高中数学基础练习题-二倍角公式（原卷）

5.8二倍角公式

模块一：基础知识...................................................2

考点一：二倍角公式..............................................2

考点二：二倍角公式的变形应用....................................2

模块二：题型分类...................................................2

题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题..........................2

题型二：利用二倍角公式求角......................................3

题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题..........................4

题型四：二倍角中的拼凑角问题....................................4

题型五：二倍角公式与数学文化的结合..............................5

题型六：辅助角公式的应用........................................7

模块三：综合巩固...................................................8

5.8二倍角公式

模块一：基础知识

考点一：二倍角公式

函数公式p=a简记符号

正弦sin2a=2sin«cosaS(a+#s2a

余弦cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sirraC(a+/J)C2a

c2tana

tan2a=--------j—

正切—tanT(a+/?)Tia

考点二：二倍角公式的变形应用

（1）倍角公式的逆用

.r.sin2asin2a

QJ5«：2sin«cos«=sin2a,sina=--------,cosa=——.

22cosa2sin«

②C2a：cos2a—sin2a=2cos%—1=1-2sin2«=cos2a.

21ana

③乙:=tan2a.

1—tan2a

(2)配方变形

1±sin2a=sin,a+cos%±sin2a=(sina±cosa)2.

(3)因式分解变形

cos2a=cos2a—sin2a=(cosa—sina)(cosa+sina).

(4)升幕公式

14-cos2a=2cos2a；I—cos2a=2sin2ot.

模块二：题型分类

题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题

（34、

1.已知角。的终边与单位圆交于点P一片不，贝ljsin，a=

若其终边经过点网一2,灼，则潦念

2.已知角a的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴,

3.已知函数/（x）=sine十qsin（九十x）,则j

A&B石D.在

c

44-I2

4.已知角。的终边过点(L-2),则tan2a=(）

11c4211

AC.—D.—

~T3112

题型二：利用二倍角公式求角

/\

1.已知sina=^^,sin（a+/7）=3,「利

其中ae*

10I5

⑴求/;

（2）求sin（2a-力）.

半，则tan（2a_/7）=

2.已知a,夕为锐角，tana=2,cosy?=

3.已知tana=；,tan户=一;，且a,4w(0,n)，则2。一/二()

乃c"T5兀3兀仁乃_p,5兀-3兀

A.—B-7或7rc-TD.二或下或一二

4444

4.已知tana=；,tan/?=-y,且a,夕e（0,兀），则2a-^二

题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题

求sin2a,cos2a,tan2a的值.

2.已知lan(a+/n)=],tan■=；,则lan(a-20=(

)

612J

922

A.——B.—一D.

13115

B=之叵，则cosla-

3.己知a,夕均为锐角，cosa=，sin2a-p

14

4.若sin-7,则cos2a=()

4

7B1J

不C.—D.

488

4

5.在dBC中，若tan力=§,则sin24=

题型四：二倍角中的拼凑角问题

1.已知a,尸为锐角，tana=(,cos(a+»)=一日

⑴求sin2a的值：

(2)求tan(a的值.

2.已知sina1=更,则sin(2a一t

35

443

A.-B.——D.

55二i5

3.已知cosa+-=-,«£0,-则cos—~2a

l6J5<2)3

则sin(2Q+2、

4.已知sina+乙=-,)

\6)56J

8877

A.B.——C.D.

25252525

5.已知a是第一象限角,满足cos(；+a)=-|,则cos2a=()

7c24247

A.B.---C.D.

25252525

6.已知sin=立则cos

题型五：二倍角公式与数学文化的结合

1.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比

值为无理数叵口该值恰好等于2sinl8。，则cos360=()

2

布-16+1百-1

A.V5-2D.

442

2.我国古代数学家僧一行应用“九服昼影算法〃在《大衍历》中建立了影长/与太阳天顶距。(0。4。＜180。)的

对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知，唇影长/等于表高力与太阳天顶距

。正切值的乘积,即/="an6.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为夕，若第一

次的“展影长〃是"表高”的2倍，第二次的雷影长〃是“表高〃的4倍，则tan(2a+27?)=()

3.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间•定的数学比例关系，即将整体•分为二，较小部分与较大部分

之比等于较大部分与整体之比，其比值为五二1。().618,上述比例乂被称为黄金分割.将底和腰之比等于

2

6」的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C,则cos2C=.

2

4.五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以

找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形,

都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中北、与、名等都是黄金分割比苴二1，已知五角星的顶角

D1AlID2

是36。，则利用上面信息可求得sin126。=()

y/5—1R—yi2ry[5+1n>/5—1

--------D.------------U.---------U.--------

4442

题型六：辅助角公式的应用

1.已知函数/(%)=2\',3sinxcosx+2cos2x-l(xGR).

(1)求函数/(x)的单调递减区间：

(2)若/(々))=!，为€匕图，求cos2x()的值.

2.已知函数/(x)=2、13cos2G+x)-2sin(n+x)cosx-\,1^.

(1)求/。)的最小正周期及单调递减区间：

(2)若/(比-9)=急oe联寸求sin23的值.

3.已知/'(%)=sin2x+cos2x.

⑴求/'(x)的周期及单调递增区间；

(2)求函数f(x)在⑶上的最大值和最小值.

4.已知困数/(无)=sin(x+》+sin(x-^)+cosx+a在％W[—]用时的最大值为1.

(1)求常数a的值；

(2)求函数/(%)的单调递减区间：

(3)求使/Q)>0成立的％的取值集合.

模块三：综合巩固

sin235T

1.化简等于(

cosl0*cos80,

A.-2B.一C.—1D.1

2化简产孚恒+«'l-sinl60。的结果是()

A.cos10°B.sinl0°

C.2sinl0°+coslO°D.2cosl00-sinl0°

则佃的值为(

3.已知函数/(x)=1-2sii?x)

A.1B.也C.近

D.1

222

4.sinl45°cos35°=()

A.-sin70°B.--sin70°C.sin700D.-sin70°

22

5.函数y=sin.rcosxcos2x的最小正周期是（）

兀

A.27iB.兀C.D—

24

6.己知sin(-68)=/〃,则cosl-=()

卡8•月Cy/\+mD,正

22

7.已知匕«。+引=

：一2,则cos2a的值为（）•

A.34i

B.—C.D

52~552

。业.(20237r)

8.若叫2a\=7»则cos2a=()

4

9.已知角a的终边落在直线y=-2x上，则2cos2a+sin2a+3的值为（）

A.-1B.1C.±1D.45

10sinl6O^s2O2

l-2sii?25。

A.yB.在D.2

22

IL已知tan（〃-0）和tan（，+0）是关于x的方程x2+〃?x_3=o的两根，且tane=g,则吠的值为（）

,1617

A.-5B.~TC.-TD.-6

L

值为大的是（

12.（多选）下列各式中，)

0

A.cos2150-sin2150B.2sinl50cosl5°

C.l-2sin215°D.2COS2150-1

13.（多选）下列各式中，值为：的是（）