高考数学一轮复习 第二章 第10节 函数与方程-含解析

第10节函数与方程

9课标要求1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解拘关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,

了解函数零点存在定理.3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解

用二分法求方程近似解具有一般性.

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知识梳理

1.函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数月⑺，我们把使皿j或的实数x叫做函数月3的零点.

⑵函数零点与方程实数解的关系

方程:(功=0有实数解=函数产有EO函数产/«)的图象与E有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数)可(x)在区间以加上的图象是一条连续不断的曲线,且有回。)八〃)<(),那么,函数尸f(x)在区间

国内至少有一个零点，即存在(〃工)，使得国正。，这个c也就是方程/(幻二0的解.

2.二分法

对于在区间加上图象连续不断且团/：小/，’)的函数y习U),通过不断地把函数JG)的零点所在区间因

,使所得区间的两个端点逐步逼近回，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

I常用结论与易错提醒〉

1.函数零点的三个性质

(1)若连续不断的函数/⑺在定义域上是单调函数，则了⑺至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而

是方程/(外二。的实数解.

(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

2.函数零点问题的两个易错点

(1)若连续函数八动在区间［a,加上满足/(。)/(力)<0,则在区间上至少有一个零点，反之不一定.

(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.

舞嘉君诊断自阿

1.思考辨析(正确的打“V”，错误的打"x”)

(1)函数的零点就是函数的图象与工轴的交点.(X)

⑵连续函数产/G)在区间(a,b)内有零点，则/®-/(力)<0.(*)

(3)函数)可(分为R上的单调函数,则/tv)有且仅有一个零点.(x)

(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(J)

2.(人A必修一P155T1改编)下列函数图象与不轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(A)

解析根据题意，不

穿过工轴.据此分析知A选项中函数不能用二分法求零点.

3.(人A必修一PM3例1改编)函数/⑺的零点个数为(B)

A.3B.2

C.7D.0

(X<0,(X>0,

解析1/+X_2=0次I-1+Inx=0,

解得x=-2或.r=e,故

4.(人A必修-P144T2改编)函数f=log2x+x-2的零点所在的区间为(B)

A.(0,1)

C.(2,3)D.(3,4)

解析函数/(x)在(0,+co)上单调递增，则/(x)=0在(0,+oo)上只有一个根，且/(1)=-1,/(2)=1,则

/(I)・/(2)<0,故/(动的零点所在的区间为(1,2).

丝£考点突破能力提升»»»>»

考点一函数零点所在区间的判断

[例1]⑴⑵)25•天津卷)函数-])=()3-五的零点所在区间是(B)

A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)

C.(0.5,1)D.(l,2)

解析由指数函数、暴函数的单调性可知尸03在R上单调递减，户正在[0,+oo)上单调递增，所以

/W=0.3r-Vx在定义域上单调递减，显然/(0)=1>0,/(0.3)=().303-().30-5>(),/(().5)=0.3°工().5婚v()，所以根据函数

零点存在定理可知/(1)的零点所在区间是(0.3,0.5).故选B.

(2)若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(&,攵+1)々£Z)上，则攵等于(C)

A.-2B.1

C.-2或1D.0

解析由题意知XW0,则原方程即为lg(i+2)=±在同一平面直角坐标系中作出函数产lg(x+2)与产二的图象,

如图所示.由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(-2,-1)上，一个在区间(1,2)上，所以"-2或h1.

I思维升华〉

函数零点所在区间的判断方法及适用情形

(I)定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形.

⑵图象法：画出函数图象，通过观察图象与4轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数图象

的情形.

【跟踪训练1]⑴根据表格中的数据可以判定方程h】x-x+2=。的一个根所在的区间为(C)

A.(l,2)

C.(3,4)D.(4,5)

解析设/(x)=lnx-x+2=lnx-(x-2),易知函数f(x)在(1,+8)上的图象连续，由表格数据得

/(1)>0,/(2)>0,/(3)>0,/(4)<0,/(5)<0,则/⑶•/⑷<0,即在区间(3,4)上，函数/W至少存在一个零点，即

方程lnx・x+2=0的一个根所在的区间为(3,4).故选C.

(2)一知xi+2X1=0,X2+log2X2=0,3-X3-log2X3=0,WO(A)

Ajt|<V2<X3B.X2〈Tl<X3

CJC\<X3<X2D.X2<X3<r)

解析设函数fix)=x+2v,易知/(x)在R上单调递增J(-l)=-1,/(0)=1,即/(-1)/(0)<0,由函数零点存在定理

可知,-g」v0.设函数X(x)r+logM易知g(x)在(0,+8)上单调递增,⑴=1,即gg)・g⑴V0,

由函数零点存在定理可知,1<v2<1.设函数力(X)=0」Og2X,易知%(%)在(0.4-00)上单调递减，力⑴(即)=0,

因为/?(!)>/?(X3),由函数单调性可知,X3>1,即-1<X1<0<MV1<K3.故选A.

考点二函数零点个数的判断

【例2】(1)(2026•广东广州月考)函数/W=2，+『・2在区间S,1)内的零点个数是(B)

A.OB.1

C.2D.3

解析解法一(定理法)：因为=函数/(X)在定义域上单调递增且连续，所以函数/(x)在

区间(0,1)内有且只有1个零点.故选B.

解法二(图象法)：设》二2、)，2=2-V在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，

在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为/(%)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.故选

B.

⑵已知函数f(x)在R上满足/(2+工)力2-x),/(7+x)=/(7-x),且在区间［0,7］上只有户1和户3两个零点，则

/(X)=0在区间［0,2025］上根的个数为(C)

A.404B.405

C.406D.203

解析因为f(2+x)=f(2-x)，所以/⑺关于直线42对称，且/(7+A)=/(-3-x),又/(7+x)=/(7-x)，故可得/(-3-

x)=/'(7-x),则/(x)可。+10),故/(x)是以10为周期的函数.又/W在区间［0,7］上只有m1和户3两个零点，

根据函数对称性可知J(x)在一个周期［0,10］内也只有两个零点,又区间［0,2025］内包含202个周期，故/行)

在［0,2020」上的零点个数为202x2=404,又/(x)在(2020,2025］上的零点个数与在(0,5」上的零点个数相同,

有2个，故f(x)在［0,2025］上有406个零点，即f(x)=0在区间［0,2025］上有406个根.故选C.

【变式探究】(变条件)若本例⑵变为：已知函数/(X)在R上满足/(x)=/U+2),当0〈x<2时J(x)=f-x,则

函数产炉⑺在区间［-3,3］上零点的个数为7.

解析令fix)=r-x=0,即A-0或户1,所以/(0)=0,/(1)=0,由/(X；寸(x+2)，得函数/(x)的最小正周期为2,所

以/(2)=0,/(3)=0J(-2)=0,/(-l)=0/(-3)=0,所以函数y=f(x)在区间［-3,3］上零点的个数为7.

I思维升华〉

函数零点个数的判断方法

I.直接法:令/(x)=0,有几个解就有几个零点.

2.定理法：首先确定函数/(X)在区间［仇切上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质确

定函数零点个数.

3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

【跟踪训练2］⑴函数ke'+d+2x-l的零点个数为(C)

A.0B1C.2D.3

解析函数尸&，+『+2丫-1的零点个数即函数/&)=(/与g(x)=-x2-lr+l的图象的交点个数，在同一直角坐标系

中，分别作出/(%)=ev与gCv)=-^-2.X+1的图象，如图所示，

⑵函数/(x)W36—3・cosx的零点个数为上.

解析令36-x22。,解得-6<xW6,所以/(x)的定义域为[-6,6一.令/(X)=0得36-x2=0或cosx=0,由36-『=0"

x=±6,由cosx=0得x=^+E,%£Z,又[-6,6],所以x的取值为-拳学故/(%)共有6个零点.

考点三函数零点的应用

角度1根据函数零点个数求参数

2~x4-l,x<0,

【例3】已知函数/(%)=]工''g(x)=yG)*。,若函数g(x)有2个零点，则实数。的取值范围是

111/人J*I。

(D)

A.E-1.0)B.[l,+x)

C.(-oc,1]D.[2,+oc)

解析且(工)寸3*〃,令8鱼)=(),

即/⑺=x+a,由函数g(x)有2个零点，得)可(x)和y=x+a的图象有

在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示，

角度2根据函数零点的范围求参数

【例4]已知函数f(x)=3;等.若存在松£(田,⑴，使得/(沏)=0,则实数a的取值范围是(B)

A(-8,3B.(O,0

c.(-oc,0)D.6+8)

解析由/G)=3'-等=0,可得a=3-令g(x)=3-其中(-oo,-l),由于存在松£(-00,-1)，使得/(AO)=O,

则实数。的取值范围即为函数gG)在(-8,-1)上的值域.由于函投产3。产一在区间(・8,・1)上均单调递增，月

以函数gCr)在(-8,-1)上单调递增.当工£(-8,-1)时,&(幻=3'丘<廉-1)=3"+1=3又当(。,-1)时,g(x)=3'-

>0,所以函数屋外在上的值域为(0,§.因此实数〃的取值范围是(0彳).

|思维升华〉

根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.

3.数形结合法：先对解析式变形，在司一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.

【跟踪训练3](1)(2026•四川立宾月考)已知0在R上没有零点,

则实数，，的取值范围为(D)

A.(0,+oo)B.(l,+oc)

C.[l,+oo)U{0}D.(l,+oo)U{0}

解析当时,0<e*W1,若关于x的方程el=«无解，则或a>l；当,v>0时,In(x+l)>0,若关于x的方程

ln(x+l)=-4无解，则.综上,a的取值范围为(l,+oo)U{0}.

⑵(多选)已知函数小)=径;匕:;丁。令力⑺q'(幻"则下列说法正确的是(BD)

A.函数/W的单调递增区间为(0,+00)

B.当力G)有3个零点时,氏(-4,-3：

C.当k=-2时,63的所有零点之和为-1

D.当g(-8,-4)时，力(x)有1个零点

解析函数/6)=产^^一33*,

(-2+\nx,x>0,

由图象可知，函数/(x)的单调递增区间为(-1,0)和(0,+g),A选项错误；”(x)的零点即函数y可(x)的图象和

直线尸公交点的横坐标，由图象可知，当力(公有3个零点时,攵仁(-4,・3],B选项正确；解方程可知，当k=-2

时,/?(x)有两个零点,-1-企和1,所有零点之和为-鱼工选项错误；当kGGoo,-4)0+,函数产f(x)的图象和直

线y=k有1个交点，即〃(x)有1个零点,D选项正确.

微点拓展

我们把形如产八/⑴)或)可(g(x))的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数

问题.嵌套函数问题有两类基本形式.

1.WW)"型

这一-类型是同一个函数/(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元即设f(x)=/,

然后恨据题设条件解出相应I的值或范围，最后利用函数/鱼)或利用函数y=f(x)与尸的图象关系解得问题.

2."/(g(x))”型

这一类型是两个函数/(x),g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元即设g(x)=f,

然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是)，J⑺的自变量,利用)，=/'⑺与仁g(x)两个函数的性质，

或做出并利用)，寸⑺与fg(x)两个函数的图象来解决问题.

【应用】⑴己知函数/⑴弋，遇2+1%>o其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[/Xx)]2_

1Q/G1+3的零点个数为(B)

A.3B.4C.5D.6

解析当了20时J(x)=41-6f+l,/(x)=12d-12x,当Owl时,/在)<0J'(x)单调递减；当x>\时,/(x)>0JG)

单调递增，可得/(功在ml处取得最小值，最小值为-1,且八0)=1.作出函数月G)的图象如图所

示出(<)=3[/(1)]2.何(工)+3,令可(力，由g(x)=O,可得3210什3=0,解得t=3或当心时有3个解，

则g«)有3个零点；当t=3时JG)=3有1个解，则g(x)有1个零点.综上,g(x)共有4个零点.故选B.

(2)设a£R,函数/(公=俨"]一1代??若函数)弓”⑺)恰有5个零点,则实数a的取值范围为(D)

(一户+ax,x<0,

A.(-2.2)B.(0,2)

C.E-LO)D.(-8,-2)

解析设月(x).当x20时,/金)=2川1,此时自0,由/S=0得/=1,即/(1)=2卜”1=1,解得x=0或m2,所以

产式/2)在[0,+oo)上有2个零点.当x<0时,/(幻二/+依,若。20,图象对称轴为4条函数)=f(x)的大致图象

如图①所示，此时/(K)=-f+ar〈0,即/<0,则所以/(。=0无解，则/=/G)无零点，元/。3)无零点，综上,

此时何丁(外)只有2个零点，不符合题意；

若。<0,此时/Cv)的大致图象如图②所示，令/+。仁0,解得广。<0仁0舍去)，显然/(A-)=a在(-oc,0)上存在唯

一解，所以要使用如•))恰有5个零点，需庵)>1,即5+%1,解得〃<-2,所以。£(@,-2).故选D.

课时作业

[基础巩固]

一、单项选择题

1.函数人工)=，｝:;才■°，的零点的个数为(C)

A.OB1C.2D.3

解析当xWO时，令x2+2.r-3=O,

则(工-1)(x+3)=O,解得x=l(舍去)或x=-3.当QO时，令e'-2=0,解潺x=ln2,所以/(分的零点个数为2.故选C.

2.设函数/(幻=2'+彳的零点为g则m所在的区间是(B)

A.(-4,-2)B.(-2,-l)

C.(l,2)D.(2,4)

解析易知/⑺在R上单调递增且/(x)的图象是连续不断的曲线,/(-2)=；—|<0,/(-1)=；—90，所以沏£(-

4323

2,-1),故选B.

3.若函数/(x)=a+x+1gx(110)有零点，则实数〃的取值范围为()

A.(-10,-1)B.(l,10；

C.(l,11)D.(-lL-l)

解析因为函数产x+a,产Igx均在(1,10)上单调递增，所以/(X)=a+x+lgx在(1,10)上单调递增.若函数

f(x)F+x+lgx(l<r<10)有零点，则「+JA2仆解得/I<“<-1•故选D-

—Q十11

4.已知函数/(工)=｛黑¥j恰有2个零点，则实数。的取值范围是(C)

A.(2,4-00)B.[2,4-0C)

C.(-0C,2)D.(-00,2]

解析当1时J(x)的零点为1,则当xvl时J(x)必有一个零点,y=2x-“为一次函数，单调递增，故需2-〃>0,

即〃<2.故选C.

5.(2026•吉林长春月考)己知函数/'(x)=x-正(x>0),g(x)=x+e\h(x)=x+\nx(x>0)的零点分别为乐,也,心,贝U

(C)

A.xi-B.X2<xi<n

Cj：2<t3<vV|D..V3<X1<T2

解析函数/W=x-Vx(A->0),gW=x+eA,h(x)=A-+lnx(A>0)的零点，即为y=x的图象与广五(心>0),产・巴产-In

v

A-(A>0)的图象的交点的横坐标，作b尸t与y=y/xCv>0),}=-e,)=-lnX(A>0)的图象，如图所示.可知x2<v3<vi.fe

选C.

6.函数/(x)=短遂>2g⑴七块,若函数/W与g(x)的图象有三个交点,则实数k的取值范围为

(D)

A.(2、攵-6,0)B.(2值6,0)

D.(2V5-6,0)

C.(-2;0)

广户的图象，如图所示，设与v=4-f的图象相切的直线为【，且切点为

解析作出函数/(x)=

Uog3(x-l)..x>2

P(A-o,4-xg),因为产-Zr,所以切线的斜率为-2X0,则切线方程为>4+亚=2。(X-X0)，因为直线g(x)=kx-3k过定

点(3,0),所以将(3,0)代入切线方程，求得松=3-次或的=3+6(舍去)，所以此时切线的斜率为七26-6,因为

函数/(%)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为(2遍-6,0).故选D.

二、多项选择题

7.对于函数/(.r)=小|+〃.什6,下面的结论正确的是(\BD)

A.函数/W的图象为中心对称图形

B.存在a,b使得/(%)有3个零点

C.当且仅当a-4b20时J(x)有零点

D.存在a,b使得/(x)有2个零点

解析对于A,由/(x)=x|x|+ar+力，可得f(-x)4/(x)=-M-x|+a(-x)+/?+x|x|+aY+6=2b,即/(-x)+f(x)=2b,所以函数

/(x)的图象关于点(0,8)中心对称，所■以A正确；对于B,例如当a=-2,b=0时，函数f(x)=x|x|-

2.x=函数/(x)的图象如图(1)所示，此时方程/G)=0有3个实数解，即函数)3G)有3个零

点，所以B正确;

对于C,例如当用-2，/尸2时，函数/(.r)FW-2Y+2={：：；J函数/W的图象如图⑵所示，此时a-

4从0,但方程八功=0有一个实数解，即函数)，=/&)有1个零点，所以C错误；对于D,例如当o=-2,b=l时，函

数/Wr|吐2计1=［：：］：彳：jI"函数/G)的图象如图(3)所示，此时方程/(x)=0仅有2个实数解，即

函数)可⑺有2个零点，所以D正确.故选ABD.

图⑶

8.已知函数%)=区；>1函数屋%)也",则下列结论正确的是(BCD)

xIJLK)X~~X«5XNJL,

A.若gG)有3个不同的零点，则a的取值范围是［1,2)

B.若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1)

C.若g(X)有4个不同的零点X),X2,X3,^4U1<V2<X3<X4),则X3+X4=4

D.若g(x)有4个不同的零点Al,X2,X3,X4U1<¥2«3<Y4),则卬4的取值范围是得,|)

解析令g(x)=f(x)-a=0,得/(x)=a,则g(x)的零点个数即为函数广/&)的图象与直线y=a的交点个数.作出

函数产的图象如图所示，由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则。的取值范围是［1,2)U{0},故A错误;

若g(。有4个不同的零点，则。的取值范围是(0,1),故B正确;g(x)有4个不同的零点

X\,X2,X3,A4(X|<.V2<r3«4)，此时期,.七关于直线X=2对称，所以工3+支4=4，故C正确；由C可知X3M-X4,所以

%3%4=(4-X4)A4=-X4+4X4,由于g(X)有4个不同的零点，4的取值范围是(0,1),则0<-4域+16X4-13〈1,所以曰<

-x'i+4"V故D正确.故选BCD.

三、填空题

9.方程2、+3广2的解在［1,2)内，则实数〃的取值范围是％M).

解析令函数/(%)=T+3x-k,则/(x)在R上是增函数.当方程2、+3x=Z的解在(1,2)内时J⑴<0且/(2)>0,即

5/<0且10-Q0,解得5。<10,又当/⑴=0时,45.综上，实数上的取值范围是［5,10).

10.已知函数/(X)={1；二2；1'：；1函数万⑺有四个不同的零点XI,也,m,M且由〃243<0,则

2打+2*2=1

*3十*42

解析y=f(x)-a有四个不同的零点xi,X2,X3,x*即方程/(x)=a有四个不同的解，即y=f(x)的图象与直线y=a

有四个交点.在同一平面直角坐标系中分别作出尸/。)与尸。的图象，如图所示，

y/

……—:不…」……

彳.产a

-3-2X,-IOx2lx,2x^34x

-1

由二次函数的对称性可得,由+以=4.因为1-2%=2*2-1,所以2之一20=2,故止至=

x3+x42

四、解答题

11.已知二次函数/W=P/，t+c(cWO)的单调递增区间为［2,+8),且有一个零点为c.

⑴证明:/(1+2)是偶函数；

(2)若函数gG)于G)-.r+1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围.

解(1)证明：由二次函数/(x)=f-云+c(c#O)的单调递增区间为［2,+OD),可得畀2解得6=4.

又因为f(x)有一个零点为c,则/(c)=C2-4C+C=0,

解得c=3或c=0(舍去).所以f(x)=?-4x+3=(x-2)2-1,

因为/(-x+2)=JT-1=/(x+2),所以/(X4-2)是偶函数.

(2)由(1)可知g(x)-4x+3-，〃x+l=r-(4+〃。x+4,

因为g®在(］3)上有两个零点,

则满足Ig(l)=l_m>0,

g⑶=—3m+1>0,

、/=(4+m)2-16>0,

解得

所以洞的取值范围为(0彳).

12.已知函数/(x)=log2(2+x)-log2(2-x).

(1)判断/(x)的奇偶性；

(2)若关于x的方程/(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根,求实数。的取值范围.

解(1)/1)为奇函数，理由如下：

由题意得伤［工］解得-2>2

1乙人/Uf

即函数f(x)的定义域为(・2,2),故定义域关于原点对称.

又/(-X)=10g2(2-X)-10g2(2+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.

⑵由/(x)=log2(6