高考数学-平面向量的基本定理与坐标表示 （学生版）

平面向量的基本定理与坐标表示

激活思维

1.（教材经典题）在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.C\=(0,0),以=(1，—2)

B.^1=(-1,2),a=(5,7)

C.约=(3,5),G=(6,10)

D.白=(2,—3),«2=(；,

2.(教材经典题改编)在△48C中,已知4。为8c边上的中线，E为力。的

中点，则还等于()

3一1一J3f

A.-AB-ACB.-AB—AC

4444

3f1一1-3f

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

3.(教材经典题)当工=时，〃=(2,3)与力=(»—6)共线.

4.(教材经典题)已知a=(3,2),b=(0,-1),则一2〃+4分=,4a+

3b=.

5.(教材经典题)已知点0(0,0),向量方=(2,3),法=(6,-3),P是线段45

的三等分点，则点。的坐标为.

聚焦知识

1.平面向量基本定理

如果白，/是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量

明有且只有一对实数不，及,满足,我们把不共线向量约，/叫做

这一平面内所有向量的一组基底.

2.向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘及向量的模

设。=（修，为），b=（x2,歹2），贝1J。+方=（项+必，为+力），a—b=

龙考檄号

）M=,同=、/x?+J4.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设点4但，y\）i3（x2，歹2），则48=（必—X”yi—为），|/8|=

3.平面向量共线的坐标表示

设。=（即，y\）rb—（X2>"），若力WO,则“，〃共线o.

4.“爪形三角形”

在△45C中，。是8C上的点，旦应）=2辰:，则成）=/1/+（1—»薪.特别

一1一1一

地，若。为线段4。的中点，则/Q=TB+TC.

22

*5.奔驰定理

如图，已知尸为。内一点，则有SMHC易+$△/>〃•丽+S△尸"无=0.

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目恤u平面向量基本定理的应用

例1（2025•广州一模）在平行四边形45CD中，E是8C边上的点，BC=

4EC，产是线段OE的中点，若成=2薪+〃而，则〃=（）

5

A.-B.1

4

3

D.-

4

D

AB

龙考檄号

＜总结提炼》

(1)选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条

件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，

用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.

变式1(1)(多选)已知等腰梯形N8CO满足N8〃CQ,AC与BD交于点、P,

BLAB^2CD~2BC,贝女)

—►-►A

A.AP=2PCB.\AP\=3\PD\

—►2—*1—►—*1—2—►

C.AP=-AD^--ABD.AC=-AD~\--AB

3333

⑵在正六边形48CDE：/中，用就和成表示2),则2)=()

2一」一1一2一

A.—AC^~~AEB.—AC-^-AE

3333

2一2一1—1―

C.—AC~\"-AED.—AC+-AE

3333

目帧旧向量的坐标表示及运算

一1一一1一

例2⑴已知点.4(一1.0),B(3,-1),C(h2),AE=-AC,RF=-RC,求点

33

E,尸及向量升'的坐标.

(2)如图，点力，B,C,2均在正方形网格的格点上.若万=2薪+〃就设,

R),贝ij2+2〃=.

龙考檄号

＜总结堤燎＞

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方

程(组)进行求解.

变式2己知4(一1,0),5(0,2),。(一3,1),法•法=5,"=10.

(1)求点D的坐标；

(2)若点。在第二象限，试用荒，而表示就；

(3)设族=(加,2),若(3元+/)_L旗，求族的坐标.

目标©向量共线的坐标表示

例3(1)(2025•汕尾、肇庆二模)已知向量〃=(—2,3),b=(m—1,3⑼，a//(a

+2b),则〃?=()

11

A.-B.-

32

11

C.——D.——

32

(2)如图,已知点N(4,0),8(4,4),C(2,6),则力C和。？的交点尸的坐标为

龙考檄号

，总结提炼A

网平面向量共线的充要条件有两种形式

(1)若。=(修，力)，力=(必，”)，则〃〃力的充要条件是项乃一%少1=0;

(2)若0〃伙5W0),则a=)J).

变式3(2024•全国甲卷)已知向量a=(x+l,x),b=(x,2),则()

A.“x=-3”是的必要条件

B.“x=-3”是“a〃万”的必要条件

C.“x=0”是“0，〃”的充分条件

D.“工=-1+/”是“〃〃/'的充分条件

微探究等和线的应用

1.三点共线定理：4B,尸三点共线的充要条件是：存在实数九〃，使5万

=无/+〃办，其中2+〃=1,O为46外一点.

2.等和线定理

一►—►一►/ITI一►n—►\-►

如图，若OQ=mOA+nOB=(m+〃)----・OA+-----08=(加+〃)0尸=k

\m+〃川+〃/

OP,由于点。在直线48上的任意性可知，点。所形成的直线。平行于直线

\OO\

AB,且直线。。上任意一点都满足==%，故称直线。。为等和线.此时△048

瓦|

s/\OCO,因此，我们就可以取特殊情形，即过三点。，P,。的直线分别垂直

于AB,时，计算A.

龙考檄号

OP=AOA+pOB,>1+^=1

例4(1)如图，在△4BC中，。是BC的中点.过点。的直线分别交直线

AB,4C于不同的两点M,N,若薪=〃?布，AC=nAN.则加十〃=.

A

M

(例4(1))

(2)在矩形48C。中，AB=1,力。=2,点尸在以C为圆心且与8。相切的

圆上，若筋3，则2+〃的最大值为.

变式4(1)如图，在△/8C中，。是8c边上一点，尸是线段力。的中点,

且)=工薪+/，则X+歹=.

(2)己知。是△/BC内一点，且»+五+&=0,点M在△03。内(不含

边界)，若施=幺薪+应Z，则2+2〃的取值范围是()

A.(1,|jB.(1,2)

C.(|I)昨。

随堂内化

1.(2025•潍坊期末)已知向量。=(1,2),6=。几3),且。〃(a+2b),则加=

()

常考撤号

丁

A.-B.1

2

3

C.-D.2

2

2.(教材经典题改编)已知o/BCO的三个顶点为力(-1,-2),8(3,-1),

C(5,6),则顶点。的坐标为()

A.(1,4)B.(1,5)

C.(2,4)D.(2,5)

3.(2025•海安期中)在UU8CZ)中，AM=MB>尿=2证,弱=x薪+(1—

x)AD^x£R.若AP〃MN,则x=()

12

A.-B.-

77

34

C.—D.—

77

4.在△力8c中，D是线段8c上任意一点，且满足石=3万，若存在实数〃?

和〃，使得〃4C，则〃?+〃=()

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.已知四边形力BCO是平行四边形，AE=3EB，若*=an+b而(a,bG

R),则a+b=()

1

A.-

24

龙考檄号

2.（2025•太原一模）已知向量a=（l,2）,b=ik,-1）,贝IJ“〃=一1”是〜〃

2

b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.（2025•聊城一模）已知角a£（0,兀），向量a=（l,、Q）,b=（cosa,sin

a）,若a〃b,则a=（）

C.-D.-

46

4.在△/BC中，D是边BC上一点,且BD=2DC,E是/。的中点，记就

="1，AD=〃,则8E=()

57

A.-w—3/wB.n—3Hl

32

75

C.-m-3nD.一〃L3〃

22

5.如图，在平面内，不共线向量4?与CO构成的四边形ABC。中，E,F分

别是％。，8c的中点.若球=7薪+"丘），则7+〃=（）

A.2B.1

C.0D.-1

6.如图，已知G为△/BC的重心，尸。过点G,若诵="彘,AQ=

龙考檄号

f,11

"AC,则一+—=()

mn

A.3

C.1

二、多项选择题

7.在等边三角形/8C中,BD=DC，EC=2AE,4D与BE交于点、F,则下

列结论正确的是()

一]f-—►2—►1—►

A.AD=^AB-\~AC)B.BE=-BC-\—BA

33

—1——►1—1—►

C.AF=-ADD.BF=-BA+-BC

223

8.设Qx,Qy是平面内相交的两条数轴，其中NxOy=

夕（0<。<兀且夕w，，约，益分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若平

面向量。满足。=xe］-iye2，则有序数对（x,y）称为向量〃在“仿射"坐标系xOy

下的“仿射”坐标，记作。=（x,y）0,则下列命题中是真命题的是（）

A.若。=（2,3强贝1」同=、/13

3

B.若4=（修,为）/b=（》2,及）仇则〃+〃=（.丫1+X2，巾+»2）。

C.若〃=（一1,2）仇8=（2,1）仇贝|J〃-6=O

D.若〃=（为，刈）/8=（X2，，2）仇若a〃"则七・刈=占・歹2

9.在△44C中，。为线段3C上的点，且访=3万［,过点。的直线分别与

AB,4C所在直线相交于点P,0,且筋=/1元，历=欣2（/1>0,//>0）,则（）

3

A