北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》问题解决的策略-反思导学案

第一章勾股定理

问题解决的策略：反思

I学习目标与重难点

学习目标：

1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径”的问题。树立转化思想。

2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。

3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

学习重点：利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题。

学习难点：如何寻找和计算最短距离。

预习自测

一、知识链接

1、如何判断一个三角形为直角三角形的友达_______________________________________A

.2、两点之间最短.直线外一点到这条直线可以画条线段，其中最短。

3、圆柱体侧面展开是一个°圆柱体的底面周长是展开后的，

高是展开后的—

二、自学自测

1.△ABC的三边长为AB=26.AC=1().BC=24.则4ABC的为三角形

教学过程

一、创设情境、导入新课

有一个圆柱，它的高等与12cm,底面上圆的周长等于18cm。在圆柱下底面

的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的点B处的食物，沿圆柱

侧面爬行的蚂蚁怎样走最近？最近路程是多少？

二、合作交流、新知探究

1、小组合作蚂蚁爬行的4种最基本的线路，并计算线路的长度

B

A»

A

A

2重点探究

路3中n中情况，不计算比较AE+EB、AF+FB、AB大小，为什么？

【强调】：1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点

之间，线段最短”确定爬行路线。

2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。

三、典例精析

例1、有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面Im的A处爬行到对角B处

吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可

以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.（如图）

例题2:你能求出蚂蚁从A爬行到B的最短距离吗？

①沿着棱爬行的距离」

②沿前面和上面展开后对角线立

③沿前面和右面展开后对角线

B

④沿左面和上面展开后对角线

比较4种方案_________VV<

所以蚂蚁从A到B的最短距离是（）

【强调】：长方体距离最短问题应该分类讨论。

三、课堂练习、巩固提高

1.如图，有一个圆柱，底面圆的直径.3cm,高BC=12cm,P为BC的中点，一只蚂蚁从A点

出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（）

A.9cmB.lOcmC.llcmD.12cm

第1题第3题第4题

2.如图，正四楂柱的底面边长为10cm,侧棱长为16cm,一只蚂蚁从点A出发，沿楂柱侧面到点C

四、总结反思、拓展升华

1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段

最短”确定爬行路线。

2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。

五、【作业布置】

基础达标：

1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（）

A.11cmB.12cmC.13cmD.14cm

2.如图，圆柱的底面周长为6cmAC是底面圆的直径，高BC=6cm、点P是竖直线段BC上一点，旦/Y辽庆:

।

一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）

B.5cmC.6cmD.7cm

第1题第2题第3题

3.如图，若圆柱的底面周长是50cm,高是120cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈纱线到顶部B处，

则这条丝线的最小长度是（）

A.170cmB.70cmC.145cmD.130cm

4.如图是一个长为4,宽为3,高为12的矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直

吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）

A-5<a<12B.12WaW3J17C.12WaW4J100.12<a<13.

5.如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B距离C点5CM,一只蚂蚁如果要沿着长方

体的表面从点A爬到点B,则蚂蚁爬行的最短距离是Cm,

6.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B,如果它运动的

第4题第5题第6题

能力提升：

7.有一•个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB=6dm,水深AE=4dm.在

水面线E卜上紧贴内壁G处白一粒食物，且EG=6dm,一只小虫想从水缸

外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物，

⑴小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短呢?请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标

注.

⑵求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度).

拓展迁移：

8.如图是两个全等的直角三角形纸片，旦AC:BC:AB=3:4:5.按如图的两种方法分别将其折叠，

使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分

别为S,S?.

(1)若AC=3,求S的值.

(2)若Si+S2=26,求单个直角三角形纸片的面积是多少.

课堂练习参考答案

I、B

2、B

3、D

4、A

5、150,

解答提示：

方法一，把它展开看作直角三角形的底边是30个4cm,。

方法二，把它展开看作直角三角形的底边是4cm高90cm,求斜边长，然后乘以30圈。90+30

6、解答提示：如图4cm

⑴利用勾股定理的逆定理进行判断，求出NACB=90。

(2)过点C作CD1AB,利用一面积两算法，求出CD=240Km,根据“以台风中心为圆心周围250km

以内为受影响区域.”故海港C受台风影响。

(3)根据勾股定理求出ED,继而求出EF,根据“台风的速度为20千米/小时.”求出今风影响该海港持

续的时间为7小时.

课外作业参考答案

1、C

2、B

3、D

4、D

5、25

6、2J10

7、解：(1)如图，作点A关于BC所在直线的对称点A，，连接A，G,A，G与BC交于点Q,贝ijAQ+

QG为最短路线.

(2)因为AE=4dm,AA，=2AB=12dm、所以A'E=8dm.

在Rt2\A'EG中，EG=6dm,A,E=8dm,A'G=AE+EG,

所以A，G=10dm.由对称性可知AQ=AQ

所以AQ+QG=A'Q+4G=A'G二10dm.

答：小虫爬行的最短路线长为10dm.

【解析】

(1)作点A关于BC所在直线他对称点A',连接A'G,A'G与BC交于点Q,由对称性可知AQ=A'

Q.根据两点之间线段最短则M+QG为最短路线.

在RtZXA'EG中利用勾股定理求出AQ+QG=A'Q叶MJG=A'G=10dm.

8、解：(1)VAC:BC:AB=3:4:5,AC=3,

・・.BO4,AB=5,

由折叠可得，DM=CM,/ADM=ZC=90°,AD=AC=3,

设DM=CM=x,则BM=4-x,

,/S4aMBMxAQ)

/.ABxDM=BMXAC,即5x=3(4-x),

O；x=i,

图1图2

.\Swl^DxW®lx2x-»-

'2222

(2)由AC:BC:AB=3:4:5,可设AC=3x,BO4x,AB=5x,

如图1,由折叠可得，AD=AC=3x,BD=5x-3x=2x,DM=CM,ZADM=ZC=90°,

,:S.=—ABxDM—BMxAC',

J，

AABxDM=BMXAC,即5xxDM=(4x-DM)x3x,

解得DM=-v.

:

:.E=，BDxDM=—x2xx—x=­x:

'2