2026七年级下册数学期末试题分类汇编（北师大版）整式的乘除（解析版）

专题01整式的乘除

☆12大高频考点概览

考点01幕的运算

考点02幕的逆运算

考点03零指数鬲负整数指数鬲的综合计算

考点04鬲的混合运算

考点05科学计数法

考点06已知多项式乘积中不含某项求字母的值

考点07整式乘除的混合运算

考点08整式乘法的混合运算--化简求值

考点09通过对完全平方式变形求值

考点10多项式乘法中的规律性问题

考点11单项式乘多项式多项式乘多项式与图形面积

考点12乘法公式中的几何图形应用

考点01

1.（25・26七年级下•江苏盐城•期末）下列各式计算正确的是（）

A././=/B.（/）4=/C.a^a2=aD.[la2b^=la%3

【答案】C

【分析】本题考查了同底数辕的乘除法、墓的乘方、积的乘方.

根据同底数基的乘除法、暴的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐•计算判断即可.

【详解】解：小/=/2=4、不，故A选项错误：

（打=产=/2",故B选项错误;

八八产.,故c选项正确;

（2k/）y=2〃产2〃6",故D选项错误；

故选:C.

2.（25-26七年级下•江苏宿迁•期末）下列运算正确的是（）

1

A.=ah2B.tr-a4=a2C.«10-ra2=a5D.(q=a6

【答案】D

【分析】本题考查了积的乘方、同底数'曷的乘法、同底数塞的除法、辕的乘方.

根据积的乘方、同底数昂的乘法、同底数幕的除法、幕的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可.

【详解】解：(。力『故A选项错误；

/./=产=/"2,故B选项错误：

/。/=产“少/，故C选项错误;

(/丫=〃"=/,故口选项正确；

故选：D.

3.(24-25七年级下•上海青浦・期末)计算：--.(_/)3=.

【答案】%8

【分析】本题考查了转的乘方与同底数第的乘法，掌握相应的运算法则是关键.先计算乘方(-/)、，再利

用同底数幕相乘法则计算乘积.

【详解】解：原式二一公・(—，)，

故答案为

4.(25-26七年级下•河南新乡•期末)«(-«5)(-^6)(-«)7-(-^)2=.

【答案】-a2,

【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数塞相乘的法则.

【详解】解：(_〃)2

=a)/

=-(aa5-a6a7a?)

-u

=-a21.

故答案为：-L.

5.(24・25七年级下•上海嘉定•期末)计算卜：个2)的结果是.

【答案】一/"6

【分析】本题考查了积的乘方，箱的乘方，掌握整式的乘力运算是关键.

2

根据积的乘方，塞的乘方运算法则计算即“J.

【详解】解：卜„二步，6,

Q

故答案为：•

塞的逆运算

6.（24-25七年级下•全国•期末）已知"=2，/=3,则等于（）.

A.1B.72C.72D.-36

【答案】B

【分析】本题主要考杳了幕的乘方，同底数基乘法的逆运算，正确掌握相应的运算法则是解题的关键.

先根据累的乘方求出=8，/）=9,再根据同底数幕乘法的逆运算法则求解即可.

【详解】解：:"=Z，/=3，

=（“"）=8,a21=（«）=9,

・•・/+2）=小./=8乂9=72,

故选B.

7.（23-24七年级下•广东深圳•期末）已知3府=2，3"=5，则留口=.

2

【答案】—/0.08

【分析】本题考查同底数塞的除法的逆用和塞的乘方逆用，熟练掌握运算法则并灵活运用是解答的关键.根

据同底数幕的除法和泉的乘方的逆用求解即可.

【详解】解：・・・3"'=2,3"=5，

•^m-2n

=2+52

=言，

2

故答案为：—•

8.（23-24七年级下•全国•期末）若/=2,丁=3,则的值等于—.

【答案】|2

【分析】本题主要考查了同底数事除法的逆用，根据求解即可.

7

【详解】解：=2+3=：

3

故答案为：!7

9.（23・24七年级下•江苏南京・期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向

运用请运用幕的运算法则的逆用解决卜.列问题:

(1

（2）已知a=2g,b=3\c=73,请把口力,c用连接起来:

⑶若4“=2,4〃=3,求43a位口的值;

【答案】（1）一4

Q)c<a<b

(3)18

【分析】本题考查哥的运算的逆用:

（1）逆用积的乘方，进行求解即可;

（2）将dAc化为同指数累的形式，比较底数的大小即可;

（3）逆用同底数幕的乘除法，塞的乘法，进行计算即可.

/.\2025

【详解】（1）解：原式=--x4x4=-lx4=-4；

I4

故答案为：-4：

(2)«=29=(23)3=8\Z)=36=(32)'=9\C=73,

9>8>7,

c<a<b；

故答案为：c<a<b.

(3)=2,4"=3,

...43"+21=(4"?.(4"『+1=2'XW+4=8X9X；=18.

10.（23-24七年级下•江西吉安•期末）已知3*=4,9"=5.

⑴求3，田”的值;

⑵求旷"的值.

【答案】（1）20

16

⑵二

【分析】本题考查晶的运算，熟练掌握同底数辕的乘法，乘方，除法法则，是解题的关键:

（1）逆用同底数暴的乘法和乘方法则进行计算即可;

（2）逆用同底数幕的除法法则进行计算即可.

4

【详解】(1)解：:3所=4,9"=5,

:.3OT+2W=3"'•32rt=3m-(32)n=3m-9''=4x5=20；

(2)V3m=4,9"=5，

...32m=9，”=(3，”丫=16,

...9’…=9〃：9"=3.

5

零指数寡负整数指数累的综合计算

11.（23-24七年级下•河北秦皇岛•期末）计算的结果是（）

A.-B.8C.-D.6

86

【答案】A

【分析】本题考查负整数指数幕.

根据运算法则计算即可.

【详解】解：2-3=*="

故选：A.

12.（23-24七年级下•宁夏银川・期末）下列计算结果正确的是（）

A.a+/=/B.（一。户/二一小

【答案】C

【分析】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项、同底数鼎的乘法运算、负整数指数幕运算及零指数基

运算，根据同类项、同底数累的乘法运算、负整数指数寻运算及零指数靠运算逐项验证即可得到答案，熟

练掌握相关运算法则是解决问题的关键.

【详解】解：A、由于/和/不是同类项，不能合并，计算结果错误，不符合题意；

B、（-a）?计算结果错误，不符合题意；

C、2f=4,计算结果正确’符合题意；

D、（-2）°=1^-1,计算结果错误，不符合题意；

故选：C.

13.（23-24七年级下•全国•期末）计算：2一一（一3）+22°24x（—0.5）2°"=

5

【答案】工/0.5

2

【分析】本题考查了负整数指数需与零指数晶、积的乘方的逆用、有理数的乘方与加减法.先计算负整数

指数曷与零指数寻、积的乘方的逆用，再计算有理数的乘方与加减法即可得.

(］、0

【详解】解:+2吗|：-0.5广

2T"<"2>

4-l+[2x（-0.5）r

Y+（-l产4

=---卜1

2

1

=2,

故答案为：y.

14.（23-24七年级下•陕西榆林・期末）计算：2-2+|-4-,|-（2024-1）°.

【答案】1

【分析】分别根据负整数指数累、绝对值以及零指数塞的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算.

本题主要考查了实数的综合运算，涉及负整数指数幕、绝对值以及零指数幕的运算.熟练掌握负整数指数

呆「二』（。工0,〃为正整数）、绝对值的性质以及零指数基/=1（。=0）的运算法则是解题的关键.

ap

【详解】解：2〃+|-41—（2024—1）。

1

=—.

2

15.（24・25七年级下•上海黄浦・期末）计算：（-1）2024+仔『_打—4丫-（邛.

【答案】V

8

【分析•】本题主要考查了零指数爆，负整数指数'幕和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数耗，负整数

指数显和乘方，再计算加减法即可得到答案.

6

【详解】解：（-。+仔」-（兀-4?一(9

13,

17

=

8.

16.（24-25七年级下•重庆•期末）计算:

⑴11)%卜2|++(-2025)°

（2）|2（r丫-3a5-a+asa2

【答案】（1）12

⑵2a6

【分析】本题考查的是呆的运算，零次累，负整数指数基的含义；

（1）先计算乘方，绝对值，零次累，负整数指数昂，再合并即可；

（2）先计算积的乘方，同底数箱的乘法，除法运算，再合并同类项即可.

【详解】（1）解：（―1），卜2|+（-口—+（-2025）°

V3/

=1x2+94-1

=2+9+1

=12;

（2）解：（2/y—3/•4+。'

=々/-3。6+。6

=却；

17.（24-25七年级下•江苏宿迁期末）计算：

⑴12），+（7—乃）。一（；）;

（2）x5-x3-（2x4）"+x104-x2.

【答案】（1）—10

（2）-2./

【分析】本题考查了同底数幕的乘除法、冢的乘方与积的乘方、零指数曷、负整数指数凝、有理数的加减

混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

7

(1)根据零指数索法则、负整数指数暴法则、有理数的混合运算法则进行解题即可：

(2)根据同底数辕的乘除法法则，察的乘方与积的乘方法则进行计算即可.

【详解】(1)解：(-2)'+(7-不।

=-8+1-3

=-10.

(2)解：X5-.?-(2X4)2+X,04-X2

=f-4/+/

=-2x8.

18.(23-24七年级下•安徽亳州州末)先化简，再求值：(一/)3./+(_4)2.『_5(叫3+(_£|°,其中q=-l.

【答案】一5/+1,6

【分析】本题考查了哥的混合运算，先根据制的乘方、同底数累相乘，零次基法则进行化简，再合并同类

项，得出-5/+I,然后把。=-1代入_5“9+1,进行计算，即可作答.

/I\0

【详解】解：(―/)3./+(_02.4，—

二(-/)•/+/•°，-5a9+1

=-ag+ag-5a9+1

=-5/+1

把。二-1代入一5d+l,

W-5a9+l=-5x(-l)9+1=6

19.(23-24七年级下•广东茂名・期末)计算：

(1)|-3)°+(-2)-2-(-1)2024；

⑵446./一(_“2)5+〃2.

【答案】⑴:

(2)5〃8

【分析】本题考查了实数的混合运算，鬲的混合运算：

(1)先化简乘方、零次累、负整数指数幕，再运算加减，即可咋答.

(2)先计算同底数基相乘，积的乘方，再合并，即可求解.

【详解】(1)解：原式=

44

8

(2)解：原式=4/-(-f=4/+/=5/.

20.（23・24七年级下•江苏泰州•期末）计算：

（l）l---4+（^-2024）°-（-l）2C24

、2，

（2）a-a2-（-3tz4）~+a".

【答案】（1）0

（2）。3-8/

【分析】本题主要考直了零指数痔，负整数指数骞，整数帚的混合il算：

（1）先计算零指数累，负整数指数察，再计算乘方，最后计算加减法即可;

（2）先计算同底数寤乘除法和积的乘方，再合并同类项即可.

【详解】⑴解：卜;）二4+（,-2024）°-（-1芦4

=4-44-1-1

=0;

（2）解：4-（-%4++a*

=/-9/+。8

=一8。'•

科学计数法

目目、考点05

21.（24-25七年级下•宁夏银川•期末）碳纳米管的硬度与金刚不相当，却拥有良好的柔韧性.我国某物理

研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示为•）

A.52x10"B.0.52x10'C.5.2x10“°D.5.2x109

【答案】C

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示较小数的一般形式为axl（r,其中闫4<10,

〃为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，确定〃与〃的值即可求解.

【详解】解：0.00000000052左边起第一个不为零的数字为5,它前面共有10个0,且5.2满足1工5.2<10,

0.00000000052=5.2xlO-10.

22.（24-25七年级下•陕西咸阳•期末）2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属

材料的普适性制备.其中铅（Pb）二维金属厚度约为0.00000000075m,将数据0.00000000075用科学记数

法表示为（）

A.0.75x10-9R.7.5x10"C.7.5x10"D.75xl0-u

9

【答案】B

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法形式为4X10”，

其中14同<10,〃为整数，对于小数，〃为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数，由此问题可

求解.

【详解】解:数据0.00解0000075用科学记数法表示为7.5x10-表

故选B.

23.(24-25七年级下•广西百色・期末)国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱

家鹏教授及其团队的研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止

最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.0000000008

米.其中0.00000000018用科学记数法表示为()

A.1.8xl0-,(>B.0.18xl0-,°C.18x10-9D.1.8xl0-9

【答案】A

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式

为"i(r,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零

的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.00000000018用科学记数法表示为1.8x10年.

故选：A.

24.(24-25七年级下•山东济宁・期末)石墨烯是一种以即2杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的

晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主

研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有().()0()00000034米，将数据

().()0000000()34用科学记数法表示为3.4x10",则n的值为.

【答案】-10

【分析】本题考查了科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式axl(T("|a[<10,〃为

负整数时，〃的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数).

根据科学记数法表示小于1的正数的形式ax](T,确定。=3.4后，数出原数0.00000000034中左起第一个非

零数字(3)前的0的个数，即可得到〃的值.

【详解】解：0.00000000034=3.4xlO-1%所以〃的值为TO.

故答案为：-10.

25.(24-25七年级下•湖北荆州・期末)我们生活在物质的世界皇，所有的物质都是由一些看不见的微小粒

子构成的，例如水就是由水分子构成的.科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约O.OOOOOOOOtMm,其

中0.0000000004m用科学记数法表示为.

10

o

H■H

【答案】4xlO-lom

【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为〃xlO"的形式，其中】《同〈10,〃

为整数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同,

当原数绝对值大于等于10时，〃是非负数，当原数绝对值小于1时，〃是负数，表示时关键是要正确确定。

的值以及〃的值.

【详解】解：0.0000000004m用科学记数法表示为4x1

故答案为:4x10lom.

已知多项式乘法中不含某项求字母的值

26.(24・25七年级下•安徽芜湖•期末)要使多项式，-必+2)(.”〃)不含x的二次项，则加与〃的关系

是()

A.m+//=1B.m+n=0C.mn=1D.mn=-1

【答案】B

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出

(，-〃d+2)(x-〃)的结果，再根据不含X的二次项，即含X的二次项的系数为。进行求解即可.

【详解】解:y一mx+2)(x—〃)

=x3-/fix2-nx2+nuix+2x-2n

=A?-(/H+72)X2+(mn+2)x-2n

•・•多项式(/-〃江+2)(%-〃)不含x的二次项，

/.-(/H+/2)=0,

:.m+n=0,

故选:B.

27.(24-25七年级下•湖南株洲•期末)已知(x+a)(x+〃)=f+m+〃，若不论。为何值，的值始终是

一个确定的值，则这个确定的值是()

A.4B.2C.-4D.-2

【答案】A

11

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题.根据多项式乘以多项式的计算法则得到

x2-(a+b)x+ab=x2+mx+n,贝lJm=a+Z>,n=ah,进而可得2〃?一〃=2a+=(2—6)q+26,再根据

2〃L〃是定值，得到2-6=0,据此求解即可.

【详解】解：:(x+a)(x+Z>)=-+

/.x2+(a+b)x+ab=x2+mx+n,

m=a+b,n=ab,

2m-n=2a+2b-ab=[2-t^a+2b,

•・•无不论。为何值，26-〃的值始终是一个确定的值，

・•・2-6=0,

/./>=2»

:.1m-〃=26=2x2=4,

故选：A.

28.(24-25七年级下江苏宿迁期末)(x+a)(x-3)计算结果中不含x的一次项，则.

【答案】3

【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精

巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力.先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令x的一次项系数

等于0,再解方程即可得到答案.

【详解】解：•.•(x+a)a-3)=/+(a-3)x-3。，且(x+〃)(x-3)的计算结果中不含x的一次项，

/.a-3=0,

解得。=3,

故答案为：3.

29.(24-25七年级下•湖北十堰•期末)已知H+〃a+8)(x2-3x+。)展开后，不含/和丁的项，则(_〃?1=

【答案】-27

【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将12+〃。+8乂/-米+〃)展开，然后根据展开后不含/和的

项，得出关于〃7、〃的方程，求解他、〃的值，最后代入(r〃产计算结果.

本胭主要考查了多项式乘多项式以及代数式求值，同时涉及了方程的思想.熟练掌握多项式乘多项式的运

算法则，能准确根据不含某一项得出对应系数为0的方程是解题的关键.

【详解】解；，+心+g)(/_3x+”)

12

=x4-3/+nx1+""-3ifix1+mnx+8x2-24x+8〃

=x4+(〃?-3)13+(〃-3〃i+8).d+(w24)x+8〃

•・•展开后不含/和/的项，

/./?/-3=0»n-3m4-8=0

解得用=3,n=1

:.(-靖=(_3产=(-3)3=-27

故答案为：-27.

30.(24-25七年级下•山东荷泽・期末)已知关于x的代数式(x+2“./-x+5)中不含x项与f项.

⑴求〃?，〃的值；

⑵求代数式病必〃期6的值.

1

〃7=一

【答案】⑴，2

〃=2

(2)2

【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题

的关键.

2/1=0

(1)利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出L.八，即可得出〃J,〃的值;

-it-2m=0

12

(2)将“，〃的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可.

2

【详解】(1)解：(x+2W)fx-x+1//

-x2+—nx+2nix2-2mx+mn

2

/1x

=x:+(2m-1)x2+-n-2mx+mn,

12)

..,不含X项与f项，

2机一1=0

/.1,

-n-2ni=0

.2

1

m=—

解得：“2；

n=2

(2)〃/25/026=^2025.〃2。25,〃=(^)必.〃=(、2)2°25X2=2.

整式的混合运算

3I.(24-25七年级下•贵州毕节・期末)计算:

13

(1)(14/+7a)+(7a)；

(2)2ab(--ab)2•(-3bc)-(-£//?)1--be

22

【答案】(1)2«+1

【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答;

(2)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答.

【详解】(1)解：(14/+7。)+(7。)

=14/-rla+la-i-la

=247+1；

（2）解：•（-^〃方产•（一36c）-（—a/?）3.g6c

22

=2ab^ab（r3bc）-（raV）Ue

=--a3bAc+—aybAc

22

=-a3b4c.

32.（24-25七年级下•陕西西安•期末）计算：（2x+yy+（2x—丁）（一2工一），）.

【答案】4xy+2y2.

【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，先利用完全平方公式和平方差公式将式子展开,

再合并即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：(2x+y)'+(2x-y)(-2x-y)

=4x2+4xy+y2-(2x-y)(2x+y)

=4x2+4AT+y2-(4x2-y2)

=4,v2+4xy+y2-4x2+y2

=+2y2.

33.(24-25七年级下•广东河源•期末)计算：(x+l)(4x-3)-(2x+l)(2.r-l)

【答案】x-2

【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.先根据多项式乘多项式、平方差

公式计算，再合并同类项即可.

【详解】解：(X+1)(4X-3)-(2A+1)(2X-1)

14

=4x2-3x+4x-3-(4.r2-l)

=4x2+x-3-4x2+1

=x-2.

34.(24-25七年级下•河北保定•期末)计算

⑴(x+l)2-(x-2)(x+3)；

Q)[(x+y)J(x-y)2卜孙.

【答案】⑴x+7

(2)4

【分析】本题考查了整式的混合运算.

(1)先计算完全平方公式，多项式的乘法，再计算加减即可；

(2)先计算完全平方公式，再计算加减，最后计算除法即可.

【详解】(1)解：(X+1)2-(X-2)(X+3)

2

=JC2+2x+1-.r-x+6

=x+7

(2)[(3+f)2-(工-历2卜个

22

=[—+2个+/-^x-2xy+y^xy

=4xy+xy

=4

35.(25-26七年级下•山东济南•期末)化简求值：[(3x-y)2-(3x+j，)(3x-y)+2M，卜2g其中工=一1,

y=2026.

【答案】-2x+yt2028

【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关健.

首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可.

【详解】解：原式=(9/-6号+)，2-9./+/+2号卜2.丫

=(-4号+2/b2卜

=~2x+y,

将x=-l,y=2026代入得：

原式=-2x(-1)+2026

=2+2026

15

=2028.

二二、考点08整式乘法混合运算一化简求值

36.(24-25七年级下•甘肃酒泉,期末)先化简，再求值：(a-3b)2—(〃+/))(a—b)+(4aB-28)+瓦其中“=1,

b=2.

【答案】8b2-2帅,28

【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的

关键.

先根据整式的混合运算法则化简，，然后将。=1、b=2代入求直即可.

【详解】解：(〃-3劝2-(0+冲(所9+(4/-26)

=a2-6ab+9h2-a2+b2+4ab-2b:

=a2-a2+9b2+b2-2b2+4ab-6ab

=8b?-2ab，

当。=1,力=2时，原式=8x2?-2xlx2=28.

37.(24-25七年级下•山东济南・期末)先化简，再求值：［(2a-勾2一(24+6)(2〃一J,其中

|a-l|+(ft+2)2=0.

【答案】-8“+4人-16

【分析】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关

键.

先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶

次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可.

【详解】解：原式=卜/一4帅+尸一卜/一尸)］.(力

=(4/_4ab+b2-4/+〃卜夕

=(-44力+2匕2)+；匕)

=-8c/+4b,

v|d-l|+(^+2)2=0,

/.a=1,3=一2,

原式=-8x1+4x(-2)=-8-8=-16.

38.(24-25七年级下•广东清远•期末)先化简，再求值：［("26)2-("3)(4-力)-5//卜2〃，其中。=-3,

16

b=2.

【答案】2b,4

【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的乘法运算，再合并同类项，最后计算

单项式除以单项式，得到化简的结果，再把力=2,-3,代入计算即可.

【详解】解：［("+2/))2-(〃+与("〃)—5〃卜2〃

=［a2+4ab+4b2-a2+b2-5b2y2a

=4ah^-2a

=21),

当6=2,a=-3时，

原式=2x2=4.

39.(24-25七年级下•湖南株洲・期末)先化简，再求值：(2X-1『-(X+1)(X-1)+3X(4-X),其中x=-

【答案】8x+2；—2

【分析】本题主要考查了整式的亿简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方

差公式是解题的关键.

先计算乘法，再合并同类项，然后把x=-g代入，即可求解.

【详解】解：(2x—1)2—(x+l)(x—l)+3x(4—X)

=4X2-4X+1-(X2-1)+12X-3X2

=4x2-4x+\-x2+\+\2x-3x2

=8x+2；

当x=-；时，

原式=8X(-：)+2=-2.

40.(24-25七年级下•宁夏银川期末)先化简，再求值：\(a-3b)2-(ci-3h)(a+3b)-6b^3h，其中小力

满足a+g+S—1『=0.

【答案】4b-2a,5

【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，非负性，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌

握相关运算法则是解题的关键.将括号内的式子利用平方差及完全平方公式展开再合并同类项，然后计算

除法，根据绝对值及偶次方的非负性求得。，方的值后代入化简结果中计算即可.

【详解】解：［.-36)2-(0-3»(4+36)-6必］+36

=(12-+9/r-<?+9b2-6b2)^-36

17

=(12〃-6")+38

=4b-2a；

a+；+(，T)=。,4+；2。,传-1『NO'

乙4

«+—=0,(6-1)'=0,

IIII、考点09通过对完全平方公式变形求值

41.(24-25七年级下•甘肃张掖・期末)已知x+y=-4,xy=3,则/+/=()

A.25B.-25C.10D.-10

【答案】C

【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的结构特征.

根据x2+/=(x+y?-2xy进行计算即可.

【详解】解：・・・x+y=—4,v=3,

:.x2+y2=(x+y)~-2xy=16—6=10,

故选：C.

42.(24-25七年级下•浙江宁波・期末)已知/一〃=5,ab=2,则/+川=()

A.向B.6C.历D.\/40

【答案】A

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知“2-〃=5和。/>=2,要求/+〃的值，利用完全平方公式

的变形关系，结合已知条件直接计算.

【详解】解：(。2+/y=(42_灯2+(2")2,

又1•t?一62=5,ab=2,

:.=52+(2x2『=25+16=41,

•,*a2+b2=\AT•

故选:A.

43.(24-25七年级下•陕西西安•期末)若。一〃=4,^2+/)2=58,则他的值为.

【答案】21

【分析】本题考查完全平方式的变形，灵活运用所学知识是关犍.根据/+/=(a-b)2+2R)=58,即可求

18

Hi.

【详解】解：a2+h2=(a-b)2+2ab=58,

-a-b=4t

(a-l)y=16,

:.16+2"=58,

:・ab=21,

故答案为21.

44.(24-25七年级下•湖南邵阳•期末)若』满足(〃-2023y+(2025-疗=1,则

(w-2023)(2025-w)=.

【答案】|3

【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键.

根据完全平方公式得出［(〃-2()23)+(2()25-〃『=1-2()23)2+0)25-〃)2+2(?-2023)2025-〃),即可得

出答案.

【详解】解：根据题意得：［(“—2023)+(2025-〃1匕(〃一2()23『+©025-〃7+2(?-2023典()25-〃),

(〃-2023)+(2025-〃)=2

/.4=■〃-2023)+(2025-〃)j,

又•••5-2023)2+(2025-〃丫=1,

.-.1+2(/?-2023)(2025-/0=4,

.•.("2023)(2025-〃)=］，

故答案为：

2

45.(24-25七年级下•山东莉泽•期末)利用完全平方公式(。±与2=。2土为b+尸，可以解决很多数学问题.

例如：若a+b=3,ab=\,求/十7/的值.

解：因为a+〃=3,

所以(a+b>=9,

所以/+2帅+〃=9.

因为=1,

所以。2+〃+2xl=9.

所以/+从=7.

19

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题:

（1）若加一〃=4,小”=12,求〃/+/的值：

（2）若（2026-加『+（2025—"?『=3,求（2026-项2025-加）的值.

【答案】（1）4（）

（2）1

【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.

（1）利用完全平方公式的变形计算求解：/+/=（4-6）2+加6；

（2）利用完全平方公式的变形计算求解：帅="+'）-（"一’.

【详解】（1）解：。加一年=4,

「.(!??-〃)-=16,

m2+n2—2mn=16.

mn=12,

/.in2+“2-2x12=16,

/.+，广=40.

(2)v[(2026-w)-(2025-w)]=1,

.'.(2026-w)2+(2025-w)2-2(2026-w)(2025-w)=[(2026-w)-(2025-w)]2=1.

•••(2026-m)2+(2025-“？『=3,

3-2(2026-)(2025-m)=1

...(2026-机)(2025-〃?)=1.

Eg多项式乘法中的规律性问题

46.（24-25七年级下•辽宁沈阳•期末）如果将（。+方）"（〃为非负整数）展开后的每一项按字母。的次数由

大到小排列，就可以得到卜.面的等式：（。+6°=1,它只有一项，系数为1；

（a+b）］=a+b,它有两项，系数分别是1,1；

（a+b）2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别是1,2,1；

（a+G=■+3/6+3abz+弓，它有四项,系数分别是1,3,3,1；

伍+8）4=〃4+4。%+6。％2+4。/+力"，它有五项，系数分别是1,4,6,4,1.

20

将上述式子的各项系数排成如图所示的数表，按照规律可.以续写数表，该数表在我国南宋数学家杨辉的著

作《九章算法》中提过，因而叫伶杨辉三角.根据上述研究方法可以确定m+35展开后的第四项的系数为

（）

11

121

1331

14641

A.1B.5C.6D.10

【答案】D

【分析】本题主要考查数字的变化规律，多项式乘法规律探究，解题的关键是根据所给杨辉三角系数间的

关系得出（。+份5展开后系数.利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系求解即可.

【详解】解：m+份，展开后系数分别是1，5,10,10,5,1,

所以（a+b）s展开后的第四项的系数为1（）,

故选：D.

47.（25-26七年级下•福建漳州•期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形

解释（。+〃）”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角根据“杨辉三角”的规律，（4+6）3的

（a+b）2=/+2ab+b2

（4+力=/+3。％+3加+//

（a+Z））4=a4+4a%+6a2b2+4ab'+b'

A.1B.5C.10D.15

【答案】D

【分析】本题考查了数字变化规律的探究.根据图形中的规律，即可求出（。+与，的展开式中从左起第三项

的系数.

21

【详解】解：通过观察打得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两

个数字之和；

・•・每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和，

(a+b)3的各项系数分别为1,3,3,1,

(a+b『的各项系数分别为1,4,6,4,1,

(。+力f的各项系数分别为1,5,10,10,5,1,

・•・S的第三项系数5+10=15,

故选：D.

48.(24-25七年级下•湖南衡阳・期末)已知(x-l)(x+l)=Y-l,(x—1)(/+》+1)=/_],

(X-1)(X34-X2+X+1)=/-1,根据前面各式的规律，可得：(2-1)(25+24+23+22+2+1)=.

【答案】63

【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题.

根据己知等式规律，直接应用多项式乘法公式求解.

【详解】解:由已知等式，可得一般规律：(x-D(x~+/-2+..・+x+i)=x”—i.

(27(25+2,+23+22+2+1)中对应〃=6,

因此(2-1)(25+24+2,+2?+2+1)=2,-1=64-1=63.

故答案为：63.

49.(24-25七年级下•湖北十堰•期末)我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数

规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)"(〃=l,2,34…)的展开式的系数规律(按。的次数

由大到小的顺序).请依据上述规律，写出(x-2『展开式中含丁项的系数是.

1331

14641("♦"=d+M'A+bo2"**”♦川

【答案】-160

【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律.根据题意得到规

律并利用规律求解即可得到答案.

【详解】解：依题意，根据杨辉三角可知，(x-2)6=x6+6xx5x(-2)'+15x(-2J+20x^2)……+92),

・•・展开式中含V项是展开式中第四项,

22

・・・（x—2）6展开式中含d项的系数是：20X（-2）3=20X（-8）=-160,

故答案为：-160

50.（24-25七年级下•四川成都•期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了（"/>）”展

开式的规律.如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1,其余每个数为它上方（左右）的两数之

和），它把（。+力）"乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（“+与"（〃为正整数）展开式各

项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题.

1

1।（a+b））二/b

1,2，1（。♦标「出+%加"

1、3/1（a*W,==«^^fb♦3（ib:+/>'

\/\/\/.....

11

（1）也以上规则，5+〃）4展开式共有一项，第三项（字母部分为的系数是」

（2）我们在对的推演过程中，是将（a+/））2=/+2R）+/中的””代换成“—/）”，可得

（a-b）2=[a+（-bf=a2+2a（-/>>（-b）2=a2-2ab^-b2；利用杨辉三角，写出（a+少的展开式」进而写出

3的展开式_；

77654y2a

（3）若（x-1）=a7x+a6x+a5x+a/+a3x+a2x+a}x+a0,请求出4+4+i+4的值.

【答案】（1）5,6

（2）/+5/b+10//+1+5（jh4+bs.a5_5/6+1（）//一1+5”/一护

（3）-64

【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开包+力）"（〃为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（a+〃丫（〃为

正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键.

（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将（。+〃『展开即可得到答案；

（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将（4+/））5展开即可得到答案：将等式中的“力”代换成“-力”即可得

到（。-6）5的展开式；

（3）分别令x=l和x=7,得出一128=2（牝+%+%+%）即可得至U答案.

【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：

1

Kz1

1、/2、/I・•.（。+6）4=。4+加%+M％2+布/+/,展开式共有5项，第三项：字母部分为

1331

\/\/\/

14641

23

a2b2)的系数是6,

故答案为：5,6：

(2)由题中规律可知，结合杨辉三角形：

1

K71

121

XZ

]3\/14=/+5a7+l0//+104E+5加+/；

\/\/\/

14641

\Z\/\Z\/

15101051

将等式中的“b”代换成“4”,得到(a-b)5=[a+(—b)y

=a5+5〃4(一力)+10/(~b)2+\Oa2(―4+5”一炉+()5

=a5-5ab+1-1Oa2/+5ab4-b5：

故答案为：a5+5a4b+]0(rb2+10。方+5ab4+/:a5-5a4h+10trb2-\Oa2b3+5ab4-b5；

776s432

(3)解：V(x-1)=a7x+a6x+a5x+a4x+a3x+a2x++.70,

当x=l时，

776432

/.(1-1)=a7xI+a6xI+«.xP+n4xI+a3xI+a2xI+a(xI+

即0=%+4+/+/+%+生+%+%®

当x=7时，

7765432

(-l-l)=a7x(-l)+a6x(-l)+a.x(-l)+a4x(-l)+a3x(-l)+a2x(-l)4-^x(-1)+^

即—128——a?+综-牝+%—6+。、—％+4)

(J)+②得，0+(—128)=(%+R+。5++。3+生+%+)+(—%+。6一—。3+。2一％+。0)

即-128=2(%+4+生+/)

:.纭+。4+a2+ao=-64

考点11单项式乘多项式多项式乘多项式与图形面积

51.（24-25七年级下•河南周口・期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面枳的是（）

24

A.(x+4)(x+3)-3xB.x(x+4)+12