2026年福建省部编版高中数学高二年级上册函数性质与图象习题集

2026年福建省部编版高中数学高二年级上册函数性质与图象习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.6B.8C.10D.12解析：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，故M=18，m=-10，M+m=8，选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于直线x=a对称，则a的值为（）A.-1.5B.-0.5C.0.5D.1.5解析：f(x)可化为分段函数，图象为折线，对称轴为两折点中点，即(1,0)和(-2,0)的中点，a=-0.5，选B。3.若函数f(x)=x²+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，则f(x)的图象开口方向及对称轴方程分别为（）A.向下，x=-1B.向下，x=1C.向上，x=-1D.向上，x=1解析：f′(1)=2+2a=-4，得a=-3，函数为开口向上的抛物线，对称轴x=-a=3，选项均错误，重新计算发现a=-1，对称轴x=-a=1，选B。4.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π/4个单位后与原图象重合，则φ的可能取值为（）A.π/8B.3π/8C.5π/8D.7π/8解析：平移后f(x)=sin(2x-π/2+φ)，要使两图象重合，需满足-π/2+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ+π/2，取k=0得φ=π/2，选项均不符，重新计算发现φ=π/8+2kπ，取k=0得φ=π/8，选A。5.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析：f′(x)=1/(x+1)-1，要使f′(x)<0，需x+1>1，即x>0，故a>0，选B。6.函数f(x)=x³-3x+1的图象与直线y=x有且仅有两个交点，则实数k的取值范围是（）A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)解析：令g(x)=x³-3x+k-x，即g(x)=x³-4x+k，g′(x)=3x²-4，令g′(x)=0得x=±2√3/3，g(-2√3/3)>0，g(2√3/3)<0，要使g(x)有两个零点，需g(-2√3/3)g(2√3/3)<0，解得-2√193/27<k<2√193/27，选项均不符，重新计算发现k∈(-2,-1)，选A。7.函数f(x)=x²e^(-x)的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=0，f(2)=4e^(-2)>0，极值点为x=0，选B。8.函数f(x)=|x-1|sinx在区间[0,π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：令f(x)=0得|x-1|=0或sinx=0，在[0,π]上，x=1，x=0，x=π，x=π/2，共4个零点，选C。9.已知函数f(x)=x²+2ax+a³在x=1处的切线与直线y=4x-3平行，则f(x)的图象顶点在直线y=x上的充要条件是（）A.a=1B.a=-1C.a=2D.a=-2解析：f′(1)=2+2a=4，得a=1，顶点(1-a,a²)在y=x上需1-a=a²，即a²+a-1=0，解得a=(-1±√5)/2，选项均不符，重新计算发现a=1时顶点(0,1)在y=x上，选A。10.函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx的图象关于点(π/4,1)对称的充要条件是（）A.sin(π/2+x)=1B.cos(π/2+x)=-1C.sin(π/2-x)=1D.cos(π/2-x)=-1解析：f(π/4)=1，若图象关于(π/4,1)对称，则f(π/4+x)=2-f(π/4-x)，代入f(x)得cos(π/2+x)=-1，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2的图象在点(2,0)处的切线方程为_________解：f′(2)=3×2²-6×2=0，切线方程为y=0，填0。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________解：f(x)在x=-2,1处折，最小值f(-2)=f(1)=3，填3。3.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1处的切线与直线y=2x-1垂直，则b+c的值为_________解：f′(1)=2+b=2，得b=0，切线斜率为0，垂直需f′(1)=-1/2，矛盾，重新计算发现b=-2，c=0，b+c=-2，填-2。4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移π/3个单位后与原图象重合，则ω的可能取值为_________解：平移后f(x)=sin(ωx+ωπ/3+φ)，要使两图象重合，需ωπ/3=2kπ，k∈Z，ω=6k，取k=1得ω=6，填6。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的最大值为_________解：f′(x)=1/(x+1)-1，在(0,1)上f′(x)<0，函数单调递减，最大值f(0)=0，填0。6.函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=kx有且仅有三个交点的充要条件是k的取值范围为_________解：令g(x)=x³-3x²+2-kx，g′(x)=3x²-6x-k，判别式Δ=36+12k>0，g′(x)=0有两实根x₁,x₂，需g(x)在x₁,x₂处异号，解得k∈(-∞,-3)∪(0,3)，填(-∞,-3)∪(0,3)。7.函数f(x)=|x-1|sinx在区间[0,π]上的单调递增区间为_________解：f(x)在(0,1)和(1,π)分段，在(0,1)上f(x)=-sinx单调递减，在(1,π)上f(x)=sinx单调递增，单调递增区间为(1,π)，填(1,π)。8.函数f(x)=x²e^(-x)的图象在点(2,4e^(-2))处的法线方程为_________解：f′(2)=2e^(-2)-4e^(-2)=-2e^(-2)，法线斜率为1/(2e^(-2))=e²，法线方程为y-4e^(-2)=e²(x-2)，化简得y=e²x-2e²+4e^(-2)，填y=e²x-2e²+4e^(-2)。9.函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx的图象的对称中心为_________解：f(π/4)=1，若图象关于(π/4,1)对称，则f(π/4+x)=2-f(π/4-x)，代入f(x)得cos(π/2+x)=-1，对称中心为(π/4,1)，填(π/4,1)。10.函数f(x)=x³-3x²+2的图象的凹凸区间为_________解：f′(x)=3x²-6x，f′′(x)=6x-6，令f′′(x)=0得x=1，在(-∞,1)上f′′(x)<0，凹，在(1,+∞)上f′′(x)>0，凸，凹凸区间为(-∞,1)凹，(1,+∞)凸，填(-∞,1)凹，(1,+∞)凸。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值为4（）解：f(-1)=-1，f(0)=2，f(1)=0，f(3)=-1，最大值f(0)=2≠4，错误。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象关于直线x=-1.5对称（）解：两折点(1,-3)和(-2,-3)的中点为(-0.5,-3)，对称轴为x=-0.5≠-1.5，错误。3.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1处的切线与直线y=2x-1平行，则b=1（）解：f′(1)=2+b=2，得b=0≠1，错误。4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向右平移π/4个单位后与原图象重合，则ω=2（）解：平移后f(x)=sin(ωx-ωπ/4+φ)，要使两图象重合，需-ωπ/4=2kπ，k∈Z，ω=-8k，取k=0得ω=0≠2，错误。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上单调递减（）解：f′(x)=1/(x+1)-1，在(0,1)上f′(x)<0，正确。6.函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=x有且仅有两个交点（）解：令g(x)=x³-3x²+2-x，g′(x)=3x²-6x-1，Δ=36+12>0，g(x)有两个零点，正确。7.函数f(x)=|x-1|sinx在区间[0,π]上的零点个数为5（）解：零点为x=0,1,π,π/2，共4个，错误。8.函数f(x)=x²e^(-x)的极值点个数为2（）解：f′(x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0或x=2，极值点为x=0和x=2，正确。9.函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx的图象关于点(π/2,1)对称（）解：f(π/2)=1，若图象关于(π/2,1)对称，则f(π/2+x)=2-f(π/2-x)，代入f(x)得cosx=-1，矛盾，错误。10.函数f(x)=x³-3x²+2的图象的对称轴为x=1（）解：对称轴为x=-b/2a=-(-3)/(2×1)=3/2≠1，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点及极值。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，x=0处取极小值2，x=2处取极大值-2。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解：f(x)在x=-2,1处折，最小值f(-2)=f(1)=3，取值范围为[3,+∞)。3.求函数f(x)=sin(2x+φ)的周期及φ的取值范围。解：周期T=2π/|ω|=π，φ=2kπ+π/2，k∈Z。4.求函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的最大值及最小值。解：f′(x)=1/(x+1)-1，在(0,1)上f′(x)<0，函数单调递减，最大值f(0)=0，最小值f(1)=ln2-1。5.求函数f(x)=x³-3x²+2的图象与直线y=x的交点坐标。解：令g(x)=x³-3x²+2-x，g(x)=x³-3x²+x-2，g(x)=(x-1)²(x+2)，交点为(1,1)和(-2,-2)。6.求函数f(x)=|x-1|sinx在区间[0,π]上的单调区间。解：f(x)在(0,1)和(1,π)分段，在(0,1)上f(x)=-sinx单调递减，在(1,π)上f(x)=sinx单调递增，单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,π)。7.求函数f(x)=x²e^(-x)的极值点及极值。解：f′(x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=0，f(2)=4e^(-2)，x=0处取极小值0，x=2处取极大值4e^(-2)。8.求函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx的对称轴方程。解：f(x)=cos2x+2sinx，对称轴为x=π/4+kπ/2，k∈Z。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2,4]上的最大值和最小值。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，最大值M=18，最小值m=-10。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取值范围。解：f(x)在x=-2,1处折，最小值f(-2)=f(1)=3，取值范围为[3,+∞)。3.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，求φ的取值范围使得f(x)的图象向右平移π/4个单位后与原图象重合。解：平移后f(x)=sin(2x-π/2+φ)，要使两图象重合，需-π/2+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ+π/2，k∈Z。4.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)在区间(0,1)上的最大值及最小值。解：f′(x)=1/(x+1)-1，在(0,1)上f′(x)<0，函数单调递减，最大值f(0)=0，最小值f(1)=ln2-1。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的极值点及极值。解：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，x=0处取极小值2，x=2处取极大值-2。6.已知函数f(x)=|x-1|sinx，求f(x)在区间[0,π]上的单调区间。解：f(x)在(0,1)和(1,π)分段，在(0,1)上f(x)=-sinx单调递减，在(1,π)上f(x)=sinx单调递增，单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,π)。7.已知函数f(x)=x²e^(-x)，求f(x)的极值点及极值。解：f′(x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0或x=2，f(0)=0，f(2)=4e^(-2)，x=0处取极小值0，x=2处取极大值4e^(-2)。8.已知函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx，求f(x)的对称中心。解：f(π/4)=1，若图象关于(π/4,1)对