2024年甘肃省武威市中考数学试题（含答案）

武威市2024年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试数学试卷

考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无

效，

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.下列各数中，比一2小的数是（）

A.-1B.-4C.4D.1

2.如图所示，该几何体的主视图是（）

/从正面看

二

D.

3.若NA=55。，则/A的补角为()

A.35°B.45°C.115°D.125°

4计算：—--------=()

2a-b2a-b

A.2B.2a-bD.

2a-b2a-b

5.如图，在矩形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O，Z4BZ）=60°,AB=2,则AC的长为

()

A.6B.5C.4D.3

6.如图，点4B,C在。。上，入。，。8,垂足为。，若/4一35。，则NC的度数是（)

A.20°B.25°C.30°D.35°

7.如图1,“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北耒进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有匕

张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如

图2给出了《燕儿图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则

y与x的关系可以表不为()

肃

旅

能

赏

佑

后/b

Aw

D.y=4x+l

B.2016年中国农村网络零售额最诋

C.2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加

D从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元

9.敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它

以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长1()步到6()步的矩形田地面积，极大地提

高了农田面积的测量效率.如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都川步来表示，A区域表

示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15,16),那么有序数对记为(12,17)对应的

田地面积为()

A.一亩八十步B.一亩二十步C.半亩七十八步D.半亩八十四步

10.如图1,动点夕从菱形ABCQ的点A出发，沿边A8fBC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的

运动路程为x,P。的长为户y与x的函数图象如图2所示，当点尸运动到BC中点时，PO的长为

（）

D.272

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：21—8=

12.已知一次函数y=-2x+4,当自变量x>2时，函数），的值可以是（写出一个合理的值即

可）.

13.定义一种新运算*,规定运算法则为：m^n=t?r,>-mn（m，〃均为整数，且〃［工0）.例:

2*3=23-2x3=2，则（-2）*2=.

14.围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察机盘，白方

如果落子于点的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.（填写A,B,C,。中的一处即可，4,

B,C,D位于棋盘的格点上）

IIIIII

…■HO""…e""抉t…

IIIIII

IIIIII

…H…/・出“"O——…

IIIIII

15.如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度），（单

位：m）与距离停车棚支柱A0的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系），=-0.02/+0.3犬+1.6的

图象，点8（6,2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m,0DE=1.8m

的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

图1图2

16.甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇

面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形OBC加扇形QAO有相同的圆心O,且圆心角

N0=100。，若OA=120cm,08=60cm,则阴影部分的面积是cm2.（结果用兀表示）

三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.计算:V18-Vi2x

2（x-2）<x+3

18.解不等式组：,x4-1

----<2,x

2

19.先化简，再求值：［（2〃+/2）2-（2a+/?）（2〃-/?）］+2b,其中。=2,Z?=-1.

20.马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细

致，图案繁缗多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳

动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三

等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知0O和圆上一点M.作法如下：

①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交。。于A,B两点；

②延长M0交OO于点G

即点4,B,C将。。的圆周三等分.

彩陶纹样三点定位法三等分圆周

图1图2

（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写

作法）;

（2）根据（1）画出的图形，连接AB,AC,BC,若。。的半径为2cm,则的周长为

cm.

21.在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1,2,3,4.甲乙两

人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两

球上的数字之和为偶数，则乙胜.

（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.

22，中国将力争2030年前实现碳之峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资

源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，

它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风

电塔筒AH垂直于地面，测角仪CO，EF在4”两侧，CD=EF=1.6m,点。与点E相距182m（点

C,从E在同一条直线上），在。处测得简尖顶点A的仰角为45°,在尸处测得筒尖顶点A的仰角为53。.求

434

风电塔筒47的高度.（参考数据：sin53°«-,cos53°^-,tan53°«-.）

553

四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

23.在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的

得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下:

信息•：甲、丙两位选手的得分折线图:

A分数

信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0,8.9,8.3；

信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下:

'手

统'甘

量\甲乙丙

平均

m9.18.9

数

中位

9.29.0n

数

根据以上信息，回答下列问题:

（1）写出表中小，〃的值：加=,〃=；

（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；

（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.

24.如图，在平面直角坐标系中，将函数）'=依的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y=+〃的

图象，与反比例函数y=—(x>0)的图象交于点A(2,4).过点8(0,2)作x轴的平行线分别交y二以+〃

人

k

与y=-(x>0)的图象于C,。两点.

.1

(1)求一次函数y=cuc+b和反比例函数y=-的表达式;

x

(2)连接4力，求△ACD的面积.

25.如图，A3是OO的直径，=点E在AO的延长线上，且NAZX?=NAEB.

(1)求证：巫是。。的切线；

(2)当OO半径为2,3C=3时，求tan/AEB的值.

26.【模型建立】

(1)如图1,已知△ABE和△BCD,ABJ.BC,AB=BCCDA.BD,AE1BD.用等式写出线段

AE，DE，CO的数量关系，并说明理由.

［模型应用】

(2)如图2,在正方形43co中，点E,r分别在对角线8。和边CO上，AE±EF,AE=EF.用等式

写出线段BE,AD，DF数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)如图3,在正方形A8CD中，点E在对角线3。上，点尸在边CO的延长线上，AEA.EF,AE=EF.ffl

等式写出线段的，AD,O尸的数量关系，并说明理由.

27.如图1,抛物线），=〃（x交才轴于0,A（4,0）两点，顶点为B（2,2G）.点C为08的中

（1）求抛物线＞=。*一力）2+%的表达式；

（2）过点C作C〃_LQ4,垂足为〃，交抛物线于点£求线段CE的长.

（3）点〃为线段04上一动点（0点除外），在OC右侧作平行四边形OC"）.

①如图2,当点夕落在抛物线上时，求点〃坐标；

②如图3,连接33,BF，求50+斯的最小值.

武威市2024年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试数学试卷

考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无

效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1.下列各数中，比一2小的数是（）

A.-IB.-4C.4D.1

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了有理数匕较大小，根据正数大于0,。大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大

其值越小进行求解即可.

【详解】解；•.1T=4>[-2|=2>|T=1,

-4<-2<-1<1<4，

・•・四个数中比一2小的数是T，

故选:B.

2.如图所示，该几何体的主视图是（）

/从正面看

【答案】C

【解析】

【分析】本题考杳了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【详解】解：从正面看得到是图形是：

故选：C.

3.若NA=55。，则/A的补角为(）

A.35°B.45°C.115°D.125°

[]D

【解析】

【分析】根据和为180。的两个角互为补角，计算即可.

本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】ZA=55%

则NA的补角为为0。-55。=125。.

故选:D.

4a2b

4.计算:

2a-b2a-b

2a-b

A.2B.2a-bC.-----D.

2a-b2a-b

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

【详解】解：W-------

2b=Aa-2b=2（2a-b）=2^

2a-b2a-b2a-b2a-b

故选：A.

5.如图，在矩形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O,Z4BZ)=60°,A3=2,则AC的长为

()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据矩形48co的性质，得QA=OB=OC=OO=，AC,结合NAM=60。，得到

2

是等边三角形，结合A8=2,得到。4=OB=A8=!AC,解得即可.

2

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

［详解】根据矩形ABC力的性质，得。4=OB=OC=。。=-4C,

2

■:ZABD=60°,

・•・"08是等边三角形，

•；A8=2,

：.0A=0B=AB=-AC=2,

2

解得4c=4.

故选C.

6.如图，点A,B,。在。。上，AC1OB,垂足为。，若NA=35。，则/C的度数是（)

A.20°B.25°C.30°D.35°

[]A

【解析】

【分析】根据NA=35。得到NO=70。，根据ACJ_得到NCOO=90。，根据直角三角形的两个锐

角互余，计算即可.

本题考查了圆周角定理，直角一角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】•・・/4=35。,

・•・ZO=70°,

•：ACLOB,

・•・/COO=90。，

・•・ZC=90°-ZO=20°.

故选c.

7.如图1,“燕儿”即宴儿，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕儿”一共有七

张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如

图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则

y与x的关系可以表示为（）

Cy-+

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍•，则小桌的长是2x,再根

据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可.

【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x,

/.y=x+x+2x=4x,

B.2016年中国农村网络零售额最低

C.2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加

D.从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元

【答案】D

【解析】

【分析】根据统计图提供信息解答即可.

本题考查了统计图的应用，熟练掌握统计图的意义是解题的关键.

【详解】A.根据统计图信息，得到8945Vl2449Vl3679Vl7083Vl7946V205（X）v2170（）<249（）（）,

故2023年中国农村网络零售额最高，正确，不符合题意；

B.根据题意，8945<12449<13679<17083<17946<20500<2170（X24900,

故2016年中国农村网络零售额最低，正确，不符合题意；

C.根据题意，8945<12449<13679<17083<17946<20500<21700<24900,

故2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加，正确，不符合题意；

D.从2021年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元，原说法错误，符合题意；

故选D.

9.敦煌文书是华夏民族引以为傲艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图I所示，它

以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地杳出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提

高了农田面积的测量效率.如图2是匏原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表

示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩,用有序数对记为（15,16）,那么有序数对记为（12,17）对应的

田地面积为（）

A.一亩八十步B.一亩二十步C.半亩七十八步D.半亩八十四步

【答案】D

【解析】

【分析】根据（15,16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可.

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键.

【详解】根据（15,16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故(12,17)对应的是半亩八十四步，

故选D.

10.如图1,动点。从菱形A3CZ)的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止.设点P的

运动路程为％PO的长为户y与4的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，PO的长为

()

A.2B.3C.75D.2立

【答案】C

【解析】

【分析】结合图象，得到当尢=0时，PO=AO=4,当点P运动到点B时，PO=BO=2,根据菱形

的性质，得NAOB=N5OC=90。，继而得到AB=BC=+OB?=2石，当点。运却到3c中点

时，PO的长为=石，解得即可.

2

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，

直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】结合图象，得到当x=0时.，PO=AO=4,

当点P运动到点B时，尸0=30=2,

根据菱形的性质，得NAQ8=/BOC=90。，

故AB=BC=dol+OB?=2、S,

当点P运动到BC中点时，尸。的长为二石，

2

故选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11.因式分解：2/一8=.

【答案】2(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可.

本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键.

【详解】2X2-8=2(X2-22)

=2(x+2)(x-2).

故答案为:2(x+2)(x-2).

12.已知一次函数y=-2x+4,当自变量x>2时，函数y的值可以是(写出一个合理的值即

可).

【答案】一2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据x>2,选择x=3,此时y=-2x3+4=-2,解得即可.

本甩考查了函数值的计算，正确选择自变量是解题的关键.

【详解】根据x>2,选择x=3,此时y=-2x3+4=-2,

故答案为：一2.

13.定义一种新运算"规定运算法则为：n^n=m,,-mn(加，〃均为整数，且〃?。0).例：

2*3=23-2x3=2，则(-2)*2=.

【答案】8

【解析】

【分析】根据定义，得(―2)*2=(—2)2—2x(—2)=8,解得即可.

本题考查了实数新定义计算，正确理解定义是解题的关键.

【详解】根据定义，得(―2)*2=(—2)2—2x(—2)=8,

故答案为：8.

14.围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方

如果落子于点的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A,B,C,加中的一处即可，A,

B，C,。位于棋盘的格点上)

【答案】A##C

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义解答即可.

本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B,。处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，

故答案为：A或C.

15.如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度），（单

位：m）与距离停车棚支柱40的水平距离X（单位：m）近似满足函数关系），=-0.02/+0.31+1.6的

图象，点3（6,2.68）在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长C£>=4m，高。E=1.8m

的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

图1图2

【答案】能

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x=2时，y的值，若此时），的值大于1.8,

则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可.

【详解】解：,.・a）=4m,8（6,2.68）,

.*.6-4=2,

在y=—0.02/+0.31+1.6中，当x=2时，y=-0.02x22+0.3x2+1.6=2.12,

・・•2.12>1.8,

・•・可判定货车能完全停到车棚内，

故答案为:能.

16.甘肃临夏砖麟是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇

面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形OBC即扇形04。有相同的圆心。，且圆心角

Z6>=100°,若。4=120cm,OB=60cm,则阴影部分的面积是cm2.(结果用〃表示)

【答案】3000万

【解析】

【分析】根据扇形面积公式计算即可.

本题考查了扇形面积公式，熟练掌握公式是解题的关键.

【详解】•・•圆心角NO=100。，OA=120cm,08=60cm,

二阴影部分的面积是吟了100x万x602

360

二3000%cnr

故答案为：3000〃.

三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.计算:

【答案】0

【解析】

【分析】根据二次根式的混合运算计算即可.

木题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】V18->/l2x=V18-^12x|=>/18->/[8=().

2（x-2）<x+3

18.解不等式组：,x+1

——<2x

2

【答案】\<X<1

3

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

2（x-2）<x+3®

【详解】解：x+1

----<2X2）

2

解不等式①得：xv7,

解不等式②得：x>\,

3

・•・不等式组的解集为gvx<7.

3

19.先化简，再求值：［（2〃+Z?）2-（2a+3（2a-/?）］+2b,其中a=2,b=-\.

【答案】2a+b,3

【解析】

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，

再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可.

【详解】解：［（2〃+1）2—（2〃+匕）（2”6）卜2方

=［（4/+4ab+〃）一（4/一从）］+2b

=（4c/2+4ab-\-b2-4c『+b~^2b

=（4必+2。2户2匕

=2a+b,

当〃=2,。=-1时，原式=2x2+（-l）=3.

20.马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细

致，图案繁策多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳

动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三

等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知。。和圆上一点M.作法如下：

①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交。。于A,B两点;

②延长MO交0O于点G

即点A,B,C将。。的圆周三等分.

彩陶纹样三点定位法三等分圆周

图1图2

（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写

作法）

（2）根据（I）画出的图形，连接AB,AC,BC,若。。的半径为2cm,则的周长为

cm.

【答案】（1）见解析（2）66

【解析】

【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可：

（2）连接AM，设人民的交点为。，根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到AO_LOM,根据

的半径为2cm,MC是直径，aABC是等边三角形，计算即可.

本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握作图和圆的性质是解题的关键.

【小问1详解】

根据基本作图的步骤，作图如下：

A

则点4,B,。是求作的。。的圆周三等分点.

【小问2详解】

连接AM，设的交点为以

根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到AO_LOM,

•・・0O的半径为2cm,MC是直径，AA/C是等边三角形,

ZC4M=90°,/CMA=60°,MC=4cm,

AAC=MCsinZCM4=sin60°x4=2>/3(cm),

・•..ABC的周长为A8+8C+AC=66(cm),

故答案为：6\/3-

A

21.在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1,2,3,4.甲乙两

人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两

球上的数字之和为偶数，则乙胜.

（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由.

7

【答案】（1）—

12

（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析

【解析】

【分析】本题主要考杳了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：

（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率

计算公式求解即可；

（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论.

【小问I详解】

解：画树状图如下：

开始

甲I234

乙234I34124123

和345356457467

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有7种，

・••甲获胜的概率为二；

12

【小问2详解】

解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：

由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有5种，

，乙获胜的概率为2，

57

•—<—，

1212

・•・甲获胜的概率大于乙获胜的概率，

・•・这个游戏规则对甲乙双方不公平.

22中国将力争2030年前实现碳之峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资

源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，

它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风

电塔筒AH垂直于地而，测角仪8，石厂在八〃两侧，8=跖=1.6m,点C与点E相距182m（点

C,H,E在同一条直线上），在。处测得简尖顶点A的仰角为45°,在尸处测得筒尖顶点A的仰角为53。.求

434

风电塔筒A”的高度.（参考数据：sin53°«-,cos53°«-,tan53°®-.）

553

【答案】105.6m

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点。作于G,连接

FG,则四边形CZX汨是矩形，可得GH=CO=1.6m,DG=CH,再证明四边形EFG"是矩形，则

FG=HE,ZHGF=90°,进一步证明。、G、尸三点共线，得到。/=182m；设AG=jm,解

33

RtaAOG得到Z）G=xm；解RtAA/G得到bG乏一xm；则x+-x=182,解得x=104,即

44

AG=104m,则AH=KG+GH=105.6m.

【详解】解：如图所示，过点D作DG工AH于G,连接尸G,则四边形CDG//是矩形,

：,GH=CD=\,6m,DG=CH,

*.*CD=EF=1.6m,

・•・GH=EF,

由题意可得G"_LCE,EFVCE,

・•・GHHEF,

・•・四边形七尸是矩形，

:,FG=HE,"G/=90。，

・•・/DGH+AFGH=180°,

...D、G、尸三点共线，

：・DF=DG+FG=CH+HE=CE=T82m；

设AG=A1Y1,

AQ

在Rt^ADG中，tanZADG=——,

DG

x

・•・tan45°=—

DG

:.DG=xm；

A（J

在RtA/AFG中，tanZAFG=——，

FG

x

・•・tan53°=—

FG

3

FG«—xm：

4

3

/.x+—x=182,

4

解得x=104,

，AG=104m,

/.AH=AG+GH=\05.6rn,

...风电塔筒AH的高度约为105.6m.

四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

23.在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的

得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：

信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：

A分数

（1）写出表中〃?，〃的值：m=,n=；

（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手发挥的稳定性更好（填“甲”或"丙”）：

（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认应该推荐哪位选手，请说明理由.

【答案】（1）9.1；9.1

（2）甲（3）应该推荐甲选手，理由见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差与稳定性之间的关系：

（1）根据平均数与众数的定义求解即可；

（2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；

（3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可.

【小问1详解】

9.2+8.8+9.3+8.7+9.5

解：由题意得，m=9.1；

5

把丙的五次成绩按照从低到高排列为：83,8.4,9.1,93,9.4,

・•・丙成绩的中位数为9.1分，即〃=9.1；

故答案为:9.1；9.1；

【小问2详解】

解：由统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好，

故答案为：甲；

【小问3详解】

解：应该推荐甲选手，理由如下：

甲的中位数和平均数都比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，

・•・应该推荐甲选手.

24.如图，在平面直角坐标系中，将函数》'=5的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y=+〃的

图象，与反比例函数》=々1>0）的图象交于点A（2,4）.过点8（0,2）作x轴的平行线分别交>=办+〃

X

与y=V（X>0）的图象于C,。两点.

-X

（1）求一次函数y=办+〃和反比例函数y二七的表达式；

x

（2）连接A。，求△ACO的面积.

【答案】⑴一次函数y=+〃的解析式为y=5犬+3；反比例函数y=?x>0）的解析式为），=[%>0）；

（2）6

【解析】

分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：

（1）先根据一次函数图象的平移规律），=ca+〃=aY+3,再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析

式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；

（2）先分别求出C、。的坐标，进而求出CO的长，再根据三角形面积计算公式求解即可.

【小问I详解】

解：•・•将函数丁=数的图象向上平移3个单位长度，得到一次谑数y=+b的图象,

/.y=ax+b=ax+3,

把4（2,4）代入），=奴+3中得：2。+3=4,解得〃=g,

・•・一次函数），=ar+〃的解析式为y=gx+3；

把A（2,4）代入），」（x>0）中得：4=^（x>0）,解得攵二8,

x2

»Q

:,反比例函数），=>o）的解析式为y=一（工>0）；

xX

【小问2详解】

解：・・・3C〃x轴，8（0,2）,

・••点C和点。的纵坐标都为2,

在y=；x+3中，当y=；x+3=2时，x=-2,即0（一2,2卜

QQ

在y=—（工>。）中，当y=—=2时、x=4,即。（4,2）；

XX

ACD=4-（-2）=6,

VA（2,4）,

•••5%8=383-）匕）二卜6'（4-2）二6.

25.如图，A8是OO的直径，BC=8O，点后在AO的延长线上，且NAT>C=NAE8.

（1）求证：8E是0O的切线；

（2）当OO的半径为2,3c=3时，求tanZA"的值.

【答案】（1）见解析（2）tanZAEB=—

3

【解析】

【分析】（1）连接50,OC=OD,证明。8垂直平分。。，得出NAF7）=90。，证明C力〃BE,得出

ZABE-ZAFD—900,说明石，即可证明结论;

(2)根据AB是。。的直径，得出ZACB=90°,根据勾股定理求出人。=JAB?-BC2=依-学=近,

根据三角函数定义求出tanZABC=—=2^,证明ZAEB=ZABC,得出

BC3

tan/AEB=tanZABC=立即可.

3

【小问I详解】

证明：连接〃D,OC=OD,如图所示：

•;BC=BD，

・•・BC=BD,

•：OC=OD,

・••点。、B在的垂直平分线上,

・•・08垂直平分CO,

・•・ZAfZ)=90°,

,:ZADC=ZAEB,

:.CD//BE,

:.ZABE=ZAFD=90。,

・•・ABYBE,

•・•AB是。。的直径，

:.BE是O。的切线；

【小问2详解】

解：：。。的半径为2,

，AB=2x2=4,

•・•A3是。。的直径，

・•・ZACB=90°,

•・・BC=3,

：•AC=JAB2-BC2=V42-32=V7.

・•・tanAABC=—=—，

BC3

7AC=AC,

・•・ZADC=ZABC,

•・•ZAEB:ZADC,

ZAEB=ZABC,

立

tanZ.AEB=tan/ABC=T

【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定,

平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

26.【模型建立】

图2图3

△ABE和ABCD,AB1BC,AB=BCCDLBD,AE_LBO.用等式写出线段

AE，DE,CO的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,在正方形A3CD中，点£,尸分别在对角线8。和边CO上，AE±EF,AE=EF.用等式

写出线段的，40，。月的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

（3）如图3,在正方形ABC力中，点E在对角线BD上,点F在边C。的延长线上，AEA.EF,AE=EF.用

等式写出线段防，AD,。尸的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）£>£+8=AE,理由见详解，（2）AO=石+0尸，理由见详解，（3）AD=4^BE-DF，

理由见详解

【解析】

【分析】（1）直接证明AABE^ABCD,即可证明；

（2）过E点作点M，过E点作EN上CD于点N,先证明Rl^AEMtRIAFEN,可得

AM=NF,结合等腰直角二角形的性质可得；MD=DN=—DENF=ND-DF=MD-DF,即

2

有NF=AM=AD-MD=AD-^DE，NF=-DE-DF，进而可得

22

AD—旦DE=^DE-DF，即可证；

22

（3）过A点作A"_LBD于点〃，过尸点作FG工BD,交8。的延长线于点G,先证明&HAE9AGEF,

再结合等腰直角三角形的性质，即可证明.

【详解】（1）DE+CD=AE,理由如下：

•:CD工BD,AE-LBD^AB，BC,

・•・ZABC=ZD=ZAEB=90。，

:.ZABE+NC8D=NC+NCW=90°,

・・・Z/WE=NC,

,:AB=BC,

:.△ABEABCD,

/.BE=CD,AE=BD，

・•・DE=BD-BE=AE-CD,

:.DE+CD=AE；

<2）AD=®BE+DF，理由如下；

过E点作EM_LAO于点M,过E点、作ENtCD于点、N,如图，

•・•四边形ABC力是正方形，是正方形的对角线，

/.ZADB=ZCDB=45°,8力平分/A。。，ZADC=90°,

・•・42AD=y/2CD=BD^

即DE=BD-BE=CAD-BE，

VENLCD,EM_LAO,

・•・EM—EN,

,:AE=EF，

・•・RUAEM^RUFEN，

/.AM=NF,

,:EM=EN,ENLCD,EMLAD,ZADC=90°,

・•・四边形EWON是正方形，

・•・ED是正方形EMDN对角线,MD=ND,

；・MD=DN="DE，NF=ND-DF=MD-DF,

2

:・NF=AM=AD-MD=AD-包DE,NF=-DE-DF，

22

AD--DE=—DE-DF即AD=8DE—DF，

22

DE=4^AD-RE.

:.AD=-BE）-DF,

即有4。=血5£+。/；

（3）AD=®BE-DF，理由见详解，

过A点作47J.于点从过尸