八年级数学上册：勾股定理（原卷版）

第四讲勾股定理

目录

必备知识点........................................................................1

考点一勾股定理的证明...........................................................1

考点二勾股定理的逆定理.........................................................2

考点三勾股定理的基础应用.......................................................3

（J）>知识导航

必备知识点

1.勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a?+b2=c2）

【注意】

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三常形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b?=c2,那么这个三角形是直角三角形）

【注意】

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为

形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c

（2）验证c?与a?+b2是否具有相等关系：

若c2=a?+b2,则△ABC是以NC为直角的直角三角形；

若c2>a2+b2,则4ABC是以NC为钝角的钝角三角形；

22

若c<a+b2,则4ABC为锐角三角形。

考点一勾股定理的证明

1.勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的

直角三角形拼成，已知大正方形面积为25,小正方形面积为1,若用a、b表示直角三角

形的两直角边（”＞方），则下列说法：①次+启=25，②a-b=I,③出＞=12,®a+b=

7.正确的是（）

A.①②B.①©③C.①®④D.①®@④

2.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是

在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》

内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，卜面四幅图中，不能证明勾股

定理的是（）

3.如图，在四边形ABOE中，AB//DE,ABVBD,点C是边8。上一点，BC=DE=a,CD

=AB=b,AC=CE=c.下列结论：①△ABC@Z\C£）E；②NACE=90°：③四边形

22

ABDE的面积是/（a+b）2；（a+b）-^-c=2Xyab=⑤该图可以验证勾股定

理.其中正确的结论个数是（）

考点二勾股定理的逆定理

4.由下列条件不能判定AA8c.为直角二角形的是（)

A.NA+N8=NCB.a=2,b=4,c=2巡

C.N4：ZB：ZC=5：12：13D.（b+c）Cb-c）=a2

5.判断下列四组数据，不可以作为直角三角形三条边的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.4,3,5

C.8,15,17D.1,2,3

6.已知在△人8c中，//、NB、NC所对的边分别是心b、c，则添加下列条件，不能判

定△4EC是直角三角形的是（）

A.a：bzc=2：2：1B.a2+b2=c2

C.a：b：c=5：12：13D.a：b：c=4：5：3

7.下列各组数中，能构成直角三角形的为（)

A.1,1,2B.15,21,25C.7,24,25D.6,12,13

考点三勾股定理的基础应用

8.直角三角形的两条直角边长分别为9和12,则该直角三角形的斜边长为（）

A.13B.14C.3V7D.15

9.如图，在△ABC中，ZC=90°,4。平分NCAB,CD=\.5,80=2.5,则AC的长为

()

10.如图，在RlZ\4BC中，ZC=90°,AC=12,BC=18,OE是线段AB的垂直平分线,

则BD的长为（）

A.8B.10C.13D.15

11.在△ABC中，AB=6,AC=8,ZBAC=60°,AZ）平分NB4C,交8c于点。，则AD

的长等于（）

A

A

RDC

A.半B.3^3C.-^V3D.7

12.:如图，在四边形ABC/）中，ADLAB,ACIBC,且AD=CD=AB=2,则月。为（）

D

c.AD.返

A.1B.

25

13.如图，RtAABC中，ZCAB=90°,以AC、AB为边分别作等边三角形△ACE、△

ABF,△ACE、AAB/的面积分别为Si、S2,若Bd=8«,那么Si+S2=（）

F

A

A.2V3B.4^3C.6D.12

二.解答题（共6小题）

14.如图，有一架秋T，当他好止时,踏板离地的垂直高度。£=06小将他往前推送2.4〃?

（水平距离BC=2Am）时，秋千的踏板离地的垂直高度8F=1.2〃?，秋千的绳索始终拉

得很直，求绳索人。的长度.

15.如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离

树根8米处，即8c=8,求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？

16.如图，把一块直角三角形（△ABC,ZACB=90°）土地划出一个三角形（AWC）后,

测得。。=1.5米，AQ=2米，4c=6米，48=6.5米.

（1）求证：N4QC=90°；

（2）求图中阴影部分土地的面积.

17.已知，如图，一块四边形A4co土地，AB=6m,XD=8/n,BC=15m,CD=5®n,

且N4=90°,求这块四边形ABCD的面积.

18.如图,梯子AB斜靠在竖直的墙4。上,A0为2.45,0B为0.7m.

（1）求梯子48的长;

（2）梯子的顶端A沿墙下滑0.4〃?到点C,梯子底端8外移到点D,求8。的长.

19.如图,在笔直的高速路旁边有