吉林省四平市某中学2024-2025学年高二下册期初验收考试 数学试卷（含答案）

四平市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期初验收考试

数学试题

一、单选题

1.已知直线hx+2y+5=0与63》+即+力=0平行，且乙过点（-3,1）,则:=（）

b

A.-3B.3C.-2D.2

2.若一组数据*的方差为（）.4,则另一组数据4jL,小的方差为（）

A.1.6B,0.8C.0.4D,0.1

3.在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（）

45「35厂35nr

AA.—B.---C.—D.7

488

4.已知点M是圆C:/+y2=i上的动点，点N（2,0）,则M/V的中点/＞的轨迹方程是（）

A.（x-l）2+/=^-B.（x-l）2+/=^

C.（X+1）2+/=-D.（X+1）2+/=-

24

5.当双曲线」----2一=1的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为

W+86-2m

A.y=±xB.y=±|xC.尸D.y=±^-x

6.以下说法：

①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

②没有一个回归方程»=3-5"变量X增加1个单位时，y平均增加5个单位

③线性回归方程»=八+3必过（月7）

④没具有相关关系的两个变量X，丁的相关系数为小那么越接近于0,'J之间的线性相关程度越高;

⑤在一个2x2列联表中，由计算得K?的值，那么K?的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。

其中错误的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速

滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为

1B上C-

A34C-5

8.已知椭圆=+4>=l(a>/>>0)的左顶点和上顶点分别为A,B左、右焦点分别是6，F?,在线段48

a'b'

上有且只有一个点P满足尸£，尸则椭圆的离心率为（）

A.叵11B.正二C.在

223D-T

二、多选题

9.2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019

年我国农村减贫人数（按现行农村贫困标准统计）统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在

2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（）

A.2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少

B.2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上

C.2017年末我国农村贫困人=1有3046万人

D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平

10.某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随

机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确

的是（）

23

A.P（A）=-B.P（/f5）=-

c.人始）=1D.p（M4）二；

II.已知点尸是抛物线c：r=2px（p>0）上一点，c的准线与X轴交于。点，OP是以点P为圆心且过点。

的圆，则OP与C的交点个数不可能是（）

A.1B.2C.3D.4

三、填空题

12.过点P（3,0）有一条直线/，它夹在两条直线）：2x—y—2=。与6x+y+3=0之间的线段恰被点尸平

分，则直线/的方程为.

13.已知函数/(.Y)=\l4-x2+k(x-4)有2个不同的零点，则〃的取值范围是.

14.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投

篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8,乙每次投篮的命中率均为0.6.由抽签确定第1

次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第i(iwN.)次投篮的人是甲的概率是—.

四、解答题

15.手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动展的比较和点赞.若某人

一天的行走步数超过8000,则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”从小王的男性和女性好友中各随机抽

取了5()名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据：

积极懈息

型型

男2030

女1040

(1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

(2)以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极

型”的人数为X,求随机变量X的数学期望.

n(ad-be)"

，其中〃=〃+力+c+"

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d')

。(犬/)0.0500.0250.010

%3.8415.0246.635

222

16.已知双曲线的巧一齐=1("0吠0)与会一Y=i有相同的渐近线,且过点〃(2,一形).

(1)求£的方程；

(2)已知。为坐标原点，直线x-y+阳=0与£交于R0两点，且。7幅=4,求用的值.

17.如图，在梯形中，ABICD,AD=DC=CB=\,乙48c=60。，四边形力CFE为矩形，平面/CFE1平

面,4BCD,CF=1.

⑴求证:8C1平面/CEE.

（2）在线段石尸上是否存在点M,使得平面与平面尸所成锐二面角的平面角为仇且满足cosQ乎,

若不存在，请说明理由;若存在，求出EW的长度.

18.已知抛物线C：），=[,点。（％,打）为抛物线C外一点（如图），过点。作。的两条切线，切点分别为

A,B.

（1）求证：直线48的方程为仪-尸为=（）;

（2）若。（.%,%）在直线y=-；上，以《（）目为圆心的圆与直线18相切，且切点为线段"的中点，求该圆

的方程.

19.2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进

行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考

项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）

或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目

为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训

练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次

未训练的3个项FI中等可能地随机选1项训练.

（1）若该男生某天进行/3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；

（2）若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是力000米跑”，前后训练项目不同

视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为X,求X的分布列及数学期望.

题号12345678910

答案DACABCAAABCCl)

题号11

答案ACD

1.D

利用两直线平行，斜率相等来求解即可.

【详解】由直线4：x+2y+5=0可得：尸-;可知直线乙的斜率为：

再由直线A:3x+qy+A=0可得：jv=--x--,可知直线/，的斜率为：/，

aaa

由两直线平行，斜率相等可知：-5=-：，即。=6，

再由直线4过点(-3/)可得，-9+6xl+/)=0,即〃=3,检验符合，

所以?=2,

D

故选：D.

2.A

根据平均值与方差的计算公式，可得答案.

【详解】数据会,三,L段的平均数1=e十3+...+芝|+10=gx土色冷土血

数据不畀卷的方差s：$x俘一4+俘-力+…+住-三

数据和和1_,%的平均数,0=2%,

数据X],9,L,X]0的方差S；=而、[(再—X?)+[2-+…+1】0-*2)

=\x(内一2叶+(52斤

1H尹巾住司…悟臼X4=4s；,

所以数据和％2，L的方差为16

故选：A.

3.C

由题意利用二项式系数的性质，求得〃的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得1的系数.

【详解】•••在(4-;X)”的展开式中，只有第5项的二项式系数C：最大,

，它的展开式共计有9项，，〃=8,

故二项展开式的通项公式为却尸c>(J7)•-x\=q..x2,

、乙)、乙，

令4+：=6,求得厂=4,可得在的展开式中/的系数为C：4=宜

2V2)168

故选:C.

4.A

设出线段MN中点的坐标，利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程.

【详解】设线段"N中点尸(xj),则“(2x-2,2y).

♦:M在圆C:x?+/=1上运动，

...(2x-2)2+(2»=1,即(I)?+/=；.

4

故选：A.

5.B

【详解】由题意可得6-2心0,即有机<3,

由c2=m2+8+6-2m=(/fi-1)2+13,

可得当加=1时，焦距2。取得最小值，

双曲线的方程为工-£=1,

94

2

即有渐近线方程为y=.

故选：B.

6.C

【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变,

故①正确；一个回归方程夕=3-5x,变量x增加1个单位时，了平均减少5个单位，故②不正确；线性回

归方程3=加+3必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中,

相关系数为〃，6越接近于1,相关程度越大，故④不正确；对于观察值片来说，K2越大，、与》有关系,,

的可信程度越大，故⑤正确.

故选：C

7.A

【详解】先考虑全部的情况，即将5名学生分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1,

所有将・5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，

不同的排法种数为仙+亨

H=150种;

'A2)

接下来考虑学生甲被安排到冰球匕赛项且做志愿者，则做冰球忐愿者的人数可为1或2或3,

若侬冰球志愿者的人数为1且为甲，共有穹+穹省=14种;

若做冰球志愿者的人数为2且包含甲，共有片=24种;

若做冰球志愿者的人数为3且包含甲，共有忌=12种.

IIIIrr--IXAi14+24+121

因此，所求概率为———=-

iJvzJ

故选：A.

8.A

【详解】解：依题意，作图如下

vJ(-a,O),8(0,6),耳(-c,0),F2(cf0),

■.直线48的方程为:—+,7-=I»整理得：bx-ay+ab=0

-abt

设直线,48上的点尸(x,y)，则=

^x=^y-a,PF1工PF?,

2

z.PF、PF2=(一c-x,—-x,—y)=/+-c

2

2

=-y-a+y-c

3>

a)

令"y)=^y~a\+y~c

则f'(y)=2^-y-a]x^-+2y,

・••由/'3=0得：y=©T，于是x=

a~+h~a~+h~

crbY

c2=0,

・•屈・班J-Wa2+bV~cr+lr

2

整理得：孚r=，，又62=/“2,62=二,

a"+b~a'

.•.e4-3/+l=0，

.•.』=三且，又椭圆的离心率ew(O,l),

，3-V5(石-1丫

，e=-----=------,

22

XZ

••.椭圆的离心率为e二造二!

2

故选:A.

9.ABC

根据折线统计图逐一判断可得选项.

【详解】解：由题可知，2013—2()20年我国农村每年减贫人数均大于()，因此贫困人口逐年减少，故选项A

正确;

1650+1232+1442+1240+1289+1386+11099348

2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为(万人)，又

77

竿＞1300,故选项B正确;

2017年末我国农村贫困人口为551+1109+1386=3046(万人)，故选项C正确;

由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误.

故选:ABC.

10.CD

根据占典概型，对立事件，条件概率的计算公式逐一计算每个选项进行判断.

33

【详解】由题意可得，P(4)=六=],故A错误，

323

P(AB)=1X故B错误，

5410

/一\233-32

P(5J)=-x-=-,P(J)=l-PM)=l--=-,

3

=“故C正确,

=；,故D正确.

故选：CD

11.ACD

根据题意知。尸与抛物线必有两个交点，取抛物线上高于点N或低于点股的点，证明该点到点夕的距离大

于PM即证明了不存在其他点到点P的距离等于。户的半径即可.

【详解】

如图，OP与抛物线交于A/、N两点且将抛物线分成圆内和圆外共三部分：

显然圆内部分每一点到圆心距离均小于归。|，故圆内部分不存在满足条件的点；

设点P坐标为？（/，）%），N（x”乂），M（士+AX•，必+»）,"为抛物线上高于N点的点且Ax>0,Ay>0,则

有

|PN『-1=[（x,+A./产+（必+A）,一凡y]_©_/『+（必-%]

=（2x1-2x0+Ax）Ar+（2必一2%+&，）Ay

因为X>/,必>比且Ax>O,Ay>0,

所以>|PN『，即在抛物线上高于N点的部分不存在到夕点的距离等于归。|的点；

同理，圆外部分且在点M下方的抛物线.卜.亦不存在到P点的距离等于卢。|的点;

即O尸与抛物线的交点只有两个.

故选:ACD

12.8二一》—24=0

【解析】设出A与8两点的坐标，因为夕为线段48的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关

系式，然后把A的坐标代入直线七把8的坐标代入直线/又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式

联立即可求出A的坐标，然后由A和尸的坐标，利用两点式即可写出直线/的方程.

【详解】设直线/夹在直线44之间的线段是48（A在、上，8在4上），

48的坐标分别是（m,必）,伍,8）.

因为44被点0平分，所以

X］+工2=6,必+y2=0f

于是吃=6-X］必=一必.

2x-y,-2=0

由于A在4上，〃在上，所以女7n,

［（6f）+（-乂）+3=0

解得不号,必若，即A的坐标是

y-0__x-3

直线PA的方程是=TT~,

------U------J

33

即8x-^-24=0.

所以直线/的方程是8x-y-24=0.

⑶同）

将问题转化为关于％的方程4）在区间［-2,2］内有两个不等的实根，于是画出曲线y="77

与直线y=-左（X-4）的图象，结合图象求解即可

【详解】因为函数/（X）="-丁-%（x-4）有2个不同的零点，

所以关于x的方程J匚了=_©x-4）在区间［-2,2］内有两个不等的实根，

即曲线歹=67（圆/+/=4的上半部分）与经过定点P（4,0）的直线j，=-女（工-4）有两个不同的交点，

如图

\-4k\

过P（4,0）作圆/+=4的切线PA,则点。到切线pA的距离d==2,

止+1

解得〃=3（舍去）或一走,

33

所以一且<-左40,W0<Jt<—>

33

即2的取值范围是

记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第，次投篮的人是乙”为事件瓦，设尸（4）=化，利用全概率公式求得

P-=0.4pf+0.4,再构造等比数列即可得答案.

【详解】记''第1•次投篮的人是甲”为事件4,“第1•次投篮的人是乙”为事件及，

设P（4）=P,，则尸（耳）=1-0，

则?（4.j=尸（44川）+尸34.）=尸（4）尸（4.J4）+尸（瓦"（4+J耳）,

于是PM=0.8化+（I-0.6）。—pj=（）.4〃,+0.4,p*__|=:他一$,

1?122

由0二5,得因此数列血-不是首项为-石1，公比为:的等比数列,

则科_:=_/。尸，即P广宗补凯'，

717

所以第，次投篮的人是甲的概率为3-：（分工

365

故答案为：U•（■!）''

365

15.⑴有;

响

【详解】（1）2x2列联表如下:

积极型懈怠型合计

男203050

女1()4050

合计3070100

则r的观测值…嘤黑磊1L粤w

所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

202

（2）由表格中的数据知，从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为

2

随机变量X的可能值为0」,2,3,X~B（3，M）,

所以随机变量¥的数学期望E{X}=3x|=1.

16.⑴二二二1

36

（2）m=4或〃？=-4

（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可；

（2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公

式进行求解即可.

【详解】（1）由题意，设E的方程为又七过点"伍一企），

所以卜近）22—,4，解得4=一3,

2

所以E的方程为工-己=1.

36

《上=1

（2）设2（西,必）,。（工2，必）,由"36'Wx2-2mx-m2-6=0,

x-y+m=0

因为△=（一2机）2+4（〃/+6）>0,

2

所以*+工？=2加，x）x2=-6-m,

2

所以必乂=（须+机）（4+〃?）=xlx2+m（xi+x2）+m

=-6-ni2+2m2+m2=2nf-6>

22

所以OPOQ=+y1y2=-6-nV+2w-6=zw—12=4,

（2）存在，FM=拒-\

（I）将底面梯形单独分析得到4c_LC8,再根据面面垂直的性质定理即可证明；

（2）以。为坐标原点建立空间直角坐标系，计算出相关法向量，利用二面角公式得到方程，解出"M的长

度.

【详解】（1）证明:如图所示的等腰梯形相C力中,经过点C,。分别作CPJ.44,。。148,垂足为P,。,则

CDQP为矩形,尸。=1.在RfBCP中,N4=60°,则BP=；BC=g,

同理可得4。=AB=2.

在△力BC中，

AC2=I2+22-2xlx2xcos60=3

AC2+BC2=AB1,:.ZACB=90AC±CB

又平面ACFE±平面ABCD，平面ACFEPl平面ABCD=%C,BCu平面A8CD,AC_L平面ACTE.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系.

C(0,0,0),J(V3,0,0),5(0,1,0),E(瓜0,1)

设历（4,0,1）,

AB=(-后1,0)厮=(-6Z,1,-1)

屈=(0』,0),豆=(G,0,l)

设平面ABM的法向量ni=（x,y,z）,

nl科工B-0-V3x+>=0

贝卜，・・1

m,MB=0[-ax+y-z=0

则而=（l,VJ,G—a）,取平面8c尸的法向量，;=（1,0,0）,|cos（沌砌=尚高

_________1________

、/1+3+（百-〃）2

1y/5L

由题意假设：/+（痒4）「行'"["同

解得0=6-1.

因此在线段痔上存在点”（G-1,0,1）,使得平面与平面必方所成锐二面角的平面角为。，且满足

3。=冬FM=6一\.

18.（1）证明见解析

（2）/=4或/=2

（1）先利用导数几何意义分别求出在A,3两点处的切线方程，再分别代入点。（%,%）即可发现48两

点都在直线外=上，进而得到直线力8的方程;

（2）由（1）得直线48的方程，与抛物线联立，求出线段48的中点为M,再根据圆的性质所得瓦7_1_方

建立方程进行研究即可.

【详解】⑴设力（%,乂），4卜,乃），由）,='得y'=x,

所以在力（XQJ处的切线方程为），+必=中，

同理在8（毛，必）处的切线方程为）'+必=、2%，

两条切线都过力（%,打），所以乂+乂=/丫0，

显然力，8两点都在直线汽+，=%%上，

所以直线48的方程为x-y-%=0；

（2）若。（%,稣）在直线上，则直线48的方程为x°x-y+g=（）,

即直线48过定点（。《｝不妨设直线48的方程»=比+；,

1

y=^+-

由，，可得工2-2仆-1=0，A=4r+4>0，

X"

y=T

于是X+%=2/,y]+y2=t（xl+x2）+\=2r+\t

设