两人在一起的不同排法共有2x120=240种排法.

故选：C

6.已知圆C：（x—2『+（），+l>=9,直线/：k.x-y+3-2k=（）,设尸为圆。上的一动点，则。点到直

线/的最大距离为（）

A.4B.5C.7D.13

【答案】C

【解析】

【分析】先求得圆心到直线的最大距离d,再根据圆周上的点到直线距离的最大值为d+尸即可求解.

【详解】由题意得圆心C（2,-1）,半径为3,

因为直线/：%（x—2）—y+3=0,所以直线过定点（2,3）,

数形结合可知，圆心C到直线/的最大距离d=J（2-2）2+（-l-3）2=4，

所以。点到直线/的最大距离为4+3=7.

7.已知函数=在x=l处取得极大值，则。的值是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

H耕斤】

【分析】由尸（1）=0求出。的值并检验“X）的极值点即可.

【详解】函数/(x)=x(x-o)2,^f\x)=3x2-4ax+a\

/(x)在x=l处取得极大值，则芍/'(1)=3—4〃+/=0,解得。=1或々=3,

当〃=1时，/'(x)=3%2—4x+1,

解得或x>l；/'(x)vO,解得:<x<l,

33

(1、(\\

则f(x)在-8G和(1,+8)上单调递增，在-J上单调递减，

VJ7VJ7

/(X)在X=1处取得极小值，不合题意；

当〃=3时，/'(X)=3f—12x+9,

r(x)>0,解得X<1或x>3；r(x)<0,解得1<X<3,

则f(x)在(-8,1)和(3,+8)上单调递增,在(1,3)上单调递减，

/(X)在x=l处取得极大值，满足题意，所以。=3.

8.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，前〃项积为乙，则下列选项中正确的是()

A.若S2026>52025,则数列｛q｝严格增

8.若《026>《02，，则数列｛4,｝严格增

C.若数列｛S,｝严格增，则.26?々025

D.若数列｛7；｝严格增，则。20262%必

【答案】D

【解析】

【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列｛7；｝是单调递增可证得q>1,4之1,,进而可判断D

项.

【详解】设等比数列｛q｝,“¥。，夕工()，

对于A,由§2026>$2025,得^2026—1^2025>°，则。2026>°，即。闯>。,

所以当卬二一1国=一2时，满足邑。26>Szms,但｛%｝不是单调递增，故A错误；

对干B,由5026>5025，得(026一4025>°，则n025(%026-1)>°，

所以当4=-1国=-5时，满足

+1>0,满足

弓6>《025,但｛%｝不是单调递增,故B错误;

数列｛5〃｝单调递增，但生026<^2025，

故C错误；

对于D,由数列｛7；｝是单调递增，则所以1>0,故?>1,

ln-\

即%所以"21,且q>。，

又因为生026=%/%生必=〃a2°24,所以咏二乡之1，即“2026之外。25，故D正确.

-2025

故选:D

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.若C[2=c],则％的值为3或2

B.若数据玉，%，七，…，%的标准差为一则2%，29，2项，…，2%的标准差为2s

C.二项式jx—_L]的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等

IX）

D.若5名教师分到4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，则分配方法有480种

【答案】AB

【解析】

【分析】根据组合数性质解方程判断A：根据数据方差的计算性质，以及标准差的概念判断B；根据二项式

定理写出展开式，利用二项式系数的定义判断C：按照先分组再分配的方法，结合排列组合公式，即可求解

判断D.

0<3x-2<102

【详解】对于A,由组合数的性质可得〈八，.八，解得二WxW4,

0<x+4<103

又C：；2=c］，所以x+4=3x—2或X+4+3X—2=10,解得x=3或x=2,正确;

-1白

对于B,设数据…,X”的平均数为1=一2七,

八i=i

1n1n

则数据2%,2%,2天,,2x“的平均数为7g（2玉）=2自斗=2x,

义…，

由数据不，/，工3,…，/标准差s=

n1=1

,2xn的标准差为《£（2%一2可2=3（为_才=2s,正确;

则数据々王二为必刍,

\6

1

对于C,由二项式的展开式为1%=C"6f

X）

则第二项的二项式系数为C；=6,第四项的二项式系数为C：=20,错误;

对于D,由题意可知，5位教师的分组情况为21,1.1的分组，再分配到4所学校,

所以分配方案有文萍CxA：=240,错误.

10.已知函数/⑴二9一〃苏+1,则下列结论中正确的是（）

A.有两个极值点

B.当初二一1时，/（幻在（0,+8）上是增函数

C.当〃=1时,/（X）在［-1,1］上的最大值是1

D.当〃7=3时，点（LT）是曲线y=/（x）的对称中心

【答案】BCD

【解析】

【分析】求函数/（X）的导函数，根据极值点的定义判断A,结合导数判断函数的单调性求最值，判断B,C,

结合奇函数的定义判断D.

【详解】因为r⑺=

所以/'(x)=3x2-2mx=x(3x-2m),

当m=0时，/r(x)=3x2^0,当且仅当x=()时，f'(%)=0

函数/(X)在(y,48)上单调递增，

函数/(x)没有极大值点也没有极小值点，A错误；

当〃2=-1时，/r(x)=x(3x+2),

当上£(0,+8)时，r(x)>0,函数“X)在(0,+力)上单调递增，B正确;

当加=1时，f,(x)=x(3x-2),

令r(x)=。可得,工=。或“二二,

3

当问-1,0)时,r(x)>0,函数“X)在［—1,0)上单调递增，

当K£(0,g)时，/'(九)<0,函数/(工)在(0,：)上单调递减，

(2~］(2-

当了£-,1时，/'(刈>0,函数/(x)-J上单调递增，

13」3-

又/(())=1,/(1)=1

所以函数〃力在［-1,1］上的最大值为1,C正确;

当m=3时，/(X)=X3-3X2+1,

/(X+1)=(X+1)5-3(X+1)2+1=X3-3X-1,

设g(x)=〃x+l)+l,

则g(x)=x3-3x,g(-x)=-x3+3x=-g(x),

所以函数8(人)=/(4+1)+1为奇函数，

所以函数g(x)的图象关于原点对称，

所以函数”X)关于点(1,-1)对称，D正确.

故选：BCD.

11.已知抛物线C：_/=4工的焦点为产，C的准线/与x轴交于点K，过K的一条直线与C交于A，B

两点，过A，8作/的垂线，垂足分别为M,N,则（）

A.准线/的方程为x=-lB.NFMK=NFMA

C.直线E4与总的斜率之和为0D.AA斯与,/的面积相等

【答案】ACD

【解析】

【详解】解：选项A,由抛物线的定义知，x=-\,选项A正确；

选项B,因为AW//X轴，所以NMFK=NBV14,

若/FMK=NFMA,则=

即|MK|=|/K],显然该等式不一定成立，故选项B错误；

选项C,设A（x，y）,3（电,%），且

由题意知，直线A3的斜率一定存在，且不为0,

x=nj-1,

设其方程为上=）-1,联立《,A,消去X得，/-4^+4=0,

y~=4x

因为直线与抛物线有两个交点，所以△=（-4r）2-4x4=l6/2-16>0,

即：/>1，得：或，<一1,当，=±1时，x]=x2=\,

所以玉工1,且9>1>不，

由韦达定理知；,+%一小，％必一4,所以"尸+〃*=27+』7

X1—I-1

(xf-l)(x2-l)(A;-1)(X2-1)

()1+7>)仕乂必一114/.|1.4-1

=3，14力吐J二(4J=0,故选项C正确；

(%-1)(42T)(X-1)(工2-1)

选项D,AABF面积

S\=SBKF-S,AKF=^\KF\-\yl-必卜;2|y-%|=E一刃，

&MNF的面积$2=g|Kb|・|MN|二g♦2•|MN|=\MN\=|y,-刃,

所以AABf与「MN/的面积相等，故选项D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

10

12.二展开式中常数项为.

x

【「案】45

【解析】

10-5，10-5r

【分析】求得二项展开式的通项[用=（_]）'C；o3k，令=0,即可求解展开式的常数项，得到

2

答案.

[1l0-5r

【详解】由题意，二4的展开式的通项为心=c*«）g（—e）'=（-1）‘Co-k

X）X

令肾£=0'得—2'

可得二=（一1）2<^=45,即展开式的常数项是45.

故答案为：45.

13.若P(A)=LP(A|B)=-,P(B|A)=-,则P(A+B)=

234

3

【答案】-

4

【解析】

【详解】因为P(冏则P(AB)=P(⑶A)xP(A)=：x：=：

428

又因为咱⑻二还，则9)=#=、3=。

V1；P(8)」P(A忸)88

1313

所以P(A+4)=P(A)+P(3)-P(A3)=5+——=-

丫22|

14.已知点/>在双曲线c：]■一彳=1（〃>o,〉o）上，2到两渐近线的距离为4,人，若44«510Pl

恒成立，则C的离心率的取值范围为.

【答案】（1,0]

【解析】

【分析】设双曲线上的点P（%,%），可得从焉-。飞二〃％2,利用点到直线的距离公式可求得

2

—"TTP由44尸/恒成立可得/之b,从而可求得离心率的取值范围.

【详解】双曲线c：I—与=1（。>0，8>0）的两条渐近线的方程为版-纱=0和辰+町=0,

a~b~

点P（x。，No）到两条渐近线的距离之积为4W=。：叫•^==，

yja+b~\Ja+b~

而d&<；|OP『恒成立，又因为口可的最小值为”,

故只需卜又点〃（题，兄）满足双曲线的方程，

a2+b22

b2x^-a2y^=a2b2,“JJ/,即/>〃，

a~+b~2

则。的离心率e=£=J1+2.（夜，.•.1<04血.

aNa~

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝和等比数列｛〃｝满足，4=2也=1,%+。3=1°也4=-4.

（1）求数列｛q｝,也｝通项公式

（2）设数列｛q｝中满足C”=/+〃,，求和G+C3+C5++C2n-l

-，

【答案】（1）%=2*bn=（-2f

【解析】

【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式;

（2）由（I）得数列｛6｝的通项公式，然后利用分组分解法可求和.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为，/,等比数列｛2｝的公比为4,

则〃2+。3=4+d+4+2〃=4+34=10,解得d=2,

an=4+(〃-1)4=2+2(〃-1)=2〃,

1例=b、qb、q2=q'=-a4=-8,解得q=-2,

.也=M”T=(—2)T

即%=2〃，"=(一2广；

【小问2详解】

由⑴得%=2〃+(-2广，

二q+。3+%+.+。2〃_1=(4+%+一+%，i)+(4+4+…+4〃-1)

-，“)」(2+4〃-2)1-(-2产4”1

2\-q221-(-2)233

16.如图，在四棱锥夕―A笈8中，平面ABC。，AB//CDKCD=2,AB=1，8c=2五，%=1，

AB±BC,N为。。的中点.

（1）求证：AN〃平面PBC；

（2）求平面24。与平面P3C所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得AN〃平面P8c.

（2）利用向量法求得平面尸AO与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【小问1详解】

过A作AEJ-CO于点七，则。石=1,AE-LAB^

由于Q4J_平面ABC。，A氏AEu平面4BCO,所以B4_L48,H4_L4E,

以A为原点，A£AdAP所在的直线分别为x，）'，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,5（0,1,0）,E（2x/2,0,0）,D（2V2,-l,0）,C（2>/2,l,0）,P（0,0,l）,

因为N为尸短的中点，所以N15,-g,g）

所以AN=（加,-g,2=（0,-1,1）,60=卜5/10,0）,

/、[/w•=-y+z=0

设平面P3C的法向量为"z=（x,y,z）,贝i"厂,

/n-BC=2x/2x=0

令y=1,则x=0,z=1,

所以平面PBC的法向量为加=（0,1）,

IR皿M11uuuU

因为4汽-加二一耳+,二。，所以AV_L〃?，

乂因为AN（X平面PBC,所以AN〃平面PBC.

【小问2详解】

由（1）知，AP=（O,O,l）,A£>=（2>/2,-l,O）,平面08c的法向量为m=（0」/），

n•AP=c=0

设平面的法向量为〃=（«〃,c），则

n-AD=2\[2a-Z?=0

故可设〃=(1,2加,())，

/\mn25/22

所以"‘e‘〃''丽"万工="

故平面PAO与平面PBC所成锐二面角的余弦值为-.

3

17.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖

一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同口勺小球（其

中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优

惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10

个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，

每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率：

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

【答案】（1）J个；盘）选择第一种抽奖方案更合算•

14400

【解析】

【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率：

（2）选择方案一，计算所付款金额X的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z的数学期

望值，比较得出结论.

【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，

C31

设顾客享受到免单优惠为事件A，则P（A）=k=j^，

Go12U

所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P（A）-P（A）=岛5；

（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、600、700.1000.

P（X=0）=-^-=—,P（X=6（X））=^-=—,

\7120140

尸2700）=等吟,P（X=1000）=1=^

故X的分布列为,

X06007001000

17217

P

120404024

72171

所以E（X）=0x面卜600x—+700x—4-lOOOx—=764-（元）.

4040246

若选择方案二，设摸到红球的个数为y,付款金额为z，则z=iooo—2ooy,

(3139

由已知可得y--外3,mJ,故石(y)=3xm=而，

所以E(Z)=E(1000—200y)=1000-200E(y)=820(元).

因为E(x)<E(z),所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.

【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项

分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中

等题.

18.已知函数/(x)=xlnx-x.

(1)求/*)在x=l处的切线方程；

(2)若/")之〃a一匕2对任意的xe(0,+8)恒成立，求实数〃?的取值范围；

(3)若/是函数〃(x)=/(x)+V的极值点，求证：〃xo)+3xo>0.

【答案】(1)y=-l：

(2)w<2：

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)由参数分离整理不等式，并构造困数，利用导数求得新函数的最值，可得答案；

(3)根据极值点与导数的关系，可得极值点的取值范围以及等量关系，整理所证的不等式，可得答案.

【小问1详解】

函数/0)=xlnx-_r,求导得r(x)=lnx,则/'(1)=(),而/⑴=-1,

所以函数/(幻的图象在X=1处的切线方程为y=-1.

【小问2详解】

,,e2

不等式f(x)>nvc-e2<=>xlnx>//tv-e2<=>/??<Inx-l+—,

x

2

令g(x)=lnx-l+—e，依题意，加对任意的人£(0,住)恒成立，

X

122

而g'(x)=——二二入：，当Ovxve?时，g'(x)<0；当x>e?时，

x

函数g(x)在(Od)上单调递减，在(e\+CQ)上单调递增，g(x)*n=g(C?)=2,则〃?K2,

所以实数机的取值范围是m<2.

【小问3详解】

依题意，〃(x)=xlnx-x+F,求导得〃'(x)=lnx+2x,令夕(x)=〃(x),

2r+l

求导得(p\x)=----->0在(0,+如上恒成立，

X

则函数方。)在(0,+8)上单调递增，由％是函数h(x)的极值点，

得力'(%)=0,即In%=-2%,由/7'(1)=2>0,则0</<1,

所以/5)+3/=/Inx()-xi)+3x()=-2x：+2x0=2x0(l-%0)>0.

19.已知椭圆。：，+，=1(。〉人>0)的离心率为平,48分别是椭圆。的右顶点，上顶点，且

\AH\=x/io.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P(3,l)的直线/与椭圆C交于M,N两点，其中点M在第一象限，点N不在轴上，设直线

8M,以V的斜率分别为附友.

11

(i)求证:1+二为定值;

(ii)设直线AM与x轴交于点T,求，BNT的面积S的最大值.

【答案】(I)—+y2=l

9-

(2)⑴证明见解析；(ii)3>/2+3.

【解析】

【分析】(1)由椭圆离心率6=工和|A8|二屈得出椭圆方程；

a

(2)(i)先设直线/的方程，并与椭圆方程联立得到关于X的不等式，再由韦达定理得出结论：(ii)先由直

线与8V的斜率关系得到的面积等于2倍的48AN的面积，故问题转化为求一8AV面积的最大

值；因为|A8|=Ji6,由三角形面积公式，只需求出点N到直线A3的距离〃的最大值即可；当过点N且

与直线48平行的直线/'与椭圆C相切时，d取最大值，由/'与椭圆C相切求出直线/'的方程，再由两平

行线间距离公式得出d的最大值，最后得出结论.

【小问1详解】

因为椭圆C的离心率为逆，

3

所以£=口口，即《2=§。2：

a39

因为|ABl'cJ