湖北武汉市某高中2025-2026学年下学期中测试高二数学试卷（解析版）

湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高

二数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若〃为正整数，则(〃+4)(〃+5)…(〃+2026)等于()

A.A]。％B,A晨6C.A±急D.A：鼠6

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合排列数的计算公式，即可求解.

【详解】由A：噱26=(〃+2026)(〃+2025)…[6+2026)—2023+1]

=(〃+2026)(〃+2025)…(〃+4).

2.设lim/(2+F)―/(2)__],则曲线歹二/、(x)在点(2,/(2))处的切线的斜率为()

-2Ax

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，利用导数的定义，得到/'(2)=-2,结合导数的几何意义，即可求解.

【详解】因为Hm”2+©)一/⑵一,可得".AM⑵7

AJ02AJVAX

根据导数的定义，可得/'(2)=[巴J0+个一〃2),所以/⑵=_2,

所以曲线》=/")在点(2,/(2))处的切线的斜率为—2.

3.己知数列｛%｝是等比数列，S,为前〃项和，若％十的十。3=3,%十%十。6=9，则$9=()

A.39B.36C.27D.12

【答案】A

【解析】

【详解】设数列｛见｝的公比为0,

又因为ax+a2+a3=3,&+牝+恁=9,

3

所以53=一3,贝」|&7十%十%=aA+a54abq=9x3=27,

因此S9=q+%+%+(+牝+网+%+%+为=3+9+27=39.

4.2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”.把这5个“星星人”装入3

个不同的盒内，每盒至少装一个，共有()种不同的装法.

A.180B.150C.100D.90

【答案】B

【解析】

【分析［根据题意，先把5个“星星人”按11,3和2,2/两种方式分组，再进行全排列，即可求解.

【详解】把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：

①按1J3分组：先从5个中选3人为一组，剩下的2个各成一组，

A25x4

可得不同的分组数为C^=c；=-f=—=10；

)/xi

②按2,2』分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为-一组，最后1个为一组，可得不同

10x3

的分组数为手工==15,

A/JKZ1

最后分配到3个不同的盒内，共有(10+15)x6=150种不同的装法.

5.已知函数/Cr)=2e'+a(x-4),〃£R,若/(知在［TJ上不单调,则。的取值范围为()

【答案】C

【解析】

【分析】求得了'(x)=2S十。，转化为/'(入)在上有变号零点，设g(x)=/'a),求得/'*)在

上单调递增，列出不等式组，即可求解.

【详解】由函数/(x)=2e'+o(x—4),可得/'(x)=2e、+a,

要使得函数/(x)在［-1,1］上不单调，即/'(X)在［T1］上有变号零点,

设g(x)=/'(x)=2e、+a,可得g'(x)=2e'>0,

所以g（x）在上单调递增,即/'（X）在［-1,1］上单调递增,

/（-1）=2『+。＜02

则＜,।,解得—2e＜〃＜一一，

/⑴=28+〃＞0e

所以实数〃的取值范围为1-2e,-|）.

6.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到•种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规

律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60。），再沿直线繁

殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖

过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到42然后分叉

向与方向继续繁殖，其中。，且AA与关于。所在直线对称，

4A22/4/1/22=60］｝2］4M241

=4322「…若=4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半

径r（尸£N'，单位：cm）至少为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距禽，结合无穷等比递缩数列的和的计算

公式，即可判断答案.

【详解】由题意可知，O《=4cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在。4方向上的距离的范

围，即可确定培养皿的半径的范围，

依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在。41方向上前进的距离依次为：

222482

rmJC6I16U5百u8r

则4+2x——+1+—x—=5+--->5+—=7，

22244

黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在。月”方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，

4+11+...216+4>/316+80

+++…--=--------<-----=o

即42I28_133

4

综合可得培养皿的半径，•(/ENL单位：cm)至少为8cm,

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌

的繁殖规律，从而求出每次繁殖在a”方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.

7.为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左

桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其

中2名划左桨，剩F2名划右桨，则不同的选定方案共有()

A.I5种B.19种C.23种D.36种

【答案】B

【解析】

【详解】根据题意，记力=｛只会划左桨的两人｝,B=｛只会划右桨的两人｝,C=｛既会划左桨又

会划右桨的两人)；

则不同的选派方法有以下T种：

(1)从力中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有C；C：=6,

(2)从月中选择1人划左桨，从。中选1人划左桨，再从剩下的3名能划右桨的人中选2人划右

桨，共有C；C；C：=12；

(3)从。中选2人划左桨，8中的两人划右桨，共有C；C；=1.

所以，不同的选派方法共有19种.

8.定义在R上的函数/(x)的图象是一条连续不断的曲线，且〃・x)+/(x)=O,若x〉0时，函数满足

[/W+/>[/W-/(x)]e-',则下列说法正确的是()

A./⑴在(0,+8)上单调递增B./(-2)>/(3)

C.xf(x)<0D./(x)有且只有一个零点

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，构造函数g(x)=/(x)e'+/(x)er,根据g(x)的单调性和奇偶性，求得函数

/(X)的正负，结合选项，逐项分析判断，即可求解.

【详解】因为函数/(x)满足/(T)+/(X)=0,BP/(-x)=-/W>可得函数/(x)为奇函数，

设g(x)=/(x)e'+/(x)e'=/(x)(er+e-v),

可得g'a)=[/"(x)+/'(x)]e'+[/"(x)-,

因为x>0时，[/(x)+/'(x)]c'>[f(x)-f(x)]c\

即[/(X)+fM]ev-[/(x)-,r(x)]e-v>0

可得g'(x)=[/'(x)+/(x)]e'+[/(x)-/(x)]er>0,

所以g(》)=/(力(炉+0)在(O,+8)上单调递增,

又由g(r)=/(-x乂e-'+叫=一/")卜、+er)=-g(x),可得g(x)为奇函数，

所以g(x)=/(x)(ev+e-x)在(-8,0)上单调递增,

乂因为g(x)图象连续不断，则g(0)=0,所以g(x)=/3(ex+e-')在R上单调递增，

当工〉0时，e'+e-x>0且g(x)>。，所以/(x)>0；

同理可得：当x<0时，/(x)<0,

对于A,由于函数/(X)的单调性不确定，故该选项不确定，所以A错误：

对于B,由当x〉0时，可得/(3)>0；当x<0时，/(x)<0,可得/(—2)<0,

所以/(一2)</(3),所以B错误;

对于C,当x>0时，/(x)>0,则以*(x)>0,故C错误.

对干D,当x>0时，/(x)>0,当x<0时，/(x)<0,且/(0)=0,

所以函数/'(x)有且只有一个零点，故D正确.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知%=2”,S”为数列｛%｝的前〃项和，则下列结论正确的有()

A.%=512B.是递增数列

C.S,,=2/,+,-2D.｛凡｝中不存在连续三项成等差数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，由%=2",利用等比数列的性质，通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判定方

法，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A,由。”=2”，可得出=29=512,所以A正确；

1111111

对于B，由%=2”,可得:=不7,则;;一一一夕=一齐＜°，

an乙an+\anZZ乙

111

即一＜一，所以数列｛一｝为澧减数列，所以B错误；

%+】an[/J

对于C,山％=2",可得S"=型二22=2向—2,所以C正锦；

”1-2

对干D,假定｛%｝中存在连续三项成等差数列，分别为册,%+1,%+2,其中

则2,+1=%+限，即2、2〃山=2"'+2〃'+2，整理得2?=1+22,矛盾，

因此｛%｝中不存在连续三项成等差数列，所以D正确.

10.一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学

中的数字美学，如22,121,3443,94249等.下列说法正确的是()

A.百位为2的五位回文数有100个B.十位大于个位的六位回文数有360个

C.2〃+1(〃EN*)位回文数有9x10”个D,2〃(〃eN)位回文数有10〃个

【答案】BC

【解析】

【详解】根据题意，由回文数的定义，结合排列数与组合数，可得判定A错误，B正确；再用分步计数原

理分析2〃(〃£N*)和2〃+l(〃£N)位回文数的数目，可判定C正确，D错误.

【分析】对于A,百位为2的五位回文数，此时第一位和倒数第一位数字有9种选法，

第二位和倒数第二位数字有10种选法，故总的个数为9x10=90个，所以A错误；

对干B,十位大于个位，有C；种方法，此时个位和十位的数字被确定，

第三四位的数字相同，有10种选择，符合条件的六位回文数C；xl0=360,有360个，故B正确；

对于C,对于2〃+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，

第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第〃+1个数字，

即最中间的数字有10种选法，则共有9xl0xl0x...xl0=9xl0”种选法，

即2〃+1(〃wN*)位回文数有9x10”个,故C正确;

对干D,对于2〃位I可文数，首位和个位数字有9种选法，

第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第〃和第〃+1位也有10种

所以共有9xl0xl0x...x10=9x10""种选法，故D错误.

11.已知44是函数了=枇、与>=11^一后。的图象的两条公切线，记4的倾斜角为。,/2的倾斜角为夕，

且4，/2的夹角为6(0<6<])，则下列说法正确的有()

A.a+夕=]B.tan«+tan<2

32

C.若tan6=—,则/=D.4与4的交点一定在第一象限

4e

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知可得两函数互为反函数，根据对称性即可判断A：根据。+尸=',结合诱导公式和基本不

等式即可判断B；设4与两个函数图象分别切于〃，N两点，ZO0V=-,根据三角恒等变换可得kMV=2,

由导数的几何意义可得切线方程，即可判断C；结合图象即可判断D.

【详解】如图，因为y=ae'与y=lnx—In。互为反函数，

故两函数的图象关于直线V=x对称，则6关于^=工对称，

7T

故a+〃=5，故A正确；

由题意，a、£均为锐角.tanrz>0.tan/?>0,匕na+tan/?=tana+tang—°)=tana+石高

>2,

当且仅当tana=L即"4二：时取等号，故B错误,

设4与两个函数图象分别切于"，N两点，NOQN=5,

42tan—q

若Ian8=：,即------4二:,

,204

41-tan'—

2

解得tang=!或一3（舍去），故k“N=tan《+45。）=二=2,

23\2/1一§

对干>=则y'=e1令/=3=2,解得x=ln2,所以切点为（ln2,2）,

所以曲线^=/的斜率为2的切线方程为)>=2x-21n2+2,

故曲线y=aev=er+ln<,的斜率为2的切线方程为=2(x4-Inf/)-2In2+2,

同理可得y=\nx的斜率为2的立线方程为y=2x-ln2-\,

故曲线y=lnx-ln。的斜率为2的切线方程为>=2x-In2-1一In。,

所以一ln2—1—lna=21na—21n2+2,

,2

则ln/=ln2—3，则优=—•,故C正确;

e

由图可知点。必在第一象限，故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.嗨=

【答案】4866

【解析】

【详解】Cc：一C；=儒一c2c2-C：==4950-84=4866

23x2x1

13.4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一

次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为

【答案】60

【解析】

【分析】设第〃次传球后，球又回到甲手中的传球方法有乙种，探索数列｛%｝的首项和递推公式，从而求生

的值.

【详解】设第〃次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过〃-1次传球后，所有可能的传球方

法总数为3M.

这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有。I种方法，

另一类是球不在甲手中，有种方法，

第〃次传球后球要回到甲手中，当且仅当第〃-1次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲，

因此，勺=3"T—《I，即。”+〃I=3”T,

由于甲是发球者,一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以4=0.

利用递推关系可以得到：

生=3-0=3吗=3x3-3=6,%=3x3x3-6=21,a5=3x3x3x3-21=60.

这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种.

14.已知函数/(x)=G-2〃,g(x)=e1若/(x)〈g(x)恒成立，则。的取值范围为.

【答案】［O,e3)

【解析】

【分析】构造函数〃(x)=g(x)-/(x),利用导数研究函数的单调性，进而求出。的取值范围.

【详解】当。=0时，此时/*)=0,g(x)=e)因为解>0恒成立,所以/(x)vg(x)恒成立,

。二0符合题意：

当。>0时，令h(x)=g(x)-f(x)=cr-ax+2a,

要使f(x)<要x)恒成立,即力(x)>0恒成立,

对h(x)求导得h'(x)=ex—a»

令l(x)=0,即F一々=0，解得x=ln。，

当x<ln〃时，h\x)<0,力(x)单调递减；当x>ln〃时，//(x)>0,力(x)单调递增,

所以力(x)在X=In4处取得极小值，也是最小值，

］na

/?(x)min=h(\na)=e-a\na+2a=a-a\na+2a=3a-a\na,

要使〃(x)>0恒成立，则力(x)min>0,即3a-aIna〉0,

因为。>0,两边同时除以。得3-In。〉0,即lna<3,解得Ocave'

当。<0时，因为1(不)二^一。>0恒成立，所以〃(均在R上单调递增，

当工T-oo时，e、♦0，一以一―8,所以力(工)——8；

当工T+00时，e'f+8,-ax->+00,所以〃(x)->+8,

所以当x足够小时，e1趋近于0，-亦为负数且绝对值较大，

必然存在某个足够小的x,使得力(x)<0，

不满足力。)〉0恒成立，所以。<0不符合题意，

综上所述，。的取值范围是［。述3).

四、解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛%｝的首项6=1,且数列也｝满足4=仕「，耳屹=’，

12764

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求证：ci\bx+a2b2+...+anbn<2.

【答案】(1)anwN，

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)设等差数列｛2｝的公差为d,由帅八=莉,得到之,解得d=l，进而得到数

列｛q｝的通项公式；

(2)由(1)求得,利用乘公比错位相减法求和，得到［=2-£-弟，达而证得结论.

<2722

【小问1详解】

解:设等差数列｛凡｝的公差为d

i+</

可得4=1,A

因为q=1且b”=-

12)2一也出厂

11(1Y+J(1V+2rff1Y+3rf1

又因为由可得士•士--=-=—,解得4=1,

642(2；{2[264

所以q=1+（〃-1）x1=〃，即数列｛an｝的通项公式为/=&/;£N*.

【小问2详解】

/|XW

证：由⑴知：a=n,可得"=f_L

n所以ahn=nn。•—

设北二。4+。2b2+•••+%，

则;7；=1(；)+2(g)+3」；)+•••+〃

111

两式相减得/3+5

因为白+白>。，可得2-（Jr+白）<2,所以。乱+/4+…+%"<2.

乙乙乙乙

16.已知函数/（x）=3+ln+（a€R）.

（1）讨论/（X）的极值;

（2）求/（力在口同上的最小值g（a）.

【答案】（1）答案见解析

a,a<\

(2)g(a)=«l+lna,l<Q<e

a-

—+1,〃>e

e

【解析】

【分析】（1）求导后，分别在和〃>0的情况下，根据/'（X）的正负可得/（x）单调性，由极值定义可

求得结果:

(2)分别在、leave和oNe的情况下，根据/'(x)的正负可得/(x)单调性，由此可得最值点,

代人可求得最值.

【小问1详解】

由题意知：“X)的定义域为(o,+“),r(x)=-4+-=^：

XXX

当a40时，x—a>0,.../'(x)〉0恒成立，\/卜)在(0,+。)上单调递增,

\/(X)无极值:

当。>0时,若xe(0,a),/'(x)<0；若xw(a,+oo),/z(x)>0；

\/k)在(0,4)上单调递减，在(凡+0。)上单调递增;

\/(x)的极小值为/(〃)=l+ln*无极大值;

综上所述：当QKO时，/(x)无极值；当。〉0时，/(x)的极小值为l+ln〃，无极大值.

【小问2详解】

当心1时，/'(x)NO在［Le］上恒成立，\/卜)在［l,e］上单调递增,

「•"XL"/⑴二。；

当l<“<e时，若/'(x)vO；若xe(a,e］,/(力>0；

\/(x)在［1M)上单调递减，在(乐目上单调递增,

(x)m「/(a)T+】na；

当〃Ne时，/'(x)40在［l,e］上单调递减，.♦./(X)而n=/(e)=2+l；

e

a,a<\

综上所述：/(入)在［he］上的最小值g(a)=(1十Ina,1vave.

a,、

—+1,。>e

c

17.某实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进

行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队.

(1)若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？

(2)若6个团队都同时参与调研，且力，4两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？

【答案】（1）1440

（2）240

【解析】

【分析】（1）根据题意，先从6个团队中选5个，将其分成四组，再进行全排列，结合分步计数原理，即

可求解：

（2）先将力和4两个团队视为一个整体，将其分成四组，再进行全排列，即可求解.

【小问1详解】

解：先从6个团队中选5个，有C；种选法，

接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责，

则5个团队分为：2,1,1,1四组，有C；种方法，

再将这四组对应4种项目进行全拄列，

由分步计数原理，可得不同的安排方案有C：C；A：=6x10x24=1440种.

【小问2详解】

解：先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素），

此时相当于5个元素分配到4种项目，每个项目至少有一个团队，

即分成元素个数分别为“2,1,1,1”四组，则有C；种方法，

再将这四组灼应4种项目进行全排列，有A：种方法，

所以共有C；A：=10x24=240种不同的安排方案.

18.已知数列｛《J满足：4=1,%+产3%+1：数列｛"｝满足：4=10%（2%+1）2-1.

（1）求数列｛%｝和｛"｝的通项公式；

（2）设。,求数列｛%｝的前〃项和S〃；

（3）定义：”若存在常数使得对任意正整数〃，数列卜力的前〃项和1都满足则称数列

11

｛%｝是'和有上界数列'，且'和上界'为M证明：数列］丁1的其中一个‘和上界'为

［答案］（1）/=（（3"一1）,b,=2n-\

<2）S=T十且L

"2〃+l

（3）证明见解析

【解析】

I（1\

【分析】（1）由题意整理得勺+|+5=3an+-,根据等比数列的定义，即可得数列｛〃“｝的通项公式，将

｛〃,｝的通项公式代入，根据对数的运算性质，可得数列｛"｝的通项公式.

（2）由（1）得4=2〃-1,代入可得c”的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案.

（3）由（1）得」-的通项公式，先证明3”-122X3"T,〃GNL则可求得数列|1的前〃项和7；的表达

式，根据条件，分析即可得证.

【小问1详解】

1(1A

因为%+i=3。,+1,所以%+i+]=3|an+-\,

13[113

又[+]=/,所以是以]为首项，3为公比的等比数列，

所以〃+J_=3X3〃T=1x3",则%=LX3"-L='(3"-1).

222222v7

w2

则5“=log3(2a“」l=log3(3)1=2〃1.

【小问2详解】

由(1)得4=2/7-1,

、

/.\n4〃✓八〃4〃✓(111

则C=(-1)----------=(-1)----------------------=(-1)•--------+—-J

b"・b"、'7(2«-1)(2/?+1)'7V2/7-12«4

G”Q(.nfl1}fl1W11)/(111

所以十心十5人十+9「…十㈠)Q”十

12H+1)

(T)"

=-14-^-

In+1

【小问3详解】

12

由(1)得二M1，

CI.3—1

当〃=1时，3,-1=2X3,-1,

当〃22时，3n-l=3x3n-,-l=2x35+3M-,-l＞2x3M-1，

221

所以3"—122x3"-〃wN*,7T=不，

3"-12X3"T3'i

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所以对于任意正整数〃，数列l一的其中一个‘和上界'为二

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19.拉格朗H是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现

用他的名字命名.如对一组数据（卬乂）用=1,2,…出七互不相等）进行研究时,记

_（__々）（」一七）…（"一%）-9a叶

/\/\/—2,3,时

（西一工2）（凡一再）…（西一£）

/=（X_M）（」_X2）L（X-X“）（」_XR）L（＞一七,）1二（-71）（」72）…（Xf-J称

'（巧一不）4-工2，（芍-巧.1）（巧-巧+|）1（再-乙）’”（与一再）（%”-“2＞一（%一九）'”

/（x）=4必+4%+L+lnyn为这组数据的拉格朗日插值多项式.

（1）试求数据（1,一1）,（0,-1）,（2,1）的拉格朗日插值多项式/（”的表达式；

（2）对于（1）中求出的/（X）,若函数g（x）满足g（x）+/（x）=log/+4-2x-1（4＞0,。=1）,

（i）研究g（x）的单调性；

（i-.）若g（x）有两个零点，求。的取值范围.

【答案】（1）/（x）=x2-x-l

（2）（i）答案见解析；（ii）1”