2026年河南省人教版高中数学选修三第三章数列测试题

2026年河南省人教版高中数学选修三第三章数列测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项C正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由数列与数列和的关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=6n-5（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=1，符合通项公式。故c_5=6×5-5=25。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2^2q^2=81，代入q=9/d_2得d_2^2(9/d_2)^2=81，解得d_2=±3，故q=3或q=-3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)(n+2)/6，则该数列的第4项e_4等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由数列与数列和的关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得e_n=n(n+1)(n+2)/6-[（n-1)n(n+1）/6]=（n+2）（n-1）/2（n≥2）。当n=1时，e_1=T_1=1，符合通项公式。故e_4=6×4=24。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+1)+√f_n（n∈N），则该数列的极限值等于（）A.1B.2C.√2D.4解析：设数列极限为L，由递推关系可得L=√(L+1)+√L，两边平方整理得L^2=2L+1，解得L=1+√2（舍去L=1-√2）。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的通项公式g_n等于（）A.3n-2B.4n-3C.5n-4D.6n-5解析：由等差数列性质S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})，可得S_{10}=5(a_1+a_{10})=100，即a_1+a_{10}=20。同理S_{20}=10(a_1+a_{20})=380，即a_1+a_{20}=38。解得a_1=2，d=3，故g_n=3n-2。选项A正确。8.已知数列{h_n}满足h_n=2^n-1，则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-n-1B.2^n+n-1C.2^n-1D.n•2^n解析：S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项C正确。9.在等比数列{m_n}中，若a_3=8，a_6=64，则该数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.8或-8D.16或-16解析：由等比数列性质a_6=a_3q^3，可得q^3=8，解得q=2。选项A正确。10.若数列{n(n+1)/2}的前n项和为T_n，则T_5等于（）A.55B.60C.65D.70解析：T_5=1×2+2×3+…+5×6=55。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=39，则a_5+a_7+a_9=______解：由等差数列性质a_1+a_5+a_9=3a_5=39，可得a_5=13。故a_5+a_7+a_9=3a_7=3(a_5+2d)=3×(13+2d)。因a_5+a_7+a_9=3a_7，故答案为39。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的通项公式b_n=______解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，即b_n+1=3×2^{n-1}，故b_n=3×2^{n-1}-1。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则该数列的第3项c_3=______解：由数列与数列和的关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=4n-5（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=-1，符合通项公式。故c_3=4×3-5=7。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=36，则该数列的公比q=______解：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=36，可得d_3=±6。若d_3=6，则q=d_3/d_2=6/d_2，又d_2•d_4=36，即d_2^2q^2=36，代入q=6/d_2得d_2^2(6/d_2)^2=36，解得d_2=±3，故q=2或q=-2。5.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列的第4项e_4=______解：由数列与数列和的关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得e_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。当n=1时，e_1=T_1=1，符合通项公式。故e_4=4。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5=______解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可得数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n+1=2^n，故f_n=2^n-1。前5项和S_5=1+3+5+7+9=25。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d=______解：由等差数列性质S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})，可得S_{10}=5(a_1+a_{10})=100，即a_1+a_{10}=20。同理S_{20}=10(a_1+a_{20})=380，即a_1+a_{20}=38。解得a_1=2，a_{10}=18，故d=(a_{10}-a_1)/9=2。8.已知数列{h_n}满足h_n=3^n-1，则该数列的前3项和S_3=______解：S_3=2+8+26=36。9.在等比数列{m_n}中，若a_2=4，a_4=16，则该数列的公比q=______解：由等比数列性质a_4=a_2q^2，可得q^2=4，解得q=2。10.若数列{n^2}的前n项和为T_n，则T_4=______解：T_4=1^2+2^2+3^2+4^2=30。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为n^2+n，则该数列是等差数列。（×）解：由数列与数列和的关系a_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得a_n=2n（n≥2）。当n=1时，a_1=T_1=2，符合通项公式。但a_2-a_1=4-2=2，a_3-a_2=6-4=2，故该数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=±2。（√）解：由等比数列性质b_3=b_1q^2，可得q^2=8，解得q=±2√2。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+c_{n-2}（n≥3），则该数列是等比数列。（×）解：斐波那契数列满足此递推关系，但公比不为常数，故不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若S_10=100，则a_5=10。（×）解：由等差数列性质S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})，可得S_{10}=5(a_1+a_{10})=100，即a_1+a_{10}=20。但a_5=(a_1+a_{10})/2=10，故正确。5.若数列{e_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（√）解：由数列与数列和的关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得e_n=n。当n=1时，e_1=T_1=1，符合通项公式。且e_n-e_{n-1}=n-(n-1)=1，故该数列是等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_4=81，则该数列的公比q=3。（×）解：由等比数列性质f_2•f_4=f_3^2=81，可得f_3=±9。若f_3=9，则q=f_3/f_2=9/f_2，又f_2•f_4=81，即f_2^2q^2=81，代入q=9/f_2得f_2^2(9/f_2)^2=81，解得f_2=±3，故q=3或q=-3。7.若数列{g_n}满足g_n=n^2，则该数列的前n项和S_n=n(n+1)/2。（×）解：S_n=1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，故错误。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=1，d=2，则a_10=19。（√）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得a_10=1+(10-1)×2=19。9.若数列{i_n}的前n项和为2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解：由数列与数列和的关系i_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得i_n=2^{n-1}。当n=1时，i_1=T_1=1，符合通项公式。且i_n/i_{n-1}=2^{n-1}/2^{n-2}=2，故该数列是等比数列。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_4=16，则该数列的公比q=2或q=-2。（√）解：由等比数列性质j_4=j_2q^2，可得q^2=4，解得q=2或q=-2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2（n∈N），求该数列的通项公式a_n。解：由递推关系a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3(a_n+1)，可得数列{a_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，即a_n+1=4×3^{n-1}，故a_n=4×3^{n-1}-1。2.在等差数列{b_n}中，若S_10=100，S_20=380，求该数列的公差d。解：由等差数列性质S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})，可得S_{10}=5(a_1+a_{10})=100，即a_1+a_{10}=20。同理S_{20}=10(a_1+a_{20})=380，即a_1+a_{20}=38。解得a_1=2，a_{10}=18，故d=(a_{10}-a_1)/9=2。3.已知数列{c_n}的前n项和为n^2+n，求该数列的第5项c_5。解：由数列与数列和的关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=2n（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=2，符合通项公式。故c_5=10。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，可得q^2=4，解得q=2或q=-2。5.已知数列{e_n}的前n项和为2^n-1，求该数列的第3项e_3。解：由数列与数列和的关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得e_n=2^{n-1}。当n=1时，e_1=T_1=1，符合通项公式。故e_3=4。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，d=-2，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，可得a_{10}=3+(10-1)×(-2)=-17，故S_10=10×(3-17)/2=-70。7.已知数列{g_n}满足g_n=n(n+1)/2，求该数列的前5项和S_5。解：S_5=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=55。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，q=3，求该数列的前4项和S_4。解：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，可得S_4=2×(1-3^4)/(1-3)=62。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列性质，公比q=1+10%=1.1，首项a_1=100万吨。第5年产量a_5=100×1.1^4≈161.05万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求5年后的人口数量。解：由等比数列性质，公比q=1+2%=1.02，首项a_1=100万。5年后人口a_5=100×1.02^5≈110.41万。3.某投资账户每年收益率为5%，若初始投资为10万元，求3年后的账户总额。解：由等比数列性质，公比q=1+5%=1.05，首项a_1=10万元。3年后总额a_3=10×1.05^3≈15.76万元。4.某公司员工工资每年上涨8%，若初始工资为5000元，求4年后的工资水平。解：由等比数列性质，公比q=1+8%=1.08，首项a_1=5000元。4年后工资a_4=5000×1.08^4≈7346.55元。5.某产品成本每年下降3%，若初始成本为100元，求2年后的成本水平。解：由等比数列性质，公比q=1-3%=0.97，首项a_1=100元。2年后成本a_2=100×0.97^2≈94.09元。6.某城市绿化面积每年增加5%，若当前绿化面积为100公顷，求3年后绿化面积。解：由等比数列性质，公比q=1+5%=1.05，首项a_1=100公顷。3年后绿化面积a_3=100×1.05^3≈115.76公顷。7.某工厂设备每年折旧10%，若初始价值为100万元，求2年后设备价值。解：由等比数列性质，公比q=1-10%=0.9，首项a_1=100万元。2年后价值a_2=100×0.9^2=81万元。8.某产品销量每年下降2%，若当前销量为100万件，求4年后销量。解：由等比数列性质，公比q=1-2%=0.98，首项a_1=100万件。4年后销量a_4=100×0.98^4≈92.16万件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.B6.C7.A8.C9.A10.A解析：1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。二、填空题1.392.3×2^{n-1}-13.74.±25.46.257.28.369.210.30解析：1.由等差数列性质a_1+a_5+a_9=3a_5=39，可得a_5=13。故a_5+a_7+a_9=3a_7=3(a_5+2d)=3×(13+2d)。因a_5+a_7+a_9=3a_7，故答案为39。三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.×7.×8.√9.√10.√解析：1.由数列与数列和的关系a_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得a_n=2n（n≥2）。当n=1时，a_1=T_1=2，符合通项公式。但a_2-a_1=4-2=2，a_3-a_2=6-4=2，故该数列是等差数列。四、简答题1.a_n=4×3^{n-1}-1解：由递推关系a_n+1=3a_n+2，变形为a_n+1+1=3(a_n+1)，可得数列{a_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，即a_n+1=4×3^{n-1}，故a_n=4×3^{n-1}-1。2.d=2解：由等差数列性质S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})，可得S_{10}=5(a_1+a_{10})=100，即a_1+a_{10}=20。同理S_{20}=10(a_1+a_{20})=380，即a_1+a_{20}=38。解得a_1=2，a_{10}=18，故d=(a_{10}-a_1)/9=2。3.c_5=10解：由数列与数列和的关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=2n（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=2，符合通项公式。故c_5=10。4.q=2或q=-2解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，可得q^2=4，解得q=2或q=-2。5.c_3=4解：由数列与数列和的关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得e_n=2^{n-1}。当n=1时，e_1=T_1=1，符合通项公式。故e_3=4。6.S_10=-70解：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/