三角形-初中数学竞赛试题汇编+解析

专题12三角形（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.（2024八年级•全国•竞赛）如图，在四边形中，

N.4BC=135。/88-120。,CD=25AB：&BC=3-,则四边形ABCD的周长

为•

【答案】3+V2+>/3+2\fs

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等腰直角三角形的判定和性质.将原

图补成长方形E/P。，则NE=//=NG=90。，FE=DG,DE=FG,可得尸是等腰直

角三角形，NCQG=30。，再由直角三角形的性质可得6尸=力产=l,CG=gcO=VL再由

勾股定理求出的长，即可求解.

【详解】解：如图，将原图补成长方形£7七。，则N£—NF=NG-90。，FE=DG,DE=FG,

•JNABC=135°,NBCD=120°,

/.ZABF-45°,ZDCG-60°,

・•・△AB/是等腰直角三角形，ZCZ)G=30°,

••・AF=BF,CG」CD,

2

,:CD=2瓜AB=g,

BF=AF=I,CG='CD=B

2

试卷第1页，共50页

:・EF=DG=3,DE=FG=1+3-d=4,

••EA=2,

•••AD=\l22+42=2x/5，

，四边形的周长为&+3-出+26+2石=3+&+百+2石.

故答案为：3+V2+V3+2V5

2.（2024九年级•全国•竞赛）已知在中，/B=9U,AB=X,BC=6,在斜边力C上有

一点G,CG=6,把ABC绕点G按逆时针方向旋转90。得到则旋转后两个三角形重

叠部分（图中阴影部分）的面积为.

14419

【答案】三或探

【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知。G=CG=6,ZF=NA,

21

乙4GF=/FGH=90°,从而利用解三角形求出GN=/Gian力=3,HM=AHsinA=­

5f

AM=AHcosA=,再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为S-MLS-NG

得出结论.

【详解】解：♦；NB=90。,AB=8,BC=6,

:，AC=>JAB2+BC2=10>

由旋转性质可知：DG=CG=G,N尸=乙4,NAGF="GH=91,

:.AG=FG=4,

63

*.*tanF=tanA=—=—t

84

/.GN=AG-tanJ=4x-=3,

4

3

G//=FGtanF=4x=3,

4

/.AH=AG+GH=1,

试卷第2页，共50页

HM=AHsinA=7x—=——，AM=AH-cosJ=7x—=—,

105105

•・•两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为S-w-SAMGugxAyMW-gxGCN

・•・两个三角形重叠部分（叁中阴影部分）的面积为=:*至乂3-：*4乂3=学，

255225

故答案为1哭44.

3.（2024九年级•全国•竞赛）如图，A5c和场力。£部为等腰直角三角形，点Q在4C上，

点七在的延长线上，AB=AC=\0cm,AD=AE=6cx,现将出力。石绕点A旋转60。，得

到△力。£',连接8?、CO,过点A作力尸18£,垂足为点尸，直线"'交CQ'于点G,

则线段FG的长度为cm.

C

【答案】7+与6或7-与G

【分析[分dMOE按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点E，作EM工BE,垂足为

点过点。作。〃〃.40交，4G的延长线于点〃，连接利用勾股定理，含30度角的

直角三角形的特征求出/必=35],£*”=3右51,根据等面积法求出力/二，65,证明

^ABE^CAH（AAS）,得到力Q=C〃，易得四边形4C”。为平行四边形，利用平行四边

形对角线互相平分的性质即可求解.

【详解】解：如图1和图2,过点、E'作E'M上BE,垂足为点M,过点。作C“〃力》交4G

的延长线于点〃，连接

则有/E，AM=60°,AE=4E=6cm,得ZAErM=30。,4M=3cm,E'M=3x/3cm,

BM=AB+AM=13cm,BE=dME?+BM=14cm，

由等面积法有:BE'•力尸=：48/'M；

22

/.AF=；Gem,

4GAD'十乙卜A七'=91°=4卜AE'+/A七'卜,Z.HAC+Z.bAB=900=Z.bAB+Z.ABb,

试卷第3页，共50页

NG力O'=/AE'F/HAC=NABF,

-CH//ADf,

乙4HC=NGAD',

4HC=ZAEF,

AB=AC,

二人力87?'gAC/H(AAS),

/.AE,=CH=AD,=AD=6cm,8E'=4"=14cm,

-CH//AD',

.•・四边形为平行四边形，

AG=—AH=7cm,

2

・•・在图1中，=+JG=7+yV3(cm),

图1图2

【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅

助线，构造全等三角形解决问题.

4.（2024九年级•全国•竞赛）如图，在正方形48CQ中，点E在上，AE:BE=2:\,连

接。E,过点力作/G_LOE交于点G,4G的延长线交8。于点尸，设四边形8EG尸的面

积与△1EG的面积之比为“，正方形力4。的面积与a/lEG的面积之比为/）,则

试卷第4页，共50页

a+b=_______

【答案】12

【分析】设8£=1,则4E=2,AB=AD=3,先根据AAS证明"五8也△/)",则可得

S4

BF=AE=2,根据勾股定理可求得力"=拒，再证明』GEs△48/，则可得甘第二百,

先求出S△加，再代入上式求fllS,AGE，则可得S四边形2，进而可求得。的值.再求出S正方形，

即可求出分的值，从而可得。+〃值.

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练

掌握以上知识，求出。和b的值是解题的关键.

【详解】vAE:BE=2:\,

・••设8f=l,则力E=2,AB=AD=3,

正方形N8C。中，AB=AD,/B=/EAD=90。,

vAG±DE,

.・.N4ED+NB"=90。,

又•.•/力所+/助尸=90。，

ZAFB=ZAED,

「.△力所包。"(AAS),

BF=AE=2,

22

AF=\lAB、BF?=V3+2=713，

•..4GE=/8=90°,NEAG=NFAB,

:.“GEs^ABF，

试卷第5页，共50页

S»GE=4

3一13,

12

・q

,・°“GE13

•・$边形帅5=乂噜59=3-。=；；

27

,_$四边形BEGF_13_9

Cz4——..—-

S“F124

13

S正方彩A8CD=3~=9,

S正方形ABCD_9_39

：.b=

J“GE124，

13

.”「+%2.

44

故答案为：12.

5.（2024八年级•全国•竞赛）如图，在四边形48CO中，ZABC=ZADC=

NB4D=NBC4=T0S,如果8C=逐一及，那么的长度为.

【分析】过点力作4E_LC。于点£，过点C作。交于点尸，先证明出力。月和

均为等腰更角三角形，得到仃=6-1，然后证明△%（?£名△4CE,得到。£=百-1，再

利用直角三角形的性质及勾股定理，求出/E=3-能.进而得到DE=3-V5，由此即得答

案.

【详解】解：如图，过点力作/1E_LC。于点E,过点C作6工川?交于点尸，

5ZABC=ZADC=457,

:"ABC=ZFCB=45',/4DC=ND4E=45,,

:.CF=BF,AE=DE,

.•向力。石和△见下均为等腰直角二角形，

试卷第6页，共50页

CF=号BC=y-x(V6-x/2)=6—1,

vZJ^C=45°,ZJ5CJ=105°,

NCAF=1800-ZABC-乙4cB=30°,

ZCAE=/BAD-NDAE-ZCAF=105°-45°-30°=30°,

ZCAE=NCAF,

S/AEC=/AFC=90。,AC=AC,

:.^ACE^ACF{AAS),

CE=CF=V3-1,

在RtzUCE中，ZCJE=30°,

:.AC=2CE=2j3-2，

AE=>lAC2-CE2=7(2X/3-2)2-(V3-I)2=3

/.CD=CE+DE=V3-l+3-V3=2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次根式的计算，直角三角形的性质，勾股

定理，构造全等三角形是解答本题的关键.

6.（2024八年级•全国•竞赛）如图，在中，AC=4cm,8c=6cm,ZJC5=90°,

△ABC公LDFE,CE=1cm,现将“7底尸以每秒ICHI的速度向左平移，3秒时，“BC与

△。尸E重合部分的面积为cm3.

试卷第7页，共50页

【分析】如图，48与相交于点/。尸于4。相交于点K,。产与48相交于点，，作“G

垂直于"，交所于点G,连接JK,用与JK的交点为点/,可证△D/Ks△。所，利用

其性质得。1=轲，则"=gcm,再证ADJK❷A/KJ,易证得△儿K为等腰三角形，可得/

HlJ

为JK的中点，再证利用其性质可得〃/J一可得〃7=：cm,进而即可求

/7/+—3

解.

【详解】解：如图，3秒时，与DE相交于点J,。产于4c相交于点K,。户与48相交

于点H,作伙7垂直于6尸，交"于点G,连接小，笈;与JK的交点为点/,

■:XABC出XDFE、

：,JC=DF=4cm,BC=EF=6cm,4B=4F、乙4cB=NDEF=9。。，ZA=ZD,

由题意可知：£C=3-l=2cm,则8E=Cr=4cm,/BEJ=/FCK=900,

：.»BEJFCK,则庆=8产，

，四边形"CE是矩形，

AJK//BF,则ADJKs2DEF,

JK=EC=2cm,---=——,

EFDE

48

DJ=ycm,贝I」JE=-cm,

NDJK=NAJK=90。

在△ZVK与△/《/中，、ZJQK=NK4/,

JK=KJ

△A/Kg△/KJ(AAS),

：.4DKJ=4AJK,

・••△〃M为等腰三角形，

VJK//BF,HG1BF,

:.HIUK,△J〃/s△BHG,

试卷第8页，共50页

HIJI

・••/为JK的中点,~HG~~BG

:.JI=1cm,BG=5cm,

HI_1

•e•«/4-8~5»可得m=wcm,

nl十一3

3

・・・S=2.g2仓号1=6cm2,

故答案为：6.

【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，相似三

角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键.

7.（2024八年级•全国•竞褰）如图，AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=40°,BD与CE

交于点尸，连接的，则44五8的度数为.

【答案】700770K

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答

本题的关键.过点4作40_L8。于点M,彳NJ.CE于点M根据手拉手模型证明

△BAD父ACAE,得到=然后证明g△4可£•,得至ljND4M=/E4N,

AM=AN,进一步推得/M4N=/ZME=40。，再证明/A"g"NV,可得/£4M=20。，

最后根据三角形内角和定理即得答案.

【详解】过点/作4Ml8。于点“，ANLCE千点、N,

'：ZBAC=ZDAE=400t

NBAD=NCAE,

-：AB=AC,AD=AE，

：ABAD%CAE（SAS）,

:ZDM=NAEN,

•:/AMD=/ANE=90。,AD=AE,

:.^AMD^ANE（AAS）,

试卷第9页，共50页

:./DAM=NEAN,AM=AN,

NDAM+NDAN=Z.EAN+Z.DAN,

即NM4N=/£ME=40。，

♦;NAMF=/ANF=90。,AM=AN,AF=AF,

:.“MF知ANF(HL),

ZFAM=4FAN'/MAN=20°,

2

Z.AFB=180°-90°-"AM=70°.

故答案为：70°.

8.（2024八年级•全国・竞赛）如图，“8C为等腰直角三角形，NC=9G,点、P为“BC内

一点，且力P=4,点。、E分别是边力C、上的动点，在运动过程中，△P。月的周长最

小是.

A

【答案】4&

【分析】分别作力。关于对称线段4G,关于对称线段加7,连接QG、EH,由对

称的性质得：DG=DP,EH=EP,AG=AH=AP=4,当G、D、E、"四点共线时，

QG+QE+E，=G，的值最小，此时=的值最小，△尸。£的周长最小为

GH,即可求解.

【详解】解：如图，分别作”关于力。对称线段/G,关于”对称线段47，连接DG、EH,

试卷第10页，共50页

由对称得：DG=DP,

EH=EP,

AG=AH=AP=4,

当G、。、E、〃四点共线时，

DG+DE+EH=GH的值最小，

此时DP+DE+EH=GH的值最小,

APDE的周长最小为G”,

如图，

由对称得：NDAG=NDAP,

NEAH=NEAP,

...Z.DAG+ZEAH=NDAP+/EAP

=/BAC,

•.』8c为等腰直角三角形，

.•./胡C=45。，

Z.GAH=ND4G+NEAH+ABAC

=450+45。

=90°,

：.GH=>IAG2+AH2

=V42+42

=4&;

试卷第11页，共50页

故答案：4夜.

【点睛】本题考查了对称的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间线段最短,

掌握性质，能用对称的性质作图，找出四点共线时取得最小值是解题的关键.

9.（2024八年级•全国•竞赛）如图,已知在中，点。、E、9分别为边48、BC、ACV.

的点，且力工、BF、C。相交于点G,如果++=,那么的值

GEGFGDGEGFGD

为.

【答案】2016

【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设S〃"G=。，

c,czHlllAGa+bBGa+cCGb+c4n用

S/cG=b,SRG=c,得出力•=------，—=——,——=-------»根据

GEcGFbDGa

AGBGCGa+ba+cb+c,«+Z?a+cb+c

—+—+—=2014,得出——+——+——=2014J,Z将----------------------化简为

GEGFGDcbacba

"瞋"：0+”+瞋2即可得出答案.

cbc

【详解】解：设s”8G=。，S3cG=b，S.BCG=C,

"G_S“BG_S“CG_S”BG+S&ACG_§“叼+S"CG_。+b

GESDBEGS^CEGS&BEG+S^CEGS^BCGC

LE-T勿BGa+cCGb+c

同理可得：而二丁'而=丁'

・.•生+空+空=2014,

GEGFGD

a+ba+cb+c

------+-------+-----=--2014.

cba

.AGBGCG

,9~GE'GF'GD

=-a--+---b----a--+---c--b---+--c-

cba

(a+b)(a+c)(6+c)

abc

_a'b+a'c+abc+ac'+ab'+abc+b'c+be'

abc

试卷第12页，共50页

a+ba+ca+b

=+++2

cbc

=2014+2

=2016.

故答案为：2016.

10.（2024九年级•全国・竞赛）如图，在正方形/BCD中，E、尸分别在边8C、CO上，且

/E4尸=45。,6。分别与月心月产交于点G、“，连接尸G、EF.下列结论:

①4H7=45。；②/FEC=2NBAE；③AH-HF=DHHG；®BE+DF=EF.

其中正确的有.（填序号）

【答案】①②③④

【分析】先证明点G、力、D、尸四点共圆，可得乙4/G=N/1OG=45。，故①符合题意；证

明△ADHsaGFH,可得AHHF=DHHG,故③符合题意：延长E8至K,使BK=DF,

连接/1K,如图，证明△/（。尸乌“8K（SAS）,AFAE知KAE（SAS）,可得EF=BE+DF；故

④符合题意；设4E8=x。，则4EK=4E/=x。，可得4%E=90。-廿，

ZraC=180°-2x°,故②符合题意.

【详解】解：•・•在正方形力?C。中，/GDF=NGDA=45°,且/6力尸=45。，

••・点G、A、D、尸四点共圆，

・•・/力产G=N4OG=45。，故①符合题意；

•/ADH=4GHF,

/.AADHSAGFH,

.AHDH

••而一丽’

AAHHF=DHHG,故③符合题意：

延长E8至K,使BK=DF,连接4K,如图，

试卷第13页，共50页

•・,四边形/4C。是正方形，

/.^ADF=^ABK=90°AD=AB,

则在△4£>尸和“酸中，

•・•AD=AB,ZADF=ZABK,DF=BK,

尸包/8K(SAS),

:•/BAK=/DAF,AF=AK,

：.NF/K=90。,

,:NE"=45°,

:.NE4F=NE4K=45。,

在△口£和△山£中，

,:AF=AK,NFAE=ZEAKAE=AE,

:.AF4E%KAE(SAS),

:.EF=KE=BE+KB,N4EK=NAEF

:.EF=BE+DF；故④符合题意：

设4E8=x。，则4EK=4EE=x。，

/.ZBAE=90°-x°,ZF£C=180°-2x°,

:・/FEC=2/BAE,故②符合题意；

故答案为：①②③④

【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,

圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

11.(2024八年级•全国•竞赛)如图，中，NB4c=60°,<C=24B,点D在"BC内,

且力。=2,=1,8=4,则入48。的面积为.

试卷第14页，共50页

A

【答案】述

2

【分析】本题考杳相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建相似三角形的正确解决本

题考的关键.

作使N"C=ND48,NECA=NDB4,连接△/再利用相似三角形

的性质和判定及勾股定理求出力以8c的长即可求解.

【详解】解：如图，作△XEC,使NE/C=ND48,NECA=NDBA,连接EO,

.FADBSAAEC,

vABAC=60°,AC=2AB,

NABC=90°,

ABADBD1小八c八,

又丁---=---=---=—,AD-2,BD=1,

ACAEEC2

/.AE=2AD=4,EC=BD=2,

乂•••/DAB=NEAC,ACAD+/DAB=60°,

/.NEAC+/CAD=60°即4EAD=60°,

XvAE=2AD,NE4D=60°,40=2,

ZJZ)E=90°,

DE=ylAE2-AD2=2>/3，

在△OC七中，DE2+EC2=DC2,

:ZDC为RaEDC,4DEC=90°，

试卷第15页，共50页

:.NADE=NCED,

过力作力尸JLEC交CE延长线于F,

Z.ADE=NF=NDEF=90°,

••・四边形4QE/为矩形，

:.AF=DE=2&EF=AD=2,FC=EF+CE=4,

在中，4c=-2+77c2=«2用+4?=2代，

:.AB=LAC=^,

2

在RtZ\/18C中，BC7AC2-A片=q(2可~(6丫=4T\，

:.S=-ABBC=

222

12.（2024八年级•全国•竞赛）如图，已知在中，4）平分AB+BD=AC,

若N84O=33。，则的度数为度.

【答案】76

【分析】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，构造全等三

角形是解答本题的关键.延长力8到E,使得BE=BD,连结力F,先证明4E=4C,再证

明△£4Z）gZ\C4O,进一步推得N4?O=2NC,最后根据三角形内角和定理，列方程并求

解得到NC=38。，由此即得力48。的度数.

【详解】延长彳8到E,使得BE=BD,连结。£,

-AB+BD=AC,

AB+BD=AB+BE=AE=AC,

4D平分/B4C,

...4EAD=/CAD=33。，

试卷第16页，共50页

vAD=AD，

：AEADGACAD（SAS）,

N£=NC,

,/RE=BD,

NE=NBDE,

zLABD=ZE+乙BDE=2ZC,

•/ZBAC+/ABD+ZC=180°,

33。+33。+2ZC+ZC=180°,

解得NC=38。，

480=2x380=76°.

故答案为76.

13.（2024九年级•全国•竞赛）如图，在等边-18C内有一点使得

N"C:N”B:NBPC=7:8:9,那么以BP,Cq的长度为边长的三角形的三个内角的

大小之比为.

【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是

解答本题的关键.将绕点〃顺时针旋转60。得到△8C。，连结股，可证得△外。是

等边三角形，从而得到60°,BP=PQ,所以△P。。就是以力入BP,CP

的长度为边长的三角形，进一步求出apoc的内角度数，即得答案.

试卷第17页，共50页

【详解】将△区“绕点B顺时针旋转60。得到△8C。，连结P。，

则80=80，/P80=60。，AP=CQ,

.•.△P4。是等边三角形，

\£BPQ=DBQP=60°,BP=PQ,

・•.△QQC就是以月产，BP,CP的长度为边长的三角形，

•;4APC"APB:NBPC=7:8:9,

7

\♦JPC一窗360=105,

24

Q

♦APB一窗360=120.

24

a

♦BPC—窗360=135,

24

\DCPQ=135°-60°=75°,

DPQC=BBQC-£BQP=f)APB-60°=60°,

\DPCQ=1800-DCPQ-£PQC=45°,

.••以/P,BP,C尸的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为

/。尸。：/尸。。：/。0。=75°:45°:60。=5:3:4.

故答案为：5:3:4.

二、单选题

14.（2024九年级•全国•竞赛）如图，已知为等腰直角三角形，斜边8C上有两点。、E

使得ND4E=45。，现将△48。绕点力逆时针方向旋转90。后得到连接。尺EF,

则下列结论正确的是（）

试卷第18页，共50页

BD

①"BESAF4E,②△ADEq&FE，③BD+CE=DE,®BD2+CE2=DE2.

A.①②B.®®C.①®@D.②③④

【答案】C

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的

性质，A8C为等腰直角三角形，斜边8C,得到48，=4。=45。结合/。力后=45。，

AC=AB

得到NO/E=乙4BE=45°,结合NDEA=ZAEB,得到“BEs^FAE；根据NC4/7=/BAD,

AF=AD

可证"8。g"B(SAS),得至*BD=CF,NB/iD=NC4F,结合N"E=45。，ZBAC=90°

得到/助O+N£4C=45。，继而得到/。少+/£4。=45。，从而ND4E=NE"=45。,结

AE=AE

合•NEAF=/EAD,可证△/。后会△力所(SAS),得到OE=E/，根据

AF=AD

ZABC=ZACB=ZACF=45°,可得NECF=4CB+乙4CF=90。,继而得到

CF、CE2=EF2,等量代换可得Bb+CE、。炉，从判断③④，计算即可.

【详解】•・・“4C为等腰直角三角形，斜边8C,

/.AB=AC,ZABC=Z.ACB=45°

VNDAE=45°,

工/DAE=/ABE=45°,

V/DEA=NAEB,

AABES^FAE；

故①正确；

AC=AB

V-/CAF=/BAD,

AF=AD

.・•△<8QgA/b(SAS),

试卷第19页，共50页

•・.BD=CF,ABAD=Z.CAF,

VZDAE=45°,NBAC=90°,

・•・/BAD+NEAC=45。,

:.ZCAF+ZEAC=45°,

・•・/DAE=NEAF=45。,

AE=AE

(Z.EAF=Z.EAD,

AF=AD

.・.△力OEg△/尸f(SAS),

/.DE=EF,

VNABC=ZACB=AACF=45°,

・•・AECF=ZACB+ZACF=90°,

：-CF2+CE2=EF2.

222

­\BD+CE=DEf

故②④正确；③错误；

故选C.

15.(2024八年级•全国•竞赛)点。为A3c内任点，设O"O8+OC=S38+8C+4C=S2,

则下列关系正确的是().

A.S222dB.邑>2£C.$2<2$42s2D.S2<25,<2S2

【答案】D

【分析1本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小

于第三边是解题的关键.

如图：。4+。4>片区OB+OC>BCOC+04>/C然后求和可判定A选项；延长80交4c

于点G,则川5+4G>〃0+0G,OG+GC>OC,然后通过作差判定B、C、D即可.

【详解】解：如图：OA+OB>AROB+OC>BCOC+OA>AG

三式相加得：2(0A+0B+0C)>AB+BC+ACfgp25,>S2,故A选项不符合题意；

延长40交于点G,^AB+AG>BO+OG,OG+GC>OC,

两式相加并整理得：AB+AC>OB+OC.

同埋：A^+BOOA+UC,AC+8OUA+UB.

试卷第20页，共50页

把这三式相加得：2（4?+〃C+/C）>2（0力+O8+OC）,则S2>y,故B、C选项不符合题

意，D选项符合题意.

故选：D.

16.（2024九年级•全国•竞赛）如图，点E在正方形力的边C。（不与C、。重合）上运

动，以CE为边向外作正方形CEFG,BE交DG于HMH交BD于M,连CM、CH.下列结

论：

®BE1DG-,②乙4〃。=45。：③点E为ACMH的内心；④AH-CH=^DH,其中正确

的结论个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先证明△BEC/DGC,可得NE8C=ZCDG,再证明ZDHE=90°,即8E_LGO,

故①正确；证明A,B,",。四点共圆，可得4"。=48。=45。，故②正确：证明"E

平分/必〃C,如图，连接ME,再证明CE平分NMCH,可得E为〃的内心，故③正

确，如图，过。作DS_L。"交力8于S,证明5"=扬汨，^DAS^DCH,可得力S=C〃，

可得④正确.

【详解】解：•・•正方形48C。，正方形CEFG,

：,BC=GC,CE=CG,/BCE=ZDCG=90°,ZBAD=90°,/4BO=45。，

・••丛BECQ丛DGC,

试卷第21页，共50页

，ZEBC=ZCDG,

JZ.CDG+NBEH=NEBC+/BEC=90°,

:•NDHE=90。,即6£_LGO,故①正确；

V/BAD+/BHD=180°,

AA,B,H,。四点共圆，

AZAHD=ZABD=450,故②正确；

:.ZZ?/7J=90o-45o=45°,

/BHD=/BCD=90°,

:・B,C,H,。四点共圆，

/.Z.BHC=ZBDC=45°,NDCH=NDBH,

:.HE平分/MHC,

:.ZM//C=45°+45°=90°,

如图，连接ME,

/AHB=/BDC=45。,

・•・〃，E,H,。四点共圆，

・••NEMD=NEHD=9Q0,

NBME=90°=/.BCD,

:.B,C,E,A/四点共圆，

:.ZMBE=/MCE,

•；Z.DCH=ADBH,

・•・ZDCH=NDCM,

平分/MCH,

・•・E为丛MCH的内心，故③正确，

如图，过。作交Z8于S,

试卷第22页，共50页

/.Z/f£>C=Z5£>//=90°,

・•・ZADS=ACDH,ADSH=ADHS=45°,

,SH=42DH，

,:A,8,",。四点共圆，

/./LDAH=/DBH,而ZDCH=/DBH,

：.NDAH=NDCH,

,:AD=CD,

Z.ADASADCH,

・•・AS=CH,

•­AH—CH=AH-AS=SH=42DH，故④正确；

故选D

【点睛】本题考杳的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与

性质，勾股定理的应用，三角形的内心的判定，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解

本题的关键.

17.（2024八年级•全国•竞赛）如图,在直角吐8八中,ZA=90°fAB=AC=S,点。为斜

边8c上的中点，点、E、歹分别在直角边力8、力C上运动，且保持8石=片厂，连接

DE、DF、EF,在点£F的运动过程中，有下列结论：①SEb为等腰直角三角形；②四

边形中不可能为正方形；③四边形力EQ/的面积保持不变；④EF长度的最小值为4；

⑤△月E/面积最大值为8.其中正确的结论有（）

试卷第23页，共50页

【答案】C

【分析】①连接力。，根据等腰直角三角形的性质就可以得出

NB=4C=/BAD=NCAD=45。,//。8=90。.就可以得出0△力。尸，就可以得出

Z1=Z2,DE=DF,得出NEDF=90。,而得出结论；

②当反F是AB、4C的中点时，四边形4月。尸是正方形；

③由△友）£户可以得出四边形/EZW的面积等于△川？O的面积而得出结论；

④设防=/"=x,根据勾股定理就可以得出EF=卜+（1）2=^2（X-4）2+32，得出"'的

最小值为4上，进而得出结论；

⑤设BL"'"，尸面积的S,由三角形的面积公式得s=@普=-；（x-4）2+8,

故可以得出结论.

【详解】解：①连接40.

VZJ=90°,AB=AC=St

:.Z5=ZC=45°.

•・•点。位为斜边〃。上的中点，

:・NB4D=NC4D=45°,NADB=90?BD=CD=AD=^-BC.

2

在△"£)£和△力O/7中，

BD=AD

-N8=Z.DAF,

BE=AF

：.^BDE^ADF(SAS),

/.Z1=Z3,DE=DF.

'：Zl+Z2=90°,

Z2+23=90°,

••・/EDF=90。,

•••△。厂方是等腰直角二角形，故①正确;

试卷第24页，共50页

②当E、F是4B、4c的中点时，DE=AE=AF=DF=LAB='AC.

22

VZEDF=90°,

・••四边形彳£Z）尸是正方形，故②错误；

③：四边形AEDF的面积=S“即+S“H,

••・四边形AEDF的面积=S.AED+S.BED.

QXQ

・•・四边形AEDF的面积=SAABD=—=32,

・•・四边形4立中的面积保持不变，故③正确；

④设施="*=和由勾股定理，得

EF=6+（8,丫）2="（I）?+32,

当x=4时，E尸的最小值为4夜工4，故④错误；

⑤设8£=力r=x,面积的S,由题意，得

（8-x）x1、，

5=^——^-=—z（X-4）-+8,

22、7

V-1（X-4）2<0,

・・・x=4时，S最大=8,故⑤正确.

・•・正确的共有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角

形的面积公式的运用，勾股定理的运用，完全平方公式的运用，解答时灵活运用等腰更角三

角形的性质求解是关键.

18.（2024八年级•全国•竞赛）如图，在AJBC中,NB4c=90°,乙480=30。，AB=BD=AC,

力£_1_力。且力£：=力力，连接C。、CE、DE,则下列结论：①/8/E=165°,②AJCE为

等腰三角形，③BD上CE,®AD=CDf其中正确的是（）.

试卷第25页，共50页

E

A

A.①②③B.®®®

C.②③④D.®®@@

【答案】D

【分析】①根据48。=30。，AB=BD=AC,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理

即可求出=165。，从而得证结论正确；

②利用SAS求证空△/1CE即可得出结论；

③延长8。交力。于点G,交CE于点F,根据力。丝△(?力E,得出乙4。七=乙4%>,根据

NAGB=NCGF,得出N84G=NC/G=9()。，即可证明结论；

④过点。作。“2力4于点作QN工力C于点M证明四边形/"QN为矩形，得出

AN=DM,根据直角三角形的性质得出。根捱/C=BQ,得出力N=D"=；/1C,

证明DV垂直平分力C,即可得出结论.

【详解】解：①•・•450=30°,AB=BD=AC,

：.4BAD=ZLBDA=1(l80°-30°)=75°,

VAE1AD,

/.ZDAE=90°,

AZBJE=90°+75°=165c,故①正确;

②•••/8/lC=90。，/胡£=165。，

/.ZC4E=165°-90°=75°,

工/BAD=NCAE,

•：AB=AC,AD=AE,

：.A5J£>^ACJF(SAS),

:・BD=CE,

VAC=BD,

:.AC=CE,

试卷第26页，共50页

为等腰三角形，故②正确；

③延长8。交力。于点G,交CE于点F,如图所示：

•・•"AD知CAE,

/.ZACE=/ABD,

♦；ZAGB=NCGF,

又VAABD+NAGB+/BAG=/ACE+ACGF+Z.CFG=180°,

/BAG=/CFG=900,

：.BDLCE,故③正确.

④过点D作DMJ.AB于点M,作DN1AC于点N,如图所示:

J四边形4WQN为矩形，

/.AN=DM,

/MBD=30°,4BMD=90°,

，DM=、BD,

2

VAC=BD,

：.AN=DM=-AC

2t

/.AN=CN,

・•.ON垂直平分力C,

AAD=CD,故④正确.

试卷第27页，共50页

综上分析可知，正确的结论为①@③④.

故选：D.

【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判

定与性质，含3()度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等

知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题.

19.(2024九年级•全国•竞赛)如图，在中，=历1C=70。，点。是内

一点，已知ZABD=25°,乙BCD=5。，如果4。=2,AC=a+瓜a>0),那么8c?_4炉=().

A.a2+3B.2&+2C.2岛+1D.2瓜

【答案】B

【分析】过点。作。/18C,延长3。，作/员4c的平分线力£\交的延长线于点£

连接证明△力阴？g2\力。后，得出//1。£=/48£=25。，证明"CEGAOCE(AAS),

得出4C=CO,根据直角三角形性质得出。"=34。=1,根据勾股定理求出

BF=^BD2-DF2=73»得出C尸=a,根据勾股定理求出

AB2=AC2=CD1=CF1+DF2=672+1,最后求出〃。？一力"=(。+行『—/一1=26〃+2即

可.

【详解】解：过点。作。尸±BC,延长80,作/历iC的平分线彳E,交8。的延长线于

点、E,连接CE,如图所示：

试卷第28页，共50页

AB=AC,NBAC=700,

:.NBAE=Z.CAE=35°,/ABC=ZJC5=y(180°-70°)=55°,

•・•等腰三角形“三线合一”，

/.AE垂直平分BC,

:•BE=CE,

,:AE=AE,

:./\ABEWAACE,

:.4ACE=/ABE=25°,

VZJC5=55°,Z5CD=5°,

:.ZDCE=55°-25°-5°=25°,

/.NACE=NDCE,

*//DBF=/ABC-Z.ABD=55°-25°=30°,

/.Z.EDC=/DBF+/BCD=35°,

工ZEDC=ZEAC,

VEC=EC,

：."CE/DCE(AAS),

：.AC=CD,

•・•在RtABQE中，ZDBF=30°,BD=2,

・•・DF=-BD=\,

2

•**BF=>lBD2-DF2=x/3，

V8C=Q+5

/.CF=a,

/.AB2=AC2=CD2=CF'+。尸2=+1,

:.灰?2一/©=(。+可-a2-l=20+2,

故选:B.

【点睛】本题主要考瓷了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，

含30。角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三

角形，熟练掌握二角形全等的判定方法.

试卷