高一数学周测卷5 （范围：第八章第一节～第八章第三节）

周测卷5（范围：§8.1〜§8.3）

（时间：50分钟满分：100分）

一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1.某人用如图所示的纸片沿折痕向外折粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形

作灯.底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯逆时针旋转时，正好看到“新

年快乐”的字样，则在①②③处可依次写上（）

A.乐、新、快B.快、新、乐

C.新、乐、快D.乐、快、新

答案B

解析根据四棱锥图形，当灯逆时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，可

知顺序为①为快，②为新，③为乐.

2.如图，RtZ\O4方是一平面图形的直观图，斜边OB=2,则这个平面图形的面

积是（）

C.y[2D.2啦

答案

•・・RtZ\OA0是一平面图形的直观图，且O'B'=2,

・・・O7V=/，

从而平面图形的两条直角边。4=2&,08=2,

・•・原平面图形的面积S“O5=；X2吸X2=2啦.

3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，当底面边长为〃时，该三棱锥的表面积

是（）

3+VS2)c32,-3+小、2n6+小V92

A.4aB.^C.aD.4a

答案A

解析如图，以，PB,PC两两垂直且%=PB=PC,

△ABC为等边三角形，AB=a,

:.B\=PB=PC=/i,

33正

・・・表面积为乎x，+gxXV4322VI

-a?4

4.已知一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4兀,

则该圆锥的体积为（）

B.fC.3兀兀

JJ

答案A

解析设圆锥底面圆半径为〃，母线长为/.

因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为90。的扇形，

JT

所以2nr=^l,解得l=4r.

因为该圆锥的侧面积为4兀，

所以兀〃=4兀7=4兀，解得r=1,则1=4,

即底面圆的面积5=兀></=兀，

则圆锥的高h=y]p—r=y[\5,

故圆锥的体积v=：s/?=培.

JJ

5.已知三棱锥O—ABC,侧棱CM,OB,OC两两垂直，且。4=O3=OC=2,则

以O为球心且1为半径的球与三棱锥O—A3C重叠部分的体积是（）

、兀C兀一兀T-X兀

A.gB-6C-4D3

答案B

解析由题可知以。为球心且1为半径的球与三棱锥0—A8C的重叠部分为球的

1

8,

I4TT

故对应的体积为兀X卜3=大

o3o

6.如图,

圆锥的母线长为4,M为母线的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面

转一周到达点B,这条绳子的最短长度为2小，则此圆锥的表面积为（）

A.4兀B.5兀C.6兀D.8n

答案B

解析设圆锥的底面半径为二因为母线长为4,

所以侧面展开图扇形的圆心角«=V=2-

将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点以最短距离

为BM,如图所示.

在△ABM中，由余弦定理得，的长度为

BM=]4?I222X4X2cos竽

=q20—16cosy=2小,

解得COSE=0,所以r=1,

所以圆锥的表面积S=7iX12+^x1X4=571.

二、多选题（本题共2小题，每小题6分，共12分）

7.下列说法中，正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥

D.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

答案BC

解析A中，如图，侧棱延长线可能不交于一点，故A错误;

B中，符合多面体的定义，故B正确；

C中，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等

的小正三角形，所以正六棱锥棱长不可能与底面边长相等，故C正确；

D中，不一定是正三棱锥，如图所示:

三棱锥中有43=AD=BO=8C=Cr）,

满足底面△BCD为等边三角形，

三个侧面△A8。，△A6C,△ACO都是等腰三角形，

但AC长度不一定等于AO,

即三条侧棱不一定全部相等，故D错误.

8.已知正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2小，则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥高为3

B.正三棱锥的斜高为弯

c正三棱锥的体积为尊

D.正三棱锥的侧面积为警

答案ABD

解析如图，设E为等边三角形AOC的中心，尸为CO的中点,

连接尸F,EF,PE,

则PE为正三棱锥的高，P尸为斜高,

EF=1x3Xsin6（）。=当，

故PE=yjPF2-EF2=3,故A,B正确.

正三棱锥的体积为（X3X9X3?=乎，

侧面积为3X^X3X^=史岁，

故C错误，D正确.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

9.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27兀，

则该几何体的表面积为.

答案36兀

解析依题设，旋转所得的几何体为圆柱体，

设正方形的边长为m

则V柱=兀。3。=27兀，

即4=3.

因此S圆往例=2兀X3X3=18兀，

S表=2s欣+S倜=18兀+18兀=36兀.

10.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是

32

予T,那么这个三棱柱的体积是_______.

答案48小

解析设球的半径为厂，则4扣3=学32兀，

得〃=2,柱体的高为力=4.

又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，

所以底面正三角形的边长为44,

所以正三棱柱的体积V邛X（4小）2乂4=48小

11.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表

面积的比为.

3

答案16

解析设球的半径为凡所得的截面为圆M,圆〃的半径为九

画图可知（图略），/?2=5?2+，，

3

--

4/?27

琮

S-4

则所得截面的面积与球的表面积的比为

4花炉一⑹

四、解答题（本题共3小题，共43分）

12.（13分）如图所示，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为小的圆

柱，求该圆柱的体积及表面积.

解设圆柱的底面半径为八高为

易知圆锥的高h=^/42—22=2^/3.

又・・・"=小，

；・h'=gh,

.1h-h'1

•>2=h=2f

•**r=1.

r

故圆柱的体积V=n^h=y[3nt

S表=2S底+S值=2兀3+2兀而'=2兀+2兀><3=（2+2小）兀

13.（15分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个

半径为,•的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器

中水的深度.

解如图，。。是球的最大截面，它内切于△48C,球的半径为r.

设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点,E.

则。。=厂，AD=6,

AB=AC=BC=2小八

：.CD=5r.

由题意，V的较a)=]C\/5r)2.3r=3兀

-

VB]ftCE=VUHSCDV球O

又丫剧卷8：V摭CQ=(5ME2.CE):gaAO2a)

且ME：AD=CE：CD..

：.V^CE：V^CD=CE3：CD\

则平：37n3=。/3：(3/-)3,

・・・CE=^r,

・•・球从容器中取出后，水的深度为我厂

14.（15分）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥（底

面为正方形且顶点在底面的射影为正方形的中心）下部的形状是正

四棱柱（底面为正方形的直棱柱）如图所示），并要求正四棱柱的

高。。是正四棱锥的高P0\的4倍.

(1)若A3=6m,POi=2m,则仓库的容积是多少？

⑵若正四棱锥的侧棱长为6m,当POi为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大,

最大面积是多少？

解(1)尸0i=2m,贝UOOi=8m,

=；S八科

1ia

=§X62X2=24(n?),

2

VABCL)-A}BYC}D}=SABCL)OO\=6X8

=288(n?),

=3l2(m3),

V=Vp-Ali3lclDl+VABCD-A{B[CXD[

故仓库的容积为312m3.

⑵设P0i=xm,下部分的侧面积为S(R),