高考数学考点预测-解三角形（解析版）

第3讲解三角形

高考预测一：三角形中的求值问题

类型一：三角恒等变换

1.在&48C中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos4-2cosc2c-a

cos6~b~

（1）求包C的值;

sinA

(2)若COSB=Lb=2,求AJBC的面积.

4

【解析】解：(1)8S、-2cosC=—=2sinC-sin/

cos8bsinB

cosJsin5-2sin8cosc=2cos5sinC-sin/Icos5，

sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosC+2cosBsinC，

sin(4+8)=2sin(B+C),

二.sinC=2sinA,

叱=2；

sinX

(2)由(1)可得c=2a

由余弦定理可得从=a2+c2-laccosB，

4=/+4/-a

解得4=1,则c=2,

,/cosB=—,

4

.勘V15

..sinB=---,

4

,Ucsin8=Llx2金正

2244

2.在&48c中，内角4、B、C所对的边分别为〃b、c>已知b,

cos2A-cos2B=百sinAcosA-y[3sinBcosB.

（I）求角。的大小;

(II)若c=由,siniA=—,求A/14C的面积.

2

【解析】（本题满分为12分）

解：(I)vcos2A-cos2B=yf3sinAcosA-y/3sinBcosB.

1+cos2J1+COS285/3.G.八

/.-------------------------------=——sin2.4-------sinIB,...2yr

2222

可得：cos2A-cos2B=>/3sin2A-y/3sin2B,可得：sin(2J--)=sin(2Z?--),…4分

66

•••A48c中，a手b,可得力工8,

2A--+2B--=7V,

66

A+B=,可得；C=2■…6分

33

(H)由(I)可得，A+B=g,

vsinA=,可得：A=—fB=»...8分

2412

7乃乃乃V6+V2公

12434

vc=V3,由正弦定理‘一二」一，可得：。=&,…11分

sinAsinC

Sya。=；acsinB=3[…时分

(注：解法较多，酌情给分，直接sinK=sin75o="+&的乜给分)

124

3.A48C的内角力，B,C的对边分别为a,b,c.®(sinB-sinC)2=sin2J-sin^sinC.

(1)求力；

(2)若-yjla+b=2cf求sinC.

【解析】解：(1)A/14C的内角1,B,C的对边分别为a,b,c.

,：(sinB-sinC)2=sin2-sinBsinC.

sin2B+sin2C-2sin8sinC=sin2A-sin8sinC,

.,.白正弦定理得:b2+c2-a2=bc,

.b2+c2-a2beI

/.cosA=----------------=------=-,

2bc2bc2

<0<4<%，：.A=—.

3

(2)v42a+b=2c,A=-,

3

/.由正弦定理得J^sinJ+sin5=2sinC,

/.+sin(牛-C)=2sinC

解得5皿(。一工)=亚，/.C--=-,C=-+-,

626446

./乃乃、.TV兀71.71y/2y/5-Jl1yfb+yf2

：.sinC=sin(—+-)=sin—cos—+cos—sin—=——x——+——x—=------------.

46464622224

4.在①(sin8—sin二sin?力一sinAsinC,②=osin8,③asin8=bcos(4—2)这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：A48C的内角力，B.。的对边分别为〃，b,c,若JL+b=2c,，求力和。.

【解析】解：若选①，(sinB-sinC)2=sin2J-sinBsinC,由正弦定理可得(力一右了一加..

贝ljb2+c2-a2=be»

由余弦定理可得cosA=UY=生=_L,

2bc2bc2

又0</?，

•/42a+b=2c,

/.&sin/+sin4=2sinC,

V2siny+sin(与-C)=2sinC,

.万•厂1厂一加

..—sinC—cosC=—9

222

.,,r4、V2

..sin(C-----)=—»

62

64

,\C=—.

12

若选②，3sin"*<=nsin8,由正弦定理可得sin8sin(2一4)=sin%sin8,

222

•/sin4w0,

/.cos-=2sin-cos-，

222

cos-*0,

2

J1

/.sin-=—

22

.A7T

0<—<—

22

,汽

/.A——»

3

-f2a+b=2c,

/.y[2sin/+sin8=2sinC,

/.&sinq+sin(与-C)=2sinC,

.石•「1,，&

——sinC-cosC=—，

222

.4JI

・・sin(C----)=—，

62

64

,C』.

12

若选③4sin8=6cos(4-M)，由正弦定理可得sin4sin8=sin8cos(X—工)，

66

,/sin8H0,

/.sinA=cos(J--)，

6

4/T—|A.式AA共

AA---=­，或一+A=A-----,

6226

,兀

A—♦

3

•/41a+b=2c,

V2sinA+sinB=2sinC,

&si吟+sin(与一C)=2sinC,

.73.1

..—sinC——cosC=—9

222

...sin(C-令=4,

「•C上」，

64

,C*.

12

类型二：几何图形

5.在A/18C中，Z5=-,48=15,点。在边6C上，CD=1,cosZJDC=—.

326

(1)求sin/3力。：

(2)求△/13C的面积.

D

【解析】解：(1)由cos/4)C=-!-,可得sin44QC=\口^7=”且，

26V2626

则sin/.BAD=sin(ZJDC--)=sinZ.ADCcos--cosZ.ADCsin-="石x---x—=.

33326226226

(2)在AJBO中，由正弦定理可得」2_=J,即丝=耳，解得60=7,

sinZ.BADsinZ.ADB76155/3

~26

所以8C=7+1=8,

所以AJ8C的面积S=L/也8C©11/480='x15x8xsinC=305/5.

223

6.如图，在&48。中，ZZ?=-,AB=8/,点。在3c边上，且C。=2,cosZ^DC=-.

(1)求sinN3/i。；

(2)求8。，AC的长.

【解析】解：(1)在△力。。中，因为cosN/IOC=',

所以sinZ.ADC=---

7

所以sin/BAD=sin(Z/iDC-ZB)

=sinZ.ADCcosB-cosZ.ADCsinB

473V311

=-----------X--------------------X-

7272

11

2J3x--

(2)在中，由正弦定理得&)=卫M上刍丝=—1^=11,

sin/ADB45/3

在NBC中,由余弦定理得：化=幻+叱­B=(8何+心2x向13%=49.

所以4C=7.

7.如图，在&48c中，AB=2,cosZ?=-,点。在线段8c上.

3

(1)若/力。。=3乃，求力。的长；

4

⑵若BD=2DC,A/C。的面积为求sin/8-l0的值.

3sinZCAD

【解析】解：（1）,.,△/8C中，cossinB=.

33

vZ.ADC=：.Z.ADB=—.

44

AJ8O中，由正弦定理可得当=二，.•.//）=§；

2V2V23

亍T

（2）设，则BD=2a,

•：BD=2DC，A/CO的面积为士J5,

3

4>/2=—x2x3f?x,

23

/.JC=J4+36-2x2x6x1=472

4

由正弦定理可得sinZ.BAD=2sinZ.ADB.

sin/BADsinZADB

245/27.sinZ.CAD=^^sinZ.ADC,

sinZOD-sinZJZ）C4

sinZ.ADB=sinZ.ADC,

..^^=4后.

sinNC4D

8.如图，在平面四边形/18CO中，AD=l,CD=2,AC=Jj.

（.1）求cos/CXO的值：

（2）若cos/BAD=,sinZ.CBA=,求8c的长.

146

D

【解析】解：力。=1,CD=2,AC=41

(1)在△/IOC中，由余弦定理，得cos/CNoJC+'D_8

2ACgAD

〃"、2不

..cosZ.CAD=----；

7

(2)设/8/lC=a,则一NC/f。，

2出

vCQSZ.CAD-------,CGSNB4D=

714

?.sinZ.CAD=

7

“m3旧

sin/BAD=-----

14

.G

..sina=——

2

BCAC

在。中，由正弦定理,

sinasinZ.CBA

解得：BC=3.

即8C的长为3.

9.如图，在平面四边形/BCD中，N/=45。，ZJDC=90°,AB=2,8。=5.

(1)求sin4O8:

(2)若DC=26，求4c.

【解析】解：（1）A48。中，4=45。，48=2,80=5,

由正弦定理得一^BD

sinZ.ADBsinA

25

即

sinZADBsin45°

解得sinZ.ADB=—；

5

(2)由N/iOC=90。，所以cos/8OC=sin/4O8=g,

在ABC。中，由余弦定理得:

BC2=i5£)2+DC2-2/9£)DCcosZ5£>C=52+(2V2)2-2x5x2>/f2x—=25,

5

解得BC=5.

10.在平面四边形"CO中，上BC,=2,BD=出、/BCD=2ZABD,AABD的面积为2.

（1）求4。的长;

（2）求AGW的面积.

【解析】解：（1）由已知48酸。郎in//8O=-x2xJ5g；inN48O=2,

所以sin/48O=宜S,又NA8De（0,三），所以cosN月80=立，

525

在中，由余弦定理得：AD，=AB?+BD?-2MB明Ds：os/ABD=5,

所以40=6.

(2)由ABIBC,得NABD+/CBD=%,所以sinZ.CBD=cosZ.ABD=—,又

25

4

々BCD=2/48。,sin/BCD=2sin学osNABD=1,

NRDC=TT-4CBD-ZBCD=4一(1-Z.ABD}-2N4BD=1-NABD=NCBD,

CD

所以AC8O为等腰三角形，即。=C。，在ACb。中，由正弦定理得：—

sinZBCDsinZCBD

所以CD，。的叱。8。=二二1工上

sinZBCD44'"的224458

5

A

11.如图，在平面四边形48CO中，AB=2,BC=6,AD=CD=4.

（1）当四边形月8CQ内接于圆。时，求四边形/I8C。的面积S;

（2）当四边形48co的面积最大时，求对角线4。的长.

【解析】（本题满分为14分）

解：（1）连接80,由余弦定理可得:

BD2=AB2+AD2-2ABg4Dg:osA=22+42-2x2x4xcosA,

BD2=BC2iCD225C0C,D§?osC=42I622x4x6xcosC,

“丁得：20—16cos/=52-48cosC,…2分

又四边形/8CO内接于圆0,则又4+。=4，

所以：20-16cos/l=52-48cos(;r-4),化简可得：cos74=--

2

又,4e(0,;r),

所以力=的，。=巳，…4分

33

所以S=S»\BD+S^CD=—x2x4xsin—+—x4x6xsin—=8G，…6分

2323

(2)设四边形48C。的面积为S,则S=S0初+48g4Og;in力+；明CgC'QgiinC,

可得：BD2=AB2+AD2-2ABg4D&:osA=BC2+CD2-2BC^Dg:osC,...8分

S

S=—x2x4sin力+―x4x6sinC—=sinJ+3sinC力士匕皿门一…

可得:2222可得：,4，平方后相加，可得:

|2+4-2X2X4COL=4+6-2X4X6COSC

——+4=10+6sinJsinC-6cos/lcosC,

16

即：--=6-6cos(J+C)»...10分

16

又,4+Ce(0,2;r),当4时，3有最大值，即S有最大值.

16

此时，A-ri-C,代入2=3cosC-cos力，可得：cosC=—,

2

又C€(()"),可得：C=q,…12分

在ABCD中，可得BD2=BC2+5-2BC或DgsC=4?+6?-2x4x6xcos。=28,可得4。=2近....14

分

12.如图所示，已知圆内接四边形48CO,记7=tan4+tang+tan£+tan2.

2222

22

(i)求证：r=—+—；

sinAsin8

(2)若/8=6,BC=3,CD=4,4。=5,求丁的值及四边形48C。的面积S.

解：()

,AA.BB

sin一cos—sin—cos—/c

ABn-A兀一BAA8B2292z

tan—+tan—+tan+tan-=---t-a--n-—+cot—+tan—+cot—=T...-+---大+---ir=-------+-------

222222…B4：BsinAsinB

22cos—sin—cos—sin—

2222

(2)由于：48=6,BC=3,CD=4,40=5,

由题知：cosZSJD+cosZ5CD=0,

AB2+AD2-BD2BC2+CD2-BD2247

可得:---------------+----------------=0n=>BD'=——

2ARgAD?RC^'D7

则cos/l=—,sinA=—VTo»

77

则S=1(JDg/lZ?+CDg/?C)sinJ=6>/10,

则s=-{AB^C+力。gC7))sinNABC=6而=>sin/ABC=，

219

r2।22।24西

sinAsinB271065/103

719

13.如图，角4,B,C,O为平面四边形/18CO的四个内角，48=6,BC=3,CD=4.

(1)若5=60。，ND4c=30。，求sin。；

⑵若NB4D+/BCD=180。，AD=5,求cos/%。.

【解析】解：(1)在A/8C中，cos8J")—4U

2x3x62

AAC2=32+62-3X6=27,

AC=3瓜,

，，八八^-r^c^TMisinZ.DACsin£)

A4CO中，由止弦定理---------=-----,

CDAC

•nAC..,3百._3由

sinD-------sinZ.DACr—-------sin30A°0-------.

CD48

<2,x2_RD?

(2)在AJ8。中，cosNBAD=---------=------,

2x5x6

32+42_nn2

在ABC。中，cos/BCD=------------------,

2x3x4

vZSJD+Z5CD=180°,

A八52+62-BD232+42-BD2

cosZBnAD+cos/.BCD=0,-------------------F------------a------=0=>

2x5x62x3x4

2(25+36-9)+5(9+16-心)八

可得:---------------------------=0

120

可得：2x61—2802+5x25-5"?=0,

可得7心=247,

贝|]8。二

247

5?+6?-RD?25+36--3

/.cosZBAD=7

2x5x6607

14.某市欲建一个圆形公园，规划设立力，B,C,。四个出入口（在圆周上），并以宜路顺次连通，其中

A,B,。的位置已确定，/出=2,HC=6（单位：百米），记/48c=0,且已知圆的内接四边形对角互

补，如图，请你为规划部门解决以下问题.

（1）如果。C=04=4,求四边形48CO的区域面积：

（2）如果圆形公园的面积为空万平方米.求cos8的值.

3

【解析】解：（1）连结“。，可得四边形相C。的面积为:

q-q；sinC,

•.•四边形力BCD内接于圆,

J+C=180°,可得sin4=0nC.

S=-AB^Ds\x\A+-BC或DsinC

22

=；(/加。+5CgTD)sinA

=g(2x4+6x4)sin/

=16sinA....(*)

在AJ8Q中，由余弦定理可得：

BD~=AB~+AD2-2AB&4DcosA=22+42-2x2x4cos^=20-16cosJ,

同理可得：在ACOB中，BD1=CB-+CD1-2C5gSZ)cosC=62+42-2x6x4cosC=52-48cosC,

20-16cos4=52-48cosC，

结合cosC=cos（180。-力）=一cosX,得64cos彳=-32,解得cos,4=-,，

2

•.•/€（0。,180。），

.-.J=120°,

代入(*)式，可得四边形面积S=16sinl2(F=86.

(2)•.•设圆形公园的半径为R,则面积为也万平方米，可得：生£=乃代，可得：R=2包,

333

rh-c^eriHi力。、力4721司组.八AC3AC

二.由正弦定理----=2R=-------,可得：sin6>=-―=―

sinB34V2T4V21

了

v由余弦定理可得：AC=V22+62-2X2X6XCOS6>=V40-24cos<9,

34C_3j40-24cos。

sin0=，两边平方，整理可得：14sin?0=15-9cos。,

45/2?-4V2T

vsin26>+cos2=1,

"-9COS"+8S*=I,整埋可得：14cos2"9cos29+1=0,

14

解得：cos6^=-,或工.

72

类型三：向量问题

15.锐角&44c的内角力，B,。所对的边分别为。，b,c,向量加=(出扬)与万=(cos4sinA)平行.

(1)求角力：

(2)若。=&,求A/8C周长的取值范围.

(解析］解：(1)因为：而//万，

所以：asinB-yfibcosA=0,

由正弦定理，得：sinJsin5-V3sinBcosA=0,

又因为：sin8w0,

从而可得：tanA-»

由F：0<A<7T,

所以：A=-.

3

(2)因为：由正弦定理知_2_=，二，_=半=豆

sinBsinCsinAJ33

T

?[7

可得：三角形周长/=a+6+c=0+^(sin〃+sinC),

又因为：C=y-^,

所以:sin5+sinC=sinB+sin(—―4)=石sin(B+—),

36

因为：A/8C为锐角三角形，

所以:—<B<一，BH—€(一,—),sinB+sinCG(一,-^3]»

626332

所以：/€(-76+72,372].

16.在A/l3c中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知而瓯=2,cos8=；,

6=3.求：

(1)a和c的值；

(2)cos(8-C)的值.

【解析】解：(1)而瓯=2,cosB=-,b=3,

3

可得cacos8=2,即为ac=6：

b~=a~+c2-laccosB,

即为6?+。2=13,

解得。=2,6=3或。=3,c=2,

由。〉c,可得。=3,c=2；

(2)由余弦定埋口J得

ca2+b2-c29+9-47

cosC=----------------=-------------=-,

2ab2x3x39

则cos(B-C)=cos5cosC+sinBsinC=；x[+x•

17.&48C中，〃、b、c分别是三内角力、B、。的对边，若荔目花=而明e=1.解答下列问题:

(1)求证：A=B；

(2)求。的值;

(3)若|而+祝|=#，求。的面积.

【解析】证明：(I)因48g/lC=84酸。，故Z)ccos力=QCCOSB,即Z)cos/1=acosB.

由正弦定埋，sinBcosA=s\nAcosB,故sin(4-8)=0,

因为—TTVA-BVJT>

故,4一8=0,故4=3....(4分)

,222

(2)因43g/lC=l,故bccos4=1,由余弦定理得6cg~~————=1,

2bc

即方+/一〃2=2；又由(1)得a=b,

故c?=2,故。=0....(10分)

(3)由|赤+配|二卡得|而『十|就『+2|而近|二6,

即r+Z)2+2=6,

故。2+〃=4,因/=2,故人=、5»

故MBC是正一角形，

故面积SMHC=*x(&)2=*....(16分)

高考预测二：三角形中的取值范围或最值

类型一：化为角的关系

18.设&43。是锐角三角形，a,b,。分别是内角4,B,C所对边长，a=2〃sin/.

(1)求角8的大小；

(2)求cos4+sinC的取值范围.

【解析】解：(I)由正弦定理得:<z=2/>sinJ<=>sinJ=2sinBsinJ>

为锐角,故sin440,

.•.sin3=1,而4为锐角，

2

B=—.

6

(2)•.•8=巴,

6

/.J+C=—,

6

cosJ+sinC=

.,5冗

cosJ+sm(--J)

..57r.57r.

=cosJ+sin——cosA-cos——sinAJ

66

3S•/

=­cosAH------sinA

22

=^sin(J+y).

,「5不

A4BC足锐角三角形,A+C=—»

6

.\0<C=--A<-,

62

2,7t

一<.A<.一，

47.

2万，九•5万

二.——<A+—<—，

336

.1,•6

・,一<sin(A+—)<—・

232

二.—<VJsin(A+—)<—.

232

，、外C成等差数列.

19.在A48C中，角A、B、C的对边分别为〃、b、

(1)若6=a=3,求c的值；

(2)设/=sinZsinC,求，的最大值.

【解析】解：(1)•••4、巨、C成等差数歹U,

4

.■,2x-=J+C=180°-^.

4

.♦"=120。，

•/h=A/TJ>q=3,

.­.13=9+C2-6CCOS120°,

+3c-4=()

:.c=\；

(2)t=sinJsinC=sin^sin(60°-^)=—sinJcos^--sin2A—sin(2^+30°),

2242

00<J<60°,

30°<2/1+30°<150°,

.•.24+30。=90。，，的最大值是L.

4

20.在AJ3C中，角4,B,。所对的边分别为〃，b,c,角A,B,。依次成等差数列.

(1)若sin*8=sinAsinC,试判断&48C的形状；

(2)若AJ8C为钝角三角形，且试求sin'—+6sin—cos-------的取值范围.

2222

；

【解析】解：(1)•.,sin!4=sin/lsinC,.=QC.

vJ,B,C依次成等差数列，.•.28=4+。=江一8,8=。.

由余弦定理力2=/+C?-2aecos8,a2+c2-ac=ac,:.a=c.

A/IBC为正三角形.

(2)要求的式子sin2C+V5sindcosH-'=•!_COS^+—sinA--

2222222

V3.12乃公6.41A陋.A

=—sinA-cos(------A)=——sinA+—cosA------sinA

223244

M.AI“1...TV.

=—sinA+—cosA=-sin(4+—).

4426

笈，2乃2乃，乃5.T

•.•一</<——，/.——<A+—<—,

23366

/.-<sin(/l+—)<—,—<—sin(J+—)<—.

2624264

代数式5呜+后W*+,的取值范围是(；，务

类型二：周长或边长的范围

21.在AJ3C中，角力，B,。所对的边分别是〃，b,。，且4,B,。依次成等差数列.

(1)求角8的大小；

(2)若b=布,求A48c周长的取值范围.

【解析】解：(1)・••/,B,。成等差数列，

：.A+C=2B.

乂4+8+。=",/.B――\

3

acb

(2)在A48C中，由正弦定理,------=-------=-------=--------=2n

sinAsinCsinB.乃

sin—

3

AABC的周长/=a+b+c=2s\nA+->/3+2sinC

=2sinA+6+2sin(--J)=2-V3sin(J+—)+>/3.

36

又•.•/!£(0,g),「./w(26,36].

.•.△/13C周长的取值范围(2JJ,3>/3].

22.在&44C中，角力，B,。所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cos/-JJsin/)cos8=0.

(1)求角8的大小；

(2)若Q+C=l,求6的取值范围.

【解析】解：(1)由己知得:一cos(H+8)+cos1cos8-JJsin4cos8=0,

HPsinAsin8—VJsinXcos8=0,

vsin/I^0,；.sin5-5/3cos^=0,即tai】8=VJ,

又6为三角形的内角，

则B=y；

(2)a+c=I,即c=l-a,cos5=—,

2

.,.由余弦定理得：b2=a2+c2-2acgosB,即

b2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=1-3a(l-a)=3(a—)2+—,

0<a<1,/.—„Z?7<1,

4

则L"vl.

2

23.在&43。中，角力，B,C所对的边分别为〃，b,c,Ji.sin2/f+sin2C-sinJsinC=sin2B.

(1)求角8的大小；

(2)若△48c为锐角三角形，其外接圆的半径为也，求△力8c的周长的取值范围.

3

【解析】解：(I)A/48c中,由sinz4+sin?C-sin/sinC=sin，〃，

^a1+c2-ac=b2,HPa2+c2-b2=aci

所以COs5=/+°2一”=g=■!■：

2ac2ac2

又3e(0,;r),所以B=巴;

3

(2)由(1)知3=工，且外接圆的半径为地,

33

由正弦定理得」一=2A,b=2x在走=5；

.乃

sin—32

3

=2火=凶

由正弦定理得

sinAsinC3

所以4+c=1^^(sinA+sinC)；

J+C=T,

106r....2%

所以a+c=---[sinA+sm(--4)]

苧吟i“+当8sm

=10sin(4+」)；

又A/8C为锐角三角形，则0＜/〈工且0＜。＜巳，

22

T7l24.rn.l7T.兀匚厂|、[汽.兀2〃*

乂(7=------A♦则一＜A＜一,同「以一＜4+一＜—：

362363

所以正＜sin(nH—)„1；

26

所以5百＜a+c.10,即A/BC周长的取值范围是(5+56，15].

类型三：面积的范围

24.在&44C中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,且满足主b_cusB

(cosJ

(1)求角力的大小；

(2)若a=2小,求AJ8C面积的最大值.

2c-b_cosB

【解析】解：⑴V

acosJ

(2c-b)g:osA=osB,

由正弦定理，得:(2sinC-sinB)g:osA=sin/ig^osB.

二整理得2sinCgjosA-sin8即osA=sin力印osB.

2sinC'gx)sA=sin(4+4)=sinC.

在A/18C中，sinC0.

,1，.汽

cosJ=—,ZJ=—.

23

.222।

(2)由余弦定理cos/f=+'一°=L,。=2石.