2026年高考数学一轮复习考点讲义（新高考）函数与方程（学生版+解析）

第07讲函数与方程

目录

考情探究................................................................2

知识梳理................................................................3

探究核心考点............................................................4

考点一求函教的零点及零点个数.........................................................4

考点二用零点存在性定理到新零点所在区间.............................................4

考点、三求方程的根及根的个数............................................................5

考点8求图象的支点、及支点个数.........................................................5

考点五根据零点、方程的根及图象交点求参数范囹......................................6

三阶突破训练............................................................7

基础过关...................................................................................7

能力提升...................................................................................8

真题感知...................................................................................9

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2。24年新I卷，第7题,5分求函数零点或方程根的个数正弦函数图象的应用

函数奇偶性的定义与判断

根据函数零点的个数求参数

2024年新II卷，第6题,5分函数奇偶性的应用

范围

求余弦（型）函数的奇偶性

求含sinx（型）函数的值域和最值

2024年新II卷,第9题,6分求函数零点或方程根的个数求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

求正弦（型）函数的最小正周期

函数对称性的应用

2024年新II卷,第11题,6分判断零点所在的区间函数单调性、极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

根据函数零点的个数

2023年新I卷，第15题,5分余弦函数图象的应用

求参数范围

二、命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定

义，难度不定，分值为5-6分

【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个

数

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理

3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解

【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容

A知识梳理<

知识点i函数零点的定义

一般地，对于函数y=f(x),把使叫作函数y=/(均的零点.函数y=八幻的零点就是方程/(无)=0

的实数解，也就是函数y=八灯的图象与不轴的交点的横坐标.

方程、函数、函数图象之间的关系：

方程/(%)=0有实数解e函数y=/(幻的图象Q函数y=/(x).

知识点2函数零点存在性定理

如果函数y=/(%)在区间〃上的图象是的一条曲线，且有,那么函数y=f(x)在区

间3/)内零点，即存在cw(a,b),使得/•(◎=(),这个c也就是方程/"(%)=()的解.

知识点3函数单调性对•零点个数的影响

如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断

函数是否单调

知识点4几个“不一定”与“一定”(假设在区间连续)

(1)若/(〃)•/(〃)<()，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析/(X)的性质

与图象，如果/(x)单调，则“一定”只有一个零点

(2)若/(〃)•/(/?)>0,则/(x)“不一定”存在零点，也“小一定”没有零点。如果/(x)单调，那么

“一定”没有零点

⑶如果/&)在区间(。力)中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。

如果/(x)单调，则/(。/㈤一定小于0

知识点5零点与单调性配合可确定函数的符号

“X)是一个在(。,〃)单增连续函数，工=%是/(X)的零点，且X。£(4力)，则1£(4,Xo)时，/(X)<0;

%时,/(X)>0

知识点6证明零点存在的步骤

Q)将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

(2)判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数,f(x)

(3)分析函数/(x)的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间

(4)利用零点存在性定理证明零点存在

>探究核心考点<

考点一求函数的零点及零点个数

x2+4x+3,x<0,

典例1.（2025・安徽滁州•二模）函数"五）=4兀［所有零点之和为（）

cos—.0<x<4

2

A.-4B.-3C.0D.1

典例2.(2025•山东枣庄•二模)函数/@)=sinx+cos2x在区间(0,3兀)上的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

跟踪训练1.(2025•山东•模拟预测)函数/(x)=lgx+lg(x-3)-1的零点为,

跟踪训练2.(2025•上海•三模)函数/(“二封唱》卜喧工的零点个数为

考点二用零点存在性定理判断零点所在区间

典例L(2025•湖北十堰•模拟预测)函数/(x)=x+lnx-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

典例2.函数/(%)=卜inx|+2cosx-sin£的一个零点所在区间为()

跟踪训练1.(2025•河北沧州•二模)函数/(x)=20lnx-l的零点所在的区间为()

跟踪训练2.已知函数〃x）=tan|x+卷卜sinr,则在下列区间口，函数/（“一定有零点的是（）

考点三求方程的根及根的个数

典例1.（2025•甘肃金昌•模拟预测）当-3cxem时，方程2sin2x=cosx的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

旭（国-1）附>1

典例2.（2025•湖北十堰•模拟预测）若困数/（人）=（兀，关于•'的方程广⑴―3/（0+2=0的根

2s\n—x,\x\<\

的个数为（）

A.7B.8C.9D.10

跟踪训练1.（2025•河北保定,一模）已知/（x）是定义在R上的函数，且有〃x+l）=/（x）+l,当0<戈小时,

/（x）=3x+l,则方程〃x）=4的根的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

/、、2sinzx\-l<x<1

跟踪训练2.（2025•湖北武汉•模拟预测）已知函数/（x）满足/（zx+2）=/（x-2）,且/（%）=

I-X,1<XSJ

则方程2/（工）=工的实数解的个数为.

考点四求图象的交点及交点个数

典例1.（2025•江苏扬州•三模）当汩时，曲线），=sin2x与），=2sin（2x-g）的交点个数为（）

A.3B.4C.6D.8

典例2.（2025・河北•模拟预测）函数），=|x|与函数），=卜]（＞/7石-幻-」的图象的交点个数为（）

X

A.0B.1C.2D.3

跟踪训练1.（2025•甘肃金昌•二模）函数产sin2x与尸si吟的图象在区间卜2私2可上的交点个数为（）

A.3B.5C.7D.9

跟踪训练2.（2025•广西•一模）曲线y=4cosx与直线y=-x+2的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

考点五根据零点、方程的根及图象交点求参数范围

典例1.（2025・湖南长沙•模拟预测）若关于无的方程cos2x-〃zsinx=0在仔岑）上有2个实根，则/〃的取值

范围是（）

A.（TO）B.[-U0]C.（0,1）D.[0,1]

典例2.（2025•宁夏•一模）已知函数/*）=/+公2落（幻=2公2-%,若函数y=/（用与y=g（x）的图象有三

个交点，则。的取值范围是（）

A.(YO,-2)B.(2,+oo)C.(-oo,-2)」(2,+刃)D.(-co,-2]J[2,+co)

典例3.（2。25•湖南•二模）已知函数小在R上没有零点，贝」实数。的取

值范围是（）

A.（口,-1）B.STiJO｝

C.[L+8）U{0}D.(l,+8)j｛。｝

跟踪训练1.（2025•内蒙古呼和浩特•模拟预测）已知函数-2〃+2。丁”1,存在实数〃，使得方

程f（x）=〃有三个不同的实数根，则实数。的取值范围为（）.

‘1+6

D.

2

|log2,v|,0<x<4

跟踪训练2.（2025•湖南•二模）若函数〃力=|,、,，与直线y=〃恰有三个交点，则〃的取值范

-x2-2x+\,x>4

[2

围是（）

A.[1,2]B.（1,2）C.（1,2]D.11,2）

跟踪训练3.（2025・陕西西安•一模）已知函数/=g（x）=f（x）+2x-m,若g。）有一个零点,

lgx,x>0

则加的取值范围是（）

A.（-00,1JB.（fl）C.[!,+<»）D,

>三阶突破训练<

基础过关

一、单选题

1.用二分法求方程x+lgx-3=。的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（）

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

2."a>3”是“函数/（%）="+3在区间（-1,2）内存在零点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

3.（2025•浙江宁波•模拟预测）已知曲线y=[+必与直线）'=x无交点，则。=（）

厂

A.-IB.0C.1D.2

4.（2025•湖南益阳•三模）函数/（x）=cos2x-sinx在（-2兀2兀）内的零点之和为（）

A.一穴B.-2TTC.--D.0

2

5.（2025•陕西安康•模拟预测）函数"X）=COS2X+3COSA-1在卜3兀,3可上的零点个数为（）

A.4B.5C.6D.8

6.（2025•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知函数/（x）=f-QCOU+2有且仅有一个零点，则实数。的值

为（）

11

A.-B.-C.2D.-2

22

/.（2U25•四川凉山•三模）已知函数/（x）=2sin（2x+5）在［-叽刈上有且仅有2个零点，则实数机的取值

范围是（）

兀3兀、「兀］「兀3冗、「兀兀、

A.B.~,TCC.D.

\_22）\_2）L44；|_42）

二、多选题

8.己知函数/*）=/-2凶（工＜4）,若函数尸（力=/（力-X存在两个零点,则a的取值可能是（）

A.-1B.1C.2D.3

三、填空题

9.函数/（x）=24心对-%的零点个数为.

10.已知函数外力=6向+工一2和g（x）=hu:+x—3的零点分别为则。+匕=.

能力提升

一、单选题

11.方程/-34巾葭+1=0实数解的个数为（）

A.0B.4C.8D.12

12.（2025•山东•模拟预测）函数.f（x）=e，与函数g（x）=g的图象所有交点的横坐标之和为（）

丫一I

A.-In2B.In2C.0D.1

13.（2025•湖南邵阳•模拟预测）函数/（x）=cos3x-cos2x在区间一兀2可的零点个数为（）

A.6B.7C.8D.9

14.（2025•四川成都・模拟预测）函数f（x）=|2x-成-8sinm（xwR）的所有零点之和为（）

A.9B.10C.11D.12

15.（2025•河南•模拟预测）已知函数/（x）=〃?（e'+eT）+ln=-2恰有一个零点，则实数〃?:（）

I-X

A.1B.-C.0D.-1

16.（2025•江西新余•模拟预测）设函数/（力二〃（工-1）2巴雇工）=。2'-（2依+1度+1,若曲线产/（X）与

y=g（x）恰有一个交点，则“=（）

A.-1B.JC.1D.2

17.（2025•四川宜宾•三模）设函数=其中内＜±＜工3,若/（l+x）/（3—x）«0,

3

则£工尸（）

1=1

A.2B.4C.6D.8

18.（2025•广西河池•二模）关于函数/（6=-丁+3、2+（。一3八-2—〃—91+4二「（。＜2）,下列选项正确的

e

是（）

A.函数“力没有零点B.函数/（“只有1个零点

C.函数“X）至少令1个零点D.函数“外角2个零点

二、填空题

19.（2025•云南昆明•模拟预测）设函数"x）=e'+o?,g（x）=a-e\若曲线y=/（x）与），=g（x）恰有一

个交点，则实数。=.

a

20.（2025•江苏•模拟预测）已知函数八%）=＜7,,若存在实数〃，使函数y=/'（x）-〃恰有3个零点，

|2-4|,x＞«

则实数。的取值范围是.

真题感知

一、单选题

21.（2025・天津•高考真题）函数/。）=03-炭的零点所在区间是（）

A.（0,0.3）B.（0.3,0.5）C.（0.5,1）D.（1,2）

22.（2024・新课标团卷•高考真题）当xl[0,2加时，曲线），=sinx与y=2sin卜1一专的交点个数为（）

A.3B.4C.6D.8

23.（2024・新课标（3卷・高考真题）设函数/（1）=。。+1）2-1,g（x）=cosx+2aL当xe（—1,1）时，曲线y=/（x）

与P=g（x）恰有一个交点，则。=（）

A.-1B.C.1D.2

2

二、多选题

24.（2024•新课标回卷•高考真题）设函数/（幻=2^-3/+1,则（）

A.当时，/（幻有三个零点

B.当a<0时，x=0是/（工）的极大值点

C.存在m/?.使得x=b为曲线.v=/（x）的对称轴

D.存在小使得点0J。））为曲线）'=/（冷的对称中心

三、填空题

25.（2024•全国甲卷•高考真题）曲线），=/-3犬与5=-（工-1）2+4在（0,+8）上有两个不同的交点，则。的取

值范围为.

26.（2024•天津•高考真题）设awR,函数/（x）=2V7工-版-2|+1.若/（x）恰有一个零点，则。的取值

范围为.

27.（2023・天津•高考真题）设aeR,函数〃力=加-2工-,-5+1|,若/3恰有两个零点，则。的取值范

围为.

28.（2023•新课标包卷•高考真题）已知函数/"）=COS5-13>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点，则3的

取值范围是.

第07讲函数与方程

目录

考情探究............................................................2

知识梳理............................................................3

探究核心考点........................................................4

考点一求函数的零点、及零点个数.........................................................4

考点二用零点存在性定理到新零点所在区间.............................................4

考点三求方程的根及根的个教............................................................5

考点R求图象的支点及支点个数.........................................................5

考点五根据零点、方程的根及图象文互求参数范囹......................................6

三阶突破训练........................................................7

基础过关...................................................................................7

能力提升...................................................................................8

真题感知...................................................................................9

A考情探究＜

一、5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2。24年新I卷，第7题,5分求函数零点或方程根的个数正弦函数图象的应用

函数奇偶性的定义与判断

根据函数零点的个数求参数

2024年新II卷，第6题,5分函数奇偶性的应用

范围

求余弦（型）函数的奇偶性

求含sinx（型）函数的值域和最值

2024年新II卷,第9题,6分求函数零点或方程根的个数求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

求正弦（型）函数的最小正周期

函数对称性的应用

2024年新II卷,第11题,6分判断零点所在的区间函数单调性、极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

根据函数零点的个数

2023年新I卷，第15题,5分余弦函数图象的应用

求参数范围

二、命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定

义，难度不定，分值为5-6分

【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个

数

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理

3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解

【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容

A知识梳理<

知识点i函数零点的定义

一般地，对■于函数y=/(%),把使___f(x)=0的实数%叫作函数y=/(%)的零点.函数y=/(%)的零点

就是方程f(%)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.

方程、函数、函数图象之间的关系：

方程/(%)=0有实数解e函数y=/(幻的图象—与X轴有公共点=函数y=fW一有零点.

知识点2函数零点存在性定理

如果函数y=/(均在区间口匕］上的图象是一连续不断的一条曲线，且有f(a)•/'(》)<0,

那么函数y=/(外在区间33)内—至少有•个零点，即存在cw(a,b),使得/(c)=0,这个c也就

是方程/(%)=o的解.

知识点3函数单调性对零点个数的影响

如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断

函数是否单调

知识点4几个“不一定”与“一定”(假设在区间连续)

(1)若/(〃)•/(〃)<(),则/⑴“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析了“)的性质

与图象，如果/(x)单调，则“一定”只有一个零点

(2)若则“X)“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果“X)单调，那么

“一定”没有零点

(3)如果/(x)在区间(。力)中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。

如果/(戈)单调，则一定小于0

知识点5零点与单调性配合可确定函数的符号

/(X)是一个在(0力)单增连续函数，工二马是/(X)的零点，且工£(〃⑼，则X£(4,X(J时，/(x)<0；

X时,/(X)>0

知识点6证明零点存在的步骤

(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

(2)判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数/(x)

(3)分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间

(4)利用零点存在性定理证明零点存在

>探究核心考点<

考点一求函数的零点及零点个数

x2+4x+3,x<0,

典例1.(2025•安徽滁州•二模)函数/(“=4兀[所有零点之和为()

cos—.0<x<4

2

A.-4B.-3C.0D.1

【答案】C

【分析】分类求出函数的零点后可得正确的选项.

+4x+3=0cos—=0

【详解】由《八或《2可得大=一1或工二一3或x=l或x=3,

x<0八，，)

[0<x<4

故函数的零点之和为0,

故选：C.

典例2.(2025•山东枣庄•二模)函数/(x)=sinx+cos2X在区间(0,3兀)上的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】利用二倍角的余弦公式亿简函数，求出零点即可判断.

【详解】函数/(x)=sinx+l-2sin?x,由/(x)=。，得sinx=l或sinx=-；,

当xu(0,3R时，xedD'Y),因此函数/(")在(0,3力上的零点个数为4.

2662

故选：B

跟踪训练1.(2025•山东•模拟预测)函数〃"=怛工+笆(1-3)-1的零点为.

【答案】5

【分析】令〃x)=0,得x(x—3)=10解出即可求解.

【详解】令/(x)=。，得坨[x(x-3)]=lgl0,所以x(x—3)=10,解得*=5或工=2(舍去)

故答案为：5.

跟踪训练2.(2025・上海•三模)函数/(小封唱》卜噫刀的零点个数为.

【答案】3

【分析】根据/(%)='|sin(5:|Tog2X的零点转化为Y=|.生)与必=晦1的图象的交点,

由图即可

得出答案.

【详解】根据/'a)=m的零点个数转化为y=}in

与％=log2”的图象的交点个数,

工=5时，函数/(力二裂由gx取最大值<,

x=4应时函数y=log2X的值为T，

又因为5<4&<6,结合图象可知，两函数图象具有3个交点.

所以/'(x)=|sin加-log2K的零点个数为3个.

故答案为：3.

考点二用零点存在性定理判断零点所在区间

典例1.(2025•湖北十堰•模拟预测)函数〃x)=x+ln%-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理即可求解•.

【详解】函数/(x)=x+lnx-4的定义域为(0,+co),因为/*)在(0,+00)上连续且为增函数.

且f(2)=-2+ln2〈0J(3)=T+lii3>0,则/⑵♦/⑶<0.

由零点存在定理可知，函数/*)=x+lnx-4的零点所在的区间是(2,3).

故选：C.

典例2.函数/（x）=bM+2cosx-si吟的一个零点所在区间为（)

1.45）（5句u匕下,D.

【答案】C

【分析】在xeO.］和xw几两种情况下，利用/（X）的性质结合函数零点的存在性定理不知零点所在

区间.

【详解】由题意知/（力=卜加|+28.彳，

当xw[0,可时，/(x)=sinx+2cosx-J,

,7兀1兀3几7T

当臼呜时，COSJI>0,-V+—€—,—X+—

4444

所以/(x)2sinv+cost-g=\/2sin(x+'^-齐。，

所以/（“在仔。呜3上无零点,故AB均不正确;

当g,兀时，由丁=$10¥,y=COSX在pH上单调递减，

乙乙

所以/（x）=sinx+2coM-;，在冗上单调递减，

由佃十。,借尸经＜0,所以/如传卜。,

所以，（力在（鼻号）上有唯一零点，在（专，手）内无零点，故C正确，D不正确.

故选：C.

跟踪训练1.（2025•河北沧州•二模）函数/（x）=2'+lnx-1的零点所在的区间为（）

A.B.卜C.D.

【答案】B

【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.

【详解】因为丁=2"与），=lnx-l均在定义域上单调递增，

所以〃力=2V+Inx-1在（0,+e）二单调递增，

->l=^+ln--l=A/2-l-ln2,

又f1

⑴2

—1<一,In2>InVe=—.

22

/./-=>/2-l-ln2<0,

12,

乂/(l)=2+lnl-l=l>0,

故选：B.

跟踪训练2.已知函数小）加上+升sinx,则在下列区间口，函数“X）一定有零点的是（）

【答案】D

［分析］根据函数图象及零点存卢定理判断即可.

【详解】在同一坐标系内，作y=tan（x+m）,y=sinx图象，如图,

o匹匹x

62

y=tan(x+^)

由图象可排除AB选项,

又唱5n.itV3,

=tan------sin-=---------1<0,

623

(311)(3n兀)一sin型=tanN.也〈国虫<0,

一+—

工(43)412232

f(z)=tan(n+—)-sinn=tan—=^>0,

所以由零点存在定理及图象可知，函数/（X）在，，与］上无零点，在片上有零点,

所以C错误，D正确.

故选：D

【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间.

考点三求方程的根及根的个数

典例1.（2025・甘肃金昌•模拟预测）当时，方程2sin2x=cosx的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】应用二倍角正弦公式有8sx《sinx-lbO,结合正余弦函数的区间图象判断解的个数.

【详解】由题意得，4sinxcosx=cosx,得8s.「（4sinA：-1）=0,

JT7T

乂COSX=0在一5Vx<5内无解，

故4sinx-l=0,且在题设给定范围内有唯一解.

故选：B

典例2.（2025・湖北十堰•模拟预测）若函数/（x）=，关于/的方程/2（幻-3/3+2=0的根

2sin-^-x,|x|<1

的个数为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】首先解得/"）=1或八幻=2,再根据函数/5）的图象，利用数形结合，即可求解.

【详解】由尸“）-3/（幻+2=0得"（幻一l]"（x）-2]=0,解得f（x）=l或/（*）=2,

画出/（x）的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点.（图中只显示了6个交点，当/>2或x<-2

时，y=2和），=1与图象还有4个交点，）

跟踪训练1.（2025•河北保定一模）已知/（X）是定义在R上的函数，且有/"+1）=/（"+1,当OcxWl时,

/㈤=3%+1,则方程“6=4的根的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由已知，讨论x的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可.

【详解】/(力是定义在R上的函数,且有〃x+l)=/(x)+l,

当OvxVl时，f(x)=3x+L

则一IvxKO时，0<x+l<1,则f(x)=/(x+l)-l=3x+3,

1<X<2时，0<x-l<l,/(x)=/(x-l)+l=3x-l,

2<xK3时，0<x-2<l,/(x)=/(x-2)+2=3x-3,

3vxW4时，0<x-3<l,/(x)=/(.r-3)+3=3x-5,

画出函数f(x)与函数y=4的图象，

-611--1---1>

^]O\1234*

由图象可知方程/(x)=4的根的个数为3.

故选：C.

,、,、2sinxr,-l<x<1

跟踪训练2.(2025・湖北武汉・模拟项测)已知函数/(力满足/(z12)=/"-2),且/(力=1I_国]<彳<3,

则方程2/(x)=x的实数解的个数为.

【答案】4

【分析】由题可知/(x)的周期为4,方程2/(%)=x的解即为/㈤与y=的交点横坐标，画出jf(x)与

y=gx的图象，数形结合即可判断.

【详解】由函数/(“满足〃x+2)=〃x—2),则/(工+4)=〃力，所以外力的周期为4,

2sin7ix,-l<x<1

由小）11-H，I<X<3,/（4）=/（0）=2sin0=0t

可得函数f(x)的图象如下:

方程2/(x)=x的解，即为y=的交点横坐标，

当了>4时，y=^x>2,此时/(.V)与y=gx无交点，

当了〈一4时，y=^x<-2,此时/(%)与y=g上无交点，

由图可知两图象交点个数为4,即方程2/(x)=x的实数解的个数为4.

故答案为：4

考点四求图象的交点及交点个数

典例L(2025•江苏扬州•三模)当xe[0.22时，曲线产sin2x与)，=2sin(2x-=)的交点个数为()

4

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.

【详解】作丁=痴2%图像，列表：

713兀5兀7元

2.x07T2n37c47c

2~2T~2

Itn3兀57c3兀In

X07t2兀

72TT2T

sin2x010-i0i0-i0

作了小*4)图像，列表:

n兀3兀57c7兀15n

2x--0it2n3冗

4-42~2TT丁

713715n7兀9兀IE13兀15兀

X02兀

8TTTT~TV

则两个函数在［0,2兀］上有4个交点.

故选：B.

典例2.(2025・河北•模拟预测)函数与函数y=ln(G7T-x)-L的图象的交点个数为()

x

A.0