高中数学：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

【学习目标】I.掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（重点）2.

理解圆台的表面积与体积公式的推导.（难点）3.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实

际问题.（重点）4.会求简单组合体的表面积和体积.

【导语】

前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆

锥、网台、球等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？

一、圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题1圆柱的表面积是围成圆柱的各个面的面积和，大家能说一下圆柱的表面积包括哪儿部分吗？我们

又如何计算它们的面积呢？

提示圆柱的表面积=上底面面积十下底面面积+侧面面积.

圆柱的上、下底面是大小相等的两个圆面.

圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高（母线）.则5网柱的=2兀”，S阳柠表=2兀

其中，•为圆柱底面圆的半径，/为圆柱母线长.

问题2如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？

提示圆锥的侧面展开图为一个扇形，扇形半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开

图扇形的面积为：乂2兀/7=兀”，则Sw«m=Tu7,Srutt衣=兀（y/）,其中r为圆锥底面圆的半径，/为同锥母线长.

问题3如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？

提示圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周

长，如图，

品，解得rl

S大川形-S小&方=7rR(X+/)-7UX

=n[(R-r)x+Rf]=n(r+R)l,

所以S阳价值=7t(r+R)/>

SMfr«=7：(r+rl+Rl+R2).

知识梳理

问题4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？

提示

例1（1）已知圆锥的侧面积为2m且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是.

答案1

解析方法一设该圆锥的母线长为/,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2兀，所以、『=2兀，

解得1=2（负值舍去），所以该半圆的弧长为2兀设该圆锥的底面圆的半径为R,则2研=2兀，解得R=l.

方法二设该圆锥的底面圆的半径为R,则该圆锥侧面展开图中的圆瓠的弧长为2兀尺因为圆锥的侧面展开

图是一个半圆，设该半圆的半径为八则兀尸2兀R,即尸2R,所以侧面展开图的面积为今2尺2城=2兀/?2=271,

解得R=l（负值舍去）.

⑵已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7,圆台的侧面积为84兀，则该圆台

较小的底面圆的半径为

答案3

解析由题意，设圆台较小的底面圆的半径为「，则另一底面圆的半径为3r.

由S件.=7兀（r+3r）=84兀，解得r=3.

反思感悟解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何

知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：

（1）得到空间几何体的平面展开图.

（2）依次求出各个平面图形的面积.

（3）将各个平面图形的面积相加.

跟踪训练1若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）

A.9兀B.127TC.当D.—n

24

答案A

解析设该圆柱的底面半径为r,高为/?,由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则。二2尸3,所以圆柱

的侧面积为2nr-h=9n.

二、圆柱、圆锥、圆台的体积

问题5圆柱、圆锥的体积公式分别是什么？你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积

公式吗？

提示％=兀//2（厂是底面半径，。是高），VM钿=刎力（,是底面半径，力是高）.

V网产，/?（产2+，什/）（，，/•分别是上、下底面半径，〃是高）.

知识梳理

1.圆柱、圆锥、圆台的体积公式

几何体体积说明

圆柱V^=Sh=nPh圆柱底面圆的半径为「，面积为S,高为人

圆锥V⑼卷三办圆锥底面圆的半径为r,面积为S,高为力

圆台上底面圆的半径为尸，面积为S\下底面圆

圆台9(S+闻+S)

的半径为「，面积为S,高为力

,2

=3-nh(r+r'r+r)

2.柱体、锥体、台体的体积公式

几何体体积

柱体V柱体=S/z（S为底面积，力为柱体高）

锥体V^=^Sh（S为底面积，h为锥体高）

台体V台体=：（5，+质+SM（S，，S分别为上、下底面面积，力为台体高）

注意点:

当S=S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当。时，台体变为锥体，台体的体

积公式也就是锥体的体积公式.

例2（1）（多选）圆柱的侧面展开图是长12cm,宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

A288鼻口192一3

A.—cmB.—cm

TTIT

C.288兀cm3D.192兀cm'

答案AB

解析当圆柱的高为8cm时，圆柱的体积占介（3葭8二誓（cm）

当圆柱的高为12cm时，

圆柱的体积V=TTX（5了X12二?（cn?）.

（2）已知某圆台上、下底面的面积分别是兀，471,侧面积是671,则这个圆台的体积是.

幺［案

解析设该圆台的上、下底面半径分别为，•和R,母线长为/,高为/?,

则S上=兀，=兀,S卜=兀店=4兀，

r=I,R=2（负值舍去），Sf»j=7T（r+/?）/=6n,

.*.7=2,Ah=yj22-（2-1）2=V3,

X（l+4+lX2）X烽等.

反思感悟圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略

求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在

由母线,、高、半径组成的直角三角形（或直角梯形）中列出方程并求解.

跟踪训练2（2024•新课标全国I）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为

百，则圆锥的体积为（）

A.2V3nB.3V37TC.6^3nD.9V3n

答案B

解析设圆柱的底面半径为r,

则圆锥的母线长为正F,

而它们的侧面积相等，

所以2"义巡="XA/3+7,

即26二如罚，故『3（负值舍去），

故圆锥的体积为，X9X百二3百兀

三、球的表面积与体积

问题6球的表面积公式是什么？在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这

种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？

提示S=4兀配，类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利月球的表面积求球的体积，如图所示，把球

。的表面分成〃个小网格，连接球心。和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成〃个“小锥体”.

当〃越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于极锥，其高越近似

于球半径R.

设O-ABCD是其中一个“小锥体”，

它的体积Vo-ABC产^SABCDR•

由于球的体积就是这〃个“小锥体”的体积之和，

而这"个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.

因此，球的体积小球/?二"4兀/HR

E

知识梳理

1.球的表面积

如果球的半径为R,那么它的表面积是S产生的.

2.球的体积

如果球的半径为上那么它的体积是口产河.

例3(课本例3)如图所示，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m,圆柱高

0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给I000个这样的浮标涂防水漆

需要多少涂料？(兀取3.14)

解一个浮标的表面积为271X().15X0.6+4TTX0.152=0.8478(m2),

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478X0.5X1000=423.9(kg).

(2)(课本例4)如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.

解设球的半径为凡则圆柱的底面半径为尺高为2凡

2

〈V总:3R3,V^=11R.2R=2TIR\

戏：V^=^nR3：2兀Rl2：3.

*5

例3⑴已知球的直径为6cm,则它的表面积为cm2,体积为cm3.

答案36兀36K

解析•・•球的直径为6cm,

・••球的半径R=3cm.

22

，球的表面积Slf=47t/?=367t(cm),

球的体积V产，2=36兀(cm,).

(2)已知球的表面积为64兀，则它的体积为.

2567r

3

解析设球的半径为R,・・・S球=4;求2=64兀，・・・我2=16,即R=4(负值舍去).

.­.V,A/?3AX43=^.

333

反思感悟半径和球心是球的关键要素，要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半

径R,然后代入体积或表面积公式求解.

跟踪训练3已知两个球的半径相差1,表面积之差为28兀，则它们的体积和为.

364TT

解析设大、小两球的半径分别为R,八则由题意可得｛窜；［；何2=2871解得｛ft/

:,它们的体积和为声川+孑/号1X4%兀X33=3'.

四、简单组合体的表面积和体积

例4如图，在梯形A8C。中，AD//BC,N48C=90。，AD=a,BC=2a,ZDCZ?=60°,在平面48co内

过点C作直线l±CB,以/为轴将梯形ABC。旋转一周.求旋转体的表面积和体积.

解如题图，在梯形A8CO中，NA4C=90。，AD//BC.AD=a,BC=2a,ZDCfi=60°,

BC-AD_

：.CD=--------=

COS600

AB=CDsin60°=V3<7.

/.DD,=AA-2AD=2BC-2AD=2a.

・・・。0=力。匕/.

2

以/为轴将梯形ABC。旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个与圆柱等高的圆锥.

由上述计算知，圆柱的母线长为遮m底面半径为2小圆锥的母线长为2a底面半径为m高为6a.

/.圆柱的侧面积Si=27r2a.J5a=46兀

圆锥的侧面积S2=n-a-2ci=2Tia2,

圆柱的一个底面积§3=兀（2々）2=4及/，

圆锥的底面积S4=ita2.

・•・旋转体上底面圆环的面积S5=S3-S4=3%/

・•・旋转体的表面积

S=$+S2+S3+S5=（4b+9）m2.

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆性的体积.

V&=4^2-V3«=4V3.

•3J

，旋转体的体积V=Vs-V=48他/乂鸟皿工学功?.

反思感悟求简单组合体的表面积与体积的方法

（1）求解组合体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的（或复杂的）几何体延伸或补成规则的

（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的（或复杂的）几何体切割成规则的

（或简单的）几何体.

（2）解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概

念掌握不牢固.

跟踪训练4（1）若直角梯形的一人底角为45。，下底长为上底长的|倍，这个梯形绕下底所在直线旋转

一周所形成的旋转体的表面积是（5+企）兀，求这个旋转体的体积.

解如图所示，在梯形ABC。中，48〃CO,NA=90。，ZB=45%绕A8边所在直线旋转一周后形成由一

个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体.过点C作CE_LA8于点E,

设CD=x,

则止％

贝ijAD=CE=BE=AB-CD=^BC专.

旋转体的表面积S产及住.+S•『兀•A》+2QAOCQ+TVCEBC

根据题意得二”后=(5+或)兀，则％=2(负值舍去).

4

2222

所以旋转体的体积V=V^+VSn=nADCD+^CEBE=nX1X2-^X1Xl=y.

⑵如组所示(单位：cm)四边形48co是直角梯形，求图中阴影部分绕A8边所在直线旋转一周所形成

的几何体的表面积和体积.

解由题意知，图中阴影部分绕AB边所在直线旋转一周所形成的几何体为上、下底面半径分别为2和5,

高为4的圆台，再臧去一个半径为2的半球，则圆台的母线长为J42+(5-2)2=5(cm).

所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，

222

因为SX4nX2=8H(cm),S[®£tw=nX(2X54-5X5)=35n(cm),S日台下底=71X5=2571(cnf),

故所求几何体的表面积为8兀+35兀+25兀=68兀(cnr)；

由VX[兀X22+J(TTX22)x(ITX52)+TCX52]X4=52兀(cm。,

J

所以所求几何体的体积为入台-V榜=52.等=苧53).

■课堂小结■-----------------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

(1)圆柱、圆锥、圆台、球的表面积.

(2)圆柱、圆锥、圆台、球的体积.

(3)简单组合体的表面积和体积.

2.方法归纳：公式法、转化法、割补法.

3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.

随堂演练

1.圆台的体积为7兀，上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()

A.3B.4C.5D.6

答案A

解析设圆台的高为小由题意知它义兀X(12+1X2+22)X〃=7TT,解得/『3.

2.若半径为R的半圆卷成一个无底圆锥，则它的体积是()

A.京3B看WC.枭WD.y7t/?3

答案c

解析设无底圆锥底面半径为r,则2兀尸兀凡所以二,所以圆锥的高MR?一产二，R.所以体积

吟X-X2X吧）2X冰=枭肥

3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）

Al+2n口1+2-rtrl+2nnl+4n

2n4nn2n

答案A

解析设圆柱的底面圆的半径为八

；・2兀『2,/.r=-,；・S渤=4,S«=7ir=-,

nn

・S表_4+2x；_i+2n

••--=--------・

S偏42n

4.如图为一个用鲜花做成的花柱（无底），它的F面是一个底面直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上

面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花120朵，那么装饰这个花柱大约需要朵鲜花.（加

取3.14,结果保留整数）

答案1319

解析由于该花柱是由半球体与圆柱体组合而成，因为圆柱的底面半径r=gm,高/=3m,

所以该几何体的表面积为［x47n2+2冗"=>371=哼（m2）,

因为每平方米大约需要鲜花120朵，

所以这个花柱大约需要mxi20=420g420X3.14kl319（朵）鲜花.

课时对点练

［分值:80分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（）

A.底面半径母线的圆锥

B.底面半径r=；,母线的圆柱

48

C.半径的球

4

D.上、下底面半径分别为尸=；,一母线/=；的圆台

423

答案C

解析对于A,S=nr（r+7）=^7；

对于B,S=2nr（r+l）=—；

16

对于C,S=4nr=~

对于D,S=Tr（r，2+r2+r7+/7）=—,

16

由上易知，C项的表面积与其他三项不同.

2.已知楼长为2的正方体的体积与球0的体积相等，则球。的半径为（）

A.—B.-C：隹D.平

niryjnyjn

答案D

解析设球。的半径为r,则，，=23,

•J

解得

3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32兀，则母线长为（）

A.2B.2V2C.4D.8

答案C

解析设圆台的上、下底面半径分别为r,R,母线长为/,由题意知/=3什R）,

又Su台科=兀（什/?>/=兀・2/・/=32兀，・・・/二4（负值舍去）.

4.已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为?的扇形，则球与圆锥的体积之

比为（）

A.2B.3C.V2D.V3

答案C

解析设球的半径和圆锥的底面半径均为r,圆锥的母线长为/,

由圆锥的侧面展开图是圆心角为弓的扇形，得27r尸争，则/二3二

所以球的体积与圆锥的体积之比为1二鱼.

-nr2，v江（3r）二2-r2

5.某几何体的直观图如图所示，则该儿何体的表面积为（）

A.36+12冗

B.36+16兀

C.40+12兀

D.40+16兀

答案c

解析由几何体的直观图可知该几何体为长方体与半圆柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为2,高为

4,长方体的棱长分别为4,2,2,

=40+12兀.

6.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图

2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要

使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）

[~1

入「

图1图2

A）0,阖B.保+8）

C（JI,周可温'局

答案D

解析设圆柱的高度为〃，则S=2JIR2+2兀町?，

则7tRh=^-nR2,

所以酒杯的容积丫=|成3+兀/?2/尸宗尸+G-nR2）R=-押+豹

又〃＞0,所以

所以研2＜兼|兀R2,

解得俘WR＜修，

ylOirY2K

故R的取值范围为[忌，JI）

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知两个圆锥的母线长均为/,它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，分别用门，与,5和介，S2,匕表示

两个圆锥的底面圆的半径、表面积、体积，则下列结论正确的有（）

A/i+n=/

B5+S2的最小值为岁

C.K+L为定值

D.若n:r2=l:4,则Vi:V2=V6:24

答案ABD

解析由罕+等=2%得门+*/,故A正确；

SI+S2=TT（疗+符）+兀（4+厂2），2兀（“；）+兀产=^~,当且仅当八二竹二：时，等号成立，故B正确；

■+丫2=刎?42_今2+171r//2一今2,显然力=「2=;与〃二［,r2号时Vi+V2的值不同，故—+l不为定值，故

C错误；

rt:72=1:4,则/-2=4n,/=5r,,-二家注正二^二誓邑

LJ/2一生2=］6兀疗,所以%：匕=祭故D正确.

8.如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且二

A8OI20。，则该圆台（）

AC

D*E

A.高为苧

B.表面积为32

C.体积为等

81

D.上底面面积：下底面面积：侧面积=1：9：24

答案BCD

解析对于A,120。丹，设圆台的上底面半径为「，下底面半径为R,则2兀尸9X1,2训丹乂3,

JJJ

解得R=l,又圆台的母线长为3-1=2,所以圆台的高为—（1一,2=苧,人错误；

对于B,圆台的上底面面积为，下底面面积为衣，侧面积为兀X（；+1）*2=号，所以圆台的表面积为

针加号二等，B正确；

对于c,圆台的体积为+；又1+12］义芈=等，c正确；

3\3/3381

对于D,圆台的上底面面积：下底面面积：侧面积三：兀：詈1：9：24,D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.如图，这是一个圆台形水泥墩，二知该水泥墩的上底面圆的半径为I分米，下底面圆的半径是2分米,

高为3分米，则该水泥墩的表面积是平方分米.

答案（5+34U）兀

解析由题意可知该圆台形水泥墩的母线长0（2-1）2+32=5他（分米）,

则该水泥墩的表面积5=兀乂［2+兀乂22+兀义（1+2）*同=（5+3同）兀（平方分米）.

10.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部

分，则该几何体的表面积为.

答案24-7T

解析由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中