巩固练01 三角形的证明-八年级数学（北师大版）（解析版）

巩固练01三角形的证明

一」假期I

一、单选题

1.（•山东初二期末）如图已知/胡C=100。，AB=AC,AB、/C的垂直平分线分别交8C于。、E,则ND4E=

（）

【答案】C

【解析】

试题分析：根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出/8=NC=40。，根据线段垂直平分线得出

BD=AD,AE=CE,推出/8=/比40=40。，NC=NC4E=40。,即可求出NO/瓦

解：VZBAC=100°,AC=AB,

:.NB=/C=±（180°-ABAC}=40°,

2

,:DM、EN分别是边力8和4C的垂直平分线，

/.BD=AD,AE=CE,

•••/B=/BAD=40。,/C=/CAE=40。,

:.ND4E=lQ0。-40°-40°=20°,

故选C.

点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线等知识点，注意：线段垂直平

分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角.

2.（■湖北初二期末）如图，△"（：'中，AB=AC,高BD、CE相交于点O,连接力。并延长交4c于点兄

则图中全等的直角三角形共有（）

C.6对D.7对

【答案】C

【解析】①根据等边对等角得：ZABC=ZACB,由高得：/4OC=NCE4=90。，所以

利用4/S可证明全等；

②△BEgXCDO,加上对顶角相等，利用力/S可证明全等；

③AAEOg4ADO,根据“7/可证明全等：

④△力斯丝△4CE,根据S4s1可证明全等；

⑤AbO/经△CO尸，根据等腰三角形三线合一的性质得：BF-FC,々AFB-/AFC,利用S4S可证明全等;

⑥△408g△49C,根据"S可证明全等；

⑦△ABD%AACE,利用力力S可证明全等.

【详解】解：有7对全等三角形：

①△BDC/4CEB,理由是：

*：AB=AC,

・•・NABC=NACB,

•:BD和CE是两腰上的高，

：,/BDC=/CEB=90。,

4BDC=/CEB、

在公BDC和ACEB中，,Z.ACB=Z.ABC,

BC=CB,

:•△BDgACEB(AAS),

:.BE=DC,

②△BEOg/XCQO,理由是：

乙BE0=4CD0,

在八8EO和ACDO中，-ZBOE=ZCOD,

BE=CD,

•••△6EO妾△COO(AAS),

③4AE(运4ADO,理由是：

由ABEO0△80得：EO=DO,

AO-AO,

在Rt^AEO和RtLADO中，〈「八八八

EO=OD,

J.Rt^AEO^Rt^ADO(HL),

：,ZEAO=/DAO,

④△AB04ACF,理由是：

AB=AC,

在乙48尸和zUC/中，＜/EA0=ND40,

AF=AF9

:.△AB&AACF(SAS),

@^BOF^/\COF,理由是：

'：AB=AC,/BAF=/CAF,

:・BF=FC,/AFB=/AFC,

OF=OF,

在么8。歹和ACO歹中，Z.AFB=ZADC,

BF=FC,

:ZOF@4COF(SAS),

⑥△力。8g△40C,理由是：

40=40,

在和MOC中，,4BA0=/CA0,

AB-AC,

:,小AOB”丛AOC(SAS'),

⑦，4BD"4ACE,理由是：

ZABD=/AEC,

在和△/JCE中，,/B4D=NCAE,

AB=AC,

:.△ABDgAACE(JJS).

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法

是关键，要书写三角形全等时要按顺序书写，才能做到不重不漏.

3.（•上海初三专题练习）如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是

（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.斜三角形

【答案】B

【解析】本题根据已知条件可以通过讦明二角形全等得出二角形的形状,注意：有效利用“等角对等边”.

:./BED=/DFC=90。,

•:在&BDE和aCO凡

BD=CD,DE=DF,

:・\DBE94DFC（HL）,

・・・N8=NC,

：.AB=AC,

・•・这个三角形一定是等腰三角形.

故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定；解题中两次运用了全等三角形的判定与性质及等量加等量和相等是

比较关健的.

4.（•全国初三专题练习）R/A48C中，ZC=90°,N8=46°,则N/=（）

A.44°B.34°C.54°D.64°

【答案】A

【解析】

解：VZC=90°,N8=46。,AZJ=90°-46°=44°.故选A.

5.（•新疆兵团第一师阿拉尔中学初二期末）在A/IBC中，若NH+NB—NC=0,则△48。是（）

A.直角三角形B.锐知三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【解析】由三角形的内角和定理，求出NC的度数，即可作出判断.

【详解】解：・・・N4+N8—NC=。，

:.NA+NB=NC,

•・•ZJ+ZB+ZC=180°,

・•・/C=90°.

・•・△/AC是直角三角形；

故选择：A.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是正确求出NC的度数，是一个基础题.

o6.（•河南初二期中）如图，AC=AD,BC=BD,贝I」（）

A.44垂直平分C。B.C。垂直平分48

C.CO平分N/CBD.以上结论均不对

【答案】A

【解析】利用SSS证明可得NC44=ND48,利用等腰三角形三线合一的性质可得结论.

【详解】解：♦:AC=AD,BC=BD,AB=AB,

:.△ABCWAABD（SSS）

:"CAB=NDAB,RAC=AD,

・・・/8垂直平分CQ,

故选：A.

【点睛】本题考杳全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形三线合一的性质，利用等腰三角形三线合一

判定中垂线是关犍.

7.（•江苏初二期中）如图，ZUAC中，D为BC上一点,的周长为12cm,是线段4c的垂直平分

线，4E=5cm,则。的周长是（）

B

D

A.17cmB.22cmC.29cmD.32cm

【答案】B

【解析】

试题分析：因为是/。的垂直平分线，所以力。=6,AE=EC,而4E=5C7〃，所以

AC—\0cm.而=N8+8C+/C,C^ABD=ABBD+AD=AB+BD

+CD=AB+BC,所以C△力BC=C2U3D+/1C=12cm+1Ocm=22cm

考点：垂直平分线性质

点评：本题着重点在于求出4。=。。，即利用垂直平分线的特殊性质

8.（•贵州初二期末）如图，在A48c中，AF平分4BAC,4C的垂直平分线交8。于点E,ZZ?=60°,

NC=30。，则/汽/£＞为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【解析】根据题意，先求出N8力C=90。，贝I」得至叱。尸=45°,由垂直平分线定理，得到/£W=NC=30。，即

可得到NE4E.

【详解】解：在A46C中，N8=60°,ZC=30%

・•・/BAC=\80°-60°-30°=90°,

VAF平分NB4c,

：.^CAF=-ABAC=-x900=45c；

22

•・•£）£垂直平分力C,

：.AE=CE,

・•・Z£JD=ZC=30°,

・•・NFAE=ACAF-/CAE=45°-30°=15°；

故选：B.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练学

握所学性质定理进行解题.

9.（•广东初二期末）如图.40是的角平分线,_L4R,垂足分别为点RDE=DG,若人4DG

和XADE的面积分别为50和39,则\DEF的面积为（）

A.11B.7C.5.5D.3.5

【答案】C

【解析】作。M=OE交/C于M,作QNJ_/C,利用角平分线的性质得到DY=OE将三角形ED/7的面积转

化为三角形DNM的面积来求.

［详解】作DM=DE交力C于M,作DNLAC于点N,

:.DM=DG,

•・N。是ZUBC的角平分线，DF1AB

:.DF=DN,

在Rt^DEF和RsDMN中，

DN=DF

DM=DE'

・•・R於DEFWRl&DMN(HL),

•・•&ADG和的面积分别为50和39,

.•・SAMQG=SA/QG-SZUDW=50-39=11,

11

SdDNM=S〉EDF=-S〉MDG=-xl1=5.5.

22

故选C.

【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线

10.（•天津初二期中）如图，△力水？中，ZC=90°,4Q邛分N84C,过点D作DEL/B于E,若OC'=4,

【答案】C

【解析】先根据角平分线的性质，得出。石=OC,再根据。。=4,即可得到OE=4.

【详解】解：VZC=90°,4D平分NB力C,DELAB于E,

:・DE=DC,

VPC=4,

:.DE=4,

故选：C.

【点睛】本题考查角平分线定理，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题关键.

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.（■广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初二期中）若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三

角形的顶角为.

【答案】50。或80。

【解析】先知有两种情况（顶角是50。和底角是50。时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和

定理即可求出顶角的度数.

【详解】如图所示,

△4BC中，AB=AC,

有两种情况：①顶角N4=50。；

②当底角是50。时，

—B=AC,

・•・NB=NC=5（）。,

,:N4+N4+NO180。，

・•・Z^=180o-50°-50o=80°,

・•・这个等腰三角形的顶角为50。或80°.

故答案为50。或80°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分

类讨论是解答此题的关键.

12.（•山东初二期末）下列四组数:①5,12,13:②7,24,25:③1,2,4:④5,6,8•其中可以作为直角三角

形三边长的有（把所有你认为正确的序号都写上）

【答案】①②

【解析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：加+按=°2时，则三角形为直角三角形，

据此可解本题.

【详解】解：①52+122=132,能构成直角三角形；

②72+242=252,能构成直角三角形；

③P+22即，不能构成直角三角形：

④52+62#2,不能构成直角三角形，

所以可以作为直角三角形三边长的有①®,

故答案为：①②.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，

确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

13.（•全国初三专题练习）如图，在A46。中，ZC=90°,AC=BC,BD平分乙4BC交AC丁点D,

DE1AB于点E.若4B=1Ocm,则\ADE的周长为cm.

【答案】10.

【解析】依题意可证则有。E=QC,BE=BC,故

DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB,再根据AB长即可得出结论.

【详解】•:BD平分NABC交AC于D,DEL1B于E,

:./DBE=/DBC,N8EO=NC=90。，BD=BD,

:.△BDEQABDC(AAS),

：.DE=DC,BE=BC,

・•・dADEm^=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE-AE=AB=\Ocm.

故答案为：10.

【点睛】此题考查角平分线性质，全等三角形的性质运用.解题关键是根据性质得出相等的线段，再将周

长进行转化.

14.(,河北初二期