2026湘教版九年级数学上册第1章《图形的相似》教案

第1章图形的相似

1.1比例线段

1.1.1比例的基本性质

【教学目标】

1.理解比例的定义并能熟练运用.

2.掌握比例的基本性质.(重点，难点)

【教学过程】

一、情境导入

数学来源于生活，数学中很多定理都可以用生活中的常识来解释.例如配制糖水的问题,

通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.

试着举出更多利用比例的生活实例.

二、合作探究

探究点一：比例的基本性质

32

醐1己知二=二，那么下列式子成立的是)

xy

x22

A.3x=2yB.xy=6C.-=7D.-=

y3x3

解析：根据比例的基本性质可知3y=2x,所以可得二%即得A、C项错误，B项“xy

y/xJ

Q9

=6"无法由"二=一"变化得到，故选D.

xy

方法总结：本题考查的知识点为比例的基本性质，解题时从基本性质出发进行变化.

探究点二：比例基本性质的拓展

【类型一】根据给定条件，求简单比值

„3m—n1...

初3右-----=可，求一的值.

non

解析：根据比例的基本性质，将比例式变为等积式，然后化简，变形得出答案.

.3m—n1m4

解rl：*/-----=~,.*.3(3m-n)=n,/.9m-3n=n,9m=4n,/.-=-

n3n9

方法总结：解题时首先运用比例的基本性质对已知条件进行转化，化简，最后再利用比

例的基本性质求比值.

【类型二】根据给定条件，求复杂比值

1

acem、a+c+e+…+m

［例❸已知丁=二=1…=一=3,.且bIaIf…In#0,求b+d+f+k…+n的值.

bdfn

解析：把比例式化为等积式，可得a=3b,c=3d,…，m=3n代入即可求解.

acem

解：.・1=『钎…=、=3,・.・a=3b,c=3d,e=3m=3n,又,.,b+d+fd-----FnWO,

.a+c+e~l----bn】_3b+3d+3f-l------F3n_3（b+d+f-l-------l-n）_

**b+d+fH----Fnb+d+…+nb+d+f+…+n…

方法总结：本题考查比例的等比性质，需要用到等值替换的解题思想，在解答此类题目

时，要充分运用题设条件，将复杂问题简单化求解.

【板书设计】

（概念

比例War

］性质：如果『=不那么ad=bc.

〔bd

1.1.2成比例线段

【教学目标】

1.理解线段的比与成比例的线段的关系.（重点，难点）

2.了解并掌握黄金分割问题.（重点，难点）

【教学过程】

一、情境导入

古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓为矩形（如图所示），以矩形ABCD的宽为边在其内

部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现珠=北

BEBC

你能求出京的值吗？

二、合作探究

探究点一：线段的比与成比例线段

【类型一】线段的比

砸I在等腰直角三角形中，直角边与斜边的比是,斜边与直角边的比是，斜

边上的高与斜边的比是W.

解析：作一等腰三角形如图所示，设边长为x,由勾股定理可得，斜边长为斓x,斜边上

2

的高为半X,即直角边与斜边的比为1：五斜边与直角边的比是$：1,斜边上的高与斜边的

比为1：2.故填1：镜，小：1,1：2.

方法总结：在解答此题时要明确等腰直角三角形各边的比例关系，并且注意题目要求,

避免错解.

【类型二】与比例尺相关的线段的比

的12在比例尺为1:200的地图上，测得A、B两地之间的图上距离为4.5cm,则A、B

两地间的实际距离是多少？

解析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可.

解：设A、B两地间的实际距离为xcm,则1：200=4.5：x,Ax=900（cir.）=9（m）,

故A、B两地间的实际距离为9m.

方法总结：熟练利用成比例线段的概念是解决本题的关键，要注意长度单位的换算.

【类型三】成比例线段

所下列线段的长度成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,5cm

B.1.5cm,2.5cm,4cm,5cm

C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm

D.1cm,2cm,3cm,6cm

el—Jem4cm-.1.5cm,4cm八fJ.1cm3.3cm-.1cm3cm

解析：A项中「工厂，B项中歹C项中犷『zD项中丁=『=2,

3cm5cm2.5cm5cm2.2cm4.4cm2cm6cm

故选D.

方法总结：判断四条线段是不是成比例的步骤是：（1）化成相同的单位；（2）按照大小

排列；（3）分组求比值；（4）看是否相等，相等即成比例，不等则不成比例.

探究点二：黄金分割

【类型一】黄金分割的基本概念

硒1如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且能=当那么下列说法中错误的是（）

A.线段AB被点C黄金分割

B.点C叫做线段AB的黄金分割点

C.AB与AC的比口U黄金分害I」比

D.AC与AB的比叫黄金分割比

解析：黄金分割比是分得的两条线段中的较长的一条与整条线段的比，即AC与AB的比,

不是AB与AC的比，故选C.

方法总结：准确掌握黄金分割的概念是解决问题的关键.

【类型二】黄金分割的相关计算

的时如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA,PB,当PA2=PB-AB,即PA^O.618AB

时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现在已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点（PA>PB）,

那么线段PB的长约为（）

A.6.18B.0.382C.0.618D.3.82

解析：PA^O.618AB=0.618X10=6.18,PB%10—6.18=3.82,故选D.

易错提醒：本题易错选A,产生错解的原因是误认为PB就是黄金分割所得较长线段，事

实上，较长线段是PA,所以PAg10X0.618=6.18,PB^10-6.18=3.82.

【类型三】黄金分割的实际应用

在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比.

3

已知这本书的长为20cm,则它的宽约为（）

A.12.36cmB.13.6cm

C.32.36cmD.7.64cm

解析：书的宽与长之比为黄金分割比,即约为0.618.，书的宽度约为20X0.618=12.36

（cm）.故选A.

方法总结：解决此类问题要先将实际问题转化为数学模型，然后利用黄金分割的定义求

解.

【板书设计】

〃线段的比

成比例线段：一般地，在四条线段中，如果两条

线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条

线段叫作成比例线段

成比例线段《黄金分割：一点C将一条线段AB分成两部分，

使较短的CB与较长的AC之比等于AC与原

线段AB的比，那号=不，那么线段AB被点

黄金分割

1.2平行线分线段成比例

【教学目标】

1.理解并掌握平行线等分线段定理.（重点）

2.掌握平行线分线段成比例定理的推论.（重点，难点）

【教学过程】

一、情境导入

梯子是我们生活中常见的工具，观察如图所示的梯子简图，仔细观察每一级梯子.

你能从中发现那些熟悉的数学规律？

二、合作探究

探究点一：平行线等分线段定理

砸1如图，11/712/713,若AB=BC,则DE=

解析：・・T1〃12〃13,AB=BC,由平行线等分线段定理知DE=EF,故填EF.

方法总结：本题利用平行线等分线段定理求解，要注意是截同一直线上的两线段相等.

探究点二：平行线分线段成比例的概念

【类型一】利用平行线分线段成比例进行判断

硼3如图，AB〃CD〃EF,那么下列结论正确的是（）

4

Ali

AD_BCBCDFO)=BC

加=&B，=C，=

A♦CEADEFBEEFAF

解析：・・・AB〃CD〃EF,・••由平行线分线段成比例知告故选A.

Dr

方法总结：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，解题时要注意线段的

对应.

【类型二】平行线分线段成比例的运用

丽如图所示，直线11〃12〃13,另两条直线分别交11,12,13于点A,B,C及点D,

E,F,且AB=3,DE=4,EF=2,则（）

A.AC:DE=1:2B.BC：DE=2：3

C.BC-DE=8D.BC-DE=6

解析：由平行线分线段成比例定理，:11〃12〃13,・・.37=左.・・・AB=3,DE=4,EF=2,

DCtr

••・BJDE=AB・EF=6,故选D.

方法总结：本题考查平行线分线段成比例定理的基本运用.

探究点三：平行线分线段成比例定理的推论

【类型一】平行线分线段成比例定理的推论的运用

的U如图所示，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE〃BC,已知AE=1,AC=5,

AB=6,则AD的长是（）

.AEADAE•AB1X6

解析：・・・DE〃BC,又・・・AE=1,AC=5,AB=6,・・.AD==1=1.2.

故选B.

方法总结：本题涉及比例的基本性质及平行线分线段成比例的推论，解题时要注意线段

间比例的对应.

【类型二】平行线分线段成比例定理的推论在实际生活中的运用

的时如图所示的是一块三角形梨园，梨园的一边BC靠近河边，A处建有恒温保鲜库，把

这块梨园按人口分给二户人家，这二户人家的人口分别为2人,3人，5人，要求都能利用河水浇

地，并且保证不经过其他家的梨园把梨运往公用恒温保鲜库储存，你将如何分配？

5

解：按以下方法进行分割：①过B点作射线BD；②在射线BD上依次截取线段BE,EF,

FG,使BE:EF:FG=2：3：5；③连接CG,过点E,F分别作CG的平行线交BC于P,Q；④连接

AP,AQ.三户人家分别分得三角形地块ABP,APQ,AQC.

Gu

方法总结：将线段按比例分割问题，常利用平行线分线段成比例的推论，作一-条射线并

按比例在射线上依次截取线段，最后作平行线，将线段分割.

【板书设计】

〃定理：两条直线被一组平行线所截，所得

平行线

的对应线段成比例

分线段＜

推论：平行于三角形一边的直线与其他

成比例

、两边相交，截得的对应线段成比例

1.3相似图形

【教学目标】

1.理解相似图形的基本概念.（重点）

2.理解并掌握相似三角形的概念及其基本性质.（重点，难点）

3.理解并掌握相似多边形的概念及其基本性质.

【教学过程】

一、情境导入

仔细观察图片内容.

试着比较每一组图片，发现它们之间存在的联系

二、合作探究

探究点一：相似图形的概念及基本性质

【类型1相似图形的概念

圆1下列图形：①两个长方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸和

5寸照片；④圆柱和圆锥.其中相似的图形有（）

A.①③B.②③C.①④D.②③④

解析：两个半径不等的圆的形状相同，是相似的；同一张底片冲洗出来的2寸和5寸照

片的形状相同，只是大小不等，是相似的，所以相似的图形有②③.故选R.

方法总结：解决此类问题要紧扣定义中“图形”及“形状相同”.

【类型二】相似三角形概念及基本性质的运用

6

m已知△ABCs/VVB'C',且BC=3cm,BzC'=6cm,AABC与AA'BzC'的相

似比为；4A，B'C'与AABC的相似比为.

解析：ZXABC与△/、'B，C'的相似比为泮丁=孵=:，AAZB'C'与AABC的相似比

BCbcm2

6cm八八

为噎=漏=2•故填亍2.

方法总结：在一对相似的三角形中，三角形的前后次序不同，所得相似比不同.

探究点二：相似多边形

【类型一】相似多边形的概念

砸1下列说法中正确的有（）

①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似;

④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似.

A.2个B.3个C.4个D.5个

解析：④所有矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不一定相似；⑤所有菱形，对

应边成比例，对应角不一定相等，也不一定相似；正确的说法：①②③.故选B.

方法总结：相似多边形的概念，同时也是它的判定定理，即两个边数相同的多边形在同

时满足“对应边成比例，对应允相等”这两个条件时，才可判定这两个多边形相似.

【类型二】相似多边形的应用

圆4如图所示，在小区绿化过程中，有一个矩形草坪，长20米，宽10米，沿草坪四周

要修一宽度相等的环形中路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，能否做到？并说明理由.

解析：先假设能做到，列出比例式，求小路宽度，然后验证是否符合题意.

解：不能.假设能做到，设小路的宽为x米，因为小路内外边缘所成的矩形相似，所以其

对应边成比例，即而兽=而\，解得x=0.与题设不符，故舍去.所以不能做到.

乙U【乙X1UI乙X

方法总结：解决此类问题的方法是先假设问题成立，然后进行推理，若得出正确的结论,

则说明成立；若得出错误的结论，则说明不成立.

【板书设计】

’（概念

相似三角形（性质：三个角对应相等，三条边对

〔应成比例

相似图形《［概念

相似多边形《性质：相似多边形的对应角相等，

〔对应边成比例

<相似比：相似图形对应边的比叫做相似比

1.4相似三角形的判定

第1课时利用平行判定三角形相似

【教学目标】

1.理解并掌握判定三角形相似的预备定理.（重点）

7

2.运用判定三角形相似的预备定理解决简单问题.（重点，难点）

【教学过程】

一、情境导入

观察下列一组图形，观察其中的规律，图①中11〃12〃13,图②中11,12,13不存在

平行关系.

试着判断△AB1C1,AAB2C2,AAB3c3之间是否相似，并探究其中规律.

二、合作探究

探究点一：判定三角形相似的预备定理

颈I如图所示，DE〃FG〃BC,图中相似三角形共有（）

解析：△ADEsaAFG,AADE^AABC,AAFG^AABC,故选B.

方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理，解题时要考虑到所有情况，避免错解.

探究点二：判定三角形相似的预备定理的简单应用

【类型一】利用平行线判定三角形相似

例3如图，EF在平行四边形ABCD的边AB的延长线上，且EF=AB,DE交CB于点M.求

证：△BMES/XBCF.

解析：要证△BMFSABCF,可先证ME〃CF.

证明：一四边形ABCD为平行四边形，・・・AB〃CD,AB=CD.又：EF在AB的延长线.匕且EF

=AB,AEF/7CD,EF=CD.即四边形CDEF为平行四边形，AME^CF,AABME^ABCF.

方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理的基本运用，与平行四边形的性质相结

合，解题时要注意利用平行关系进行转化.

【类型二】利用平行线判定三角形相似求值

画❸如图所示，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF〃AB,DE：EB=2：

3,EF=4,则CD的长为.

解：:四边形ABCD为平行四边形,.\DC/7AB,DOAB,EF〃AB〃CD,XVDE：EB=2：3,

EFDE2

•,.Q=DE,F,B=g，又＜EF=4,，AB=10=CD.故填10.

8

方法总结：本题考查应用相似三角形的判定的预备定理求值，解题时利用到比例的性质

和平行四边形的性质.

硒！如图，DE〃BC交AB于点D,交AC于E,若AD：DB=3：5,求DE：BC的值.

解析：由DE〃BC得△ADEs/\ABC,进而推出对应边成比例.

DEADAD3AD3DE3

角不：VDE/7BC,/.AADE^AABC,

,，BC-AB，*DB-5，，，AB-8，•，BC-8，

方法总结：由平行线三角形相似线段成比例，上述过程是求线段比值的一个基本思

路.

【板书设计】

「内容：平行于三角形一边的直线

与其他两边相交，截得的三角形

与原三角形相似

判定三角形相v

"证明三角形相似

似的预备定理

（求线段的比值

应-用《I

求值J求线段的长

<〔求角的度数

第2课时相似三角形的判定定理1

【教学目标】

1.理解并掌握相似三角形的判定定理1.（重点，难点）

2.运用相似三角形的判定定理1解决简单数学问题.（重点，难点）

【教学过程】

一、情境导入

观察下列儿组图形，探究其中规律.

试着判断这几组图形是否相似，并探究其中规律.

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理1

的O如图所示，在AABC中，ZAED=ZB,则下列等式成立的是（）

9

DE_ADAE_ADDE_AEAD_AE

A，BC=DB%BC=BDC，CB=ABD，AB=AC

解析：由相似三角形的判定定理1可得△ADESAACB,即可得而=正，故选C.

方法总结：在解此题时一定要明确对应关系，由于△ADES^ACB,所以AE对应AB,AD

对应AC,ED对应BC.

探究点二：相似三角形的判定定理1的应用

【类型一】利用相似三角形的判定定理1求值

硼3如图所示，已知AB±BD,ED±BD,AC_LCE,点B,D,C分别为垂足，点C是线段

BD的中点，若ED=1,BD=4,则AB=.

ABBC

解析：由题设可证△ABCS^DE,・••奇=而，又・・・ED=1,BD=4,C为BD的中点，「.AB

方法总结：根据三角形内角和可判定/ACB=NCED,再结合相似三角形判定定理1得出

△ABC与4CDE的相似关系，从而求解.

【类型二】利用相似三角形的判定定理1证明相似

画❸如图，在aABC中，AB=AC,BD=CD,CE_LAB于E.求证：△ABDsaCBE.

解析：已知NB是公共角，判定两三角形相似，再找一组角相等即可，由题易证ADLBC,

有NADB=NCEB=90。，即可得证.

证明：在4ABC中，AB=AC,BD=CD,Z.AD±BC,VCE1AB,AZADB=ZCEB=90°,

又NB=NB,/.AABD^ACBE.

方法总结：解此类题型时首先要根据题设寻求两三角形相似的条件，再证明两三角形相

似，并根据相似获得题目要求的数量关系.

【板书设计】

内容：两角分别相等的两个三角形相似

相似三

内容拓展：所有的等边三角形都相似•所有的等

角形判V

腰自角三珀形都相似•有一组锐角相等的两个有

定定理1

角三角形相似

第3课时相似三角形的判定定理2

10

【教学目标】

1.理解并掌握相似三角形的判定定理2.（重点，难点）

2.相似三角形的判定定理2的相关应用.（重点，难点）

【教学过程】

一、情境导入

观察下列几组图形,探究其中规律.

<---------、E

图IBC//DE图2转=务

A

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理2

颈I根据下列条件，判断△ABC与4A'B'C'是否相似，并说明理由.

ZA=120°,AB=7cm,AC=14cm,NA'=120°,A'B'=3cm,A'Cf=6cm.

解析：根据已知条件，两夹角相等，证两边是合成比例，即可判断是否相似.

ABCMA'B'C'.

方法总结：判定两个三角形相似，如果已知条件中给出两组对应边成比例，一般可以考

虑判断两边所夹的角是否相等，若相等，则两个三角形相似.

探究点二：相似三角形的判定定理2的应用

【类型一】利用相似三角形的判定定理2求值

___ADAE1

m如图所示，在aABC中，D,E分别在AC,AB上，且­=77=77,BC=6,则DE=.

ADACZ

ADAE1DEAEAD1

co00

解析：*：/A=/A,—■Ar■—7）>△ADEZ\ABC.V△ADE△ABC,/.TTr;——■AR'—7>>

ADAC乙DCACADZ

又・.・BC=6,ADE=3,故填3.

方法总结：此题考查相似三角形判定定理2的应用，首先根据已知条件证明两三角形相

似，再利用相似得出相应结论求解.

【类型二】利用相似三角形的判定定理2证明相似

例1如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且0A=l,0B=L5,

0C=3,0D=2,求证：△0ADS/\0BC.

11

解析：已有对顶角相等，再证两边对应成比例，即可得△OADSAOBC.

解：••曙=3=*.••累=累，且NAOD=NBOC,・••根据相似三角形的判定定理

Ub1•0JUL/J\Jr5MV/

2得△OADs^OBC,即证.

方法总结：解答此类问题应先找成比例线段，再利用判定定理2证三角形相似.

【板书设计】

相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

第4课时相似三角形的判定定理3

【教学目标】

1.理解并掌握相似三角形的判定定理3.（重点，难点）

2.相似三角形的判定定理3的相关应用.（重点，难点）

【教学过程】

一、情境导入

观察下列几组图形，探究其中规律.

试判断与4ABC相似的三角形.

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理3

例1根据下列条件，判断aABC与aDEF是否相似，并说明理由.

（1）AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,DE=18cm,EF=24cm,DF=30cm；

（2）AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,DE=12cm,EF=18cm,DF=21cm.

解析：已知两个三角形三边边长，只需证三边是否成比例，即可判断是否相似.

AB6cm1BC8cm1AC_jOcm_J_.AB_BC_AC

解：（1）•・•DE=18cm=3,EF=24cm=3,DF=30^=3**DE=EF=DF,/.△ABC^ADEF.

••AB4cm1BC6cm1AC8cm•ABBC/AC

•DE=12^=3,EF=T8cm=3,DF=21cm，,•施=而而・二△ABC与aDEF不相

方法总结：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，首先要找准对应边，可以把

两个三角形的边按从小到大排列，再看是否符合三角形相似的判定定理3即可.

探究点二：相似三角形的判定定理3的应用

【类型一】利用相似三角形的判定定理3求值

ARRCCA

的的如图所示，已知而=而=而，则NABD=N.

BDBEED

12

A

解析「.而=而=西•..△ABCs/WBE,・・.NABC=NDBE,而NABC=NABD+NDBC,Z

DBE=ZDBC+ZCBE,/.ZABD=ZCBE,故填CBE.

方法总结：解答此题时要注意对应边与对应角，根据三组对应边成比例得出相似，再通

过转化得到结果.

【类型二】利用相似三角形的判定定理3证明相似

襦1如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:

△ADQ^AQCP.

解析：先设参数，求出各边，证明三边成比例，即可证△ADQS/XQCP.

证明：设正方形ABCD的边长为4a.TP是BC边上的点，且BP=3PC,・・.PC=a,〈Q是

.r-r-_QC2a1QPyf5a.1CFa1an

CD的中点，；・QC=QD=2a,AQ—2*\J5a,QP—v5a»而m二丁=5，77i=c[r='ofQ—-即

vYAD4a2AQ2y5a2DQ2a2

QCQPCP

疝=而=而,・•△ADQs/WP.

方法总结：在确定对应关系时，要注意最长边对应最长边，最短边对应最短边.本题也可

以利用相似三角形的判定定理2证明.

【板书设计】

相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似

1.5相似三角形的性质

第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质

【教学目标】

1.理解并掌握相似三角形的基本性质.（重点）

2.学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

下面几组图形，探究其中规律.（各图中△ABCS/\A，WC）

试探求EJL与行厂（ZXABC与AA'B'Cz的相似比）间的关系.

13

二、合作探究

探究点一；相似三角形对应高的比等于相似比

例1如图所示，在△ABC中，点E,F在BC边上，点D,G分别在AB,AC边上，四边形

DEFG是矩形，若矩形DEFG的面积与AADG的面积相等，设aABC的BC边上的高AH与DG相交于

点K.求忘的值.

A

解析：由矩形DEFG的面积与4ADG的面积相等，可以得到AH与AK的比，由矩形的对边

平行，则可找到两个三角形相似，而DG与BC刚好是对应边，进而求解.

解：•・,矩形DEFG的面积与4ADG的面积相等，，菽KH=51，.K・Ha.AKF^3=*即八菽H=3*又由

At\Zrtl\ZHKZ

DGAK2

DG〃BC可得△ADGsaABC,

J1II•>

方法总结：本题考查相似三角形对应高的性质的应用，将己知面积关系转化成相似三角

形的对应高的比，进而求解.

探究点二：相似三角形对应中线的比等于相似比

硼3如图所示，已知△ABCs^/VB'C',AD,BE分别是AABC的高和中线，A'D',

B'E'分别是aA'B'C'的高和中线，求证：AD・B'E'=BE・A'D'.

解析：由△ABCs^A，C',可以得到el，旌厂都等于相似比，即可得证.

AUDE

证明：■△ABCsB'C',设aABC和4A'B'U的相似比为k,TAD,BE分别是

△ABC的高和中线，A'D‘，B'E'分别是B'C’的高和中线，・・.77%-=k,泮丁=k,

Al)Dt

.ADBE

:…D'=B，E，AAD・B'Ez=BE•A'D'.

方法总结：本题考查相似三角形对应高和中线的性质，解题时应从三角形的相似出发,

寻找对应的比例关系解题.

探究点三：相似三角形对应角平分线的比等于相似比

的13如图所示,AABC^ADEF,AG,DH分别是AABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF

=4cm,AG=4.8cm,求DH的长.

14

A

D

解析：由△ABCs^DEF,可以得到角平分线，AG：DH等于相似比，已知BC、EF、AG的

长，代入比例式，可求得DH.

解：•••△ABCS^DEF,AG,DH分别是AABC和ADEF的角平分线,・,.而=而,又・.・BC=

.ZTAG•EF4.8cmX4cm八八

6cm,EF=4cm,AG=4.8cm,•・DH=1s=——-------=3.2cm.

方法总结：本题考查相似三角形对应角平分线的性质，找准相似三角形，运用对应角平

分线的比等于相似比解题.

【板书设计】

相似三相似三角形对应有的比等于相似比

角形的1相似三角形对应用平分线的比等于相似比

性质I相似三角形对应由卜的中线的比等于相似比

第2课时相似三角形面积和周长的性质

【教学目标】

1.理解并掌握相似三角形的面积和周长的有关性质.（重点）

2.学会综合运用相似三角形的性质解题.（难点）

【教学过程】

一、情境导入

如图所示是一个三角形的花坛,要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线,

将花坛分割出一片三角形地块，测出4CDE的面积为10平方米，CE长为4m,BE长为6m.

根据所测得的数据，请你计算出整个花坛aABC的面积.

二、合作探究

探究点一：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

【类型一】与相似三角形的面积相关的性质

砸I如图所示，D,E,F分别为AABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（）

A.AADE^AABCB.SAABF=SAAFC

C.SAADE=7SAARCDDFEF

4.=

解析：・・・D,E,F分别为AABC三边的中点，・・・DE〃BC,•••△ADESAABC,且相似比为1：

15

2,,,.SAADE=|sAABC,由AF是中线得S4ABF=SZ\APC.故选D.

方法总结：本题考查运用相似三角形解决面积问题，要注意相似三角形的面积等于相似

比的平方.

【类型二】利用相似三角形的性质求面积

磔2如图，在ABCD中，E为CD的中点，连接AE,BD且AE与BD交于点F,SADEF=

4cm2,求SAABF.

解析：先证明△DFEs/\BFA,然后依据相似三角线的性质求出面积比，从而求出S4ABF.

解：:四边形ABCD是平彳亍四边形,,・・AB〃CD,.••△DEFsaBAF,・・・SZ\ABF：SADEF=AB2：

DE2,又AB=CD=2DE,.*.SAABF=4SADEF=16（cm2）.

方法总结：熟练运用相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键，避免出现面积

比等于相似比的错误.

探究点二：相似三角形的周长的比等于相似比

ABBCAC5

丽如图所示，△ABC和AEBD中，^7=-=—=-,AABC与AEBD的周长之差为10cm,

EBRDED3

求aABC的周长.

解析：首先根据已知条件探索三角形相似，然后依据相似三角形的性质得出比例式，最

后求得结果.

解：设4ABC与aEBD的周长分别为plcm,p2cir.,噌=震=*=*/.AABC^AEBD,

EDDUEDO

D]5D]5

且当=可，又;△ABC与aEBD的周长之差为10cm,/.pl-p2=10,=彳,解得pl=25,

p乙i）J"J1I一V/八o

p2=15,Z.AABC的周长为25cm.

方法总结：本题首先从条件出发判定两个三角形相似，进而利用相似三角形的性质求解.

【板书设计】

相似三角[相似三角形周长之比等于相似比

形的性质[相似三角形面积之比等于相似比的平方

1.6相似三角形的应用

【教学目标】

1.学会利用相似三角形解决高度（长度）测量问题.（重点，难点）

2.学会利用相似二角形解决河宽测量等问题.（重点，琲点）

【教学过程】

一、情境导入

16

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊

数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.

你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？

二、合作探究

探究点一：运用相似三角形解决高度（长度）测量问题

【类型一】利用影长测量高度（长度）

的H如图所示，某同学身高（AB）是1.66m,测得他在地面上的影长（BC）为2.49m,

如果这时操场上旗杆的影长为42.3m（BE）,那么旗杆的高度（DE）是多少米？

解析：首先根据已知条件求△ABCs/XDEB.然后得出比例式，最后求出结果.

解：VACZ/DB（平行光），AZACB=ZDBE,VZABC=ZDEB=90°,AAABC^ADEB,

'有说=施'DE=BC=28.2m,即旗杆高度是28.2m.

方法总结：同一时刻，同一地点对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等

于它们的高度之比.

【类型二】利用标杆测量高度（长度）

的的如图所示，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿,

使竹竿和树的顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时竹竿的底端与这一点相距6nb与树的底

端相距15%则树的高度为m.

I）

BACAOA

解析：VZD0C=ZB0A,ZBA0=ZDC0=90°,AOBA^AODC,A—=^;=，

\./ULvUn八,I*A，Ur

。八c%BA（OA+AC）.士

XVA0=6m,BA=2m,AC=15m,ADC=-----------=7m,故填7.

方法总结：本题把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形性质列出比例式求解

即可.

【类型三】利用镜面反射测量高度（长度）

丽如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜,

镜子与教学楼的距离EA=21m,当他与镜子的距离CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶

端B.已知他眼睛距地面的高度为DC=1.6m,求教学楼AB的高度.

17

解析：由题意知△BAEs^CE,所以而=也即可求出结果.

.EA

解：VZBAE=ZDCE=90°ZBEA=ZDEC（光的反射定律），/.ABEA^ADEC,

**EC

患".AB=*,.・.CE=2.5m,DC=L6m,EA=21m,二AB=13.44m即教学楼AB的高度为13.44nl.

方法总结：解决此类问题，应先把实际问题转化为数学问题，找到相似三角形，利用相

似三角形的性质求解.

探究点二：运用相似三角形解决宽度测量问题