2026年黑龙江省人教版高中数学高二年级下册第6章函数综合测试题

2026年黑龙江省人教版高中数学高二年级下册第6章函数综合测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的值为（）A．0B．1C．-1D．2解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。观察函数g(x)=ln(x+1)-x的单调性，其导数g′(x)=1/(x+1)-1，当x∈(-1,0)时，g′(x)>0，函数单调递增；当x∈(0,+∞)时，g′(x)<0，函数单调递减。因此g(x)在x=0处取得最大值0，即a=0。其他选项代入均不满足方程。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：根据绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a+b|，有f(x)=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3。当且仅当(x-1)(x+2)≤0即-2≤x≤1时取等号，故最小值为3。选项A、B、D均小于3，不满足条件。3.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且f(0)=1，则b的值为（）A．-3B．-2C．2D．3解析：由f(0)=1得d=1。f′(x)=3ax^2+2bx+c，因x=1处为极值点，则f′(1)=3a+2b+c=0。又f(x)为三次函数，需满足f′(x)在x=1处变号，即3a+2b+c≠0且f′(x)在x=1两侧异号。取a=1，c=-5，得2b-2=0，即b=1。但选项无1，重新取a=1，c=-4，得2b-1=0，即b=1/2。选项仍无，调整a=2，c=-9，得2b-3=0，即b=3。4.函数f(x)=e^x/(x+1)的定义域为（）A．(-∞,-1)∪(-1,+∞)B．(-1,+∞)C．(-∞,+∞)D．(-∞,-1)解析：分母x+1≠0即x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)。选项B、C、D均不完整。5.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A．π/2B．π/4C．3π/4D．0解析：周期为π即ω=2，f(x)=sin(2x+φ)。图像关于x=π对称，则sin(2π+φ)=±1，即φ=kπ+π/2(k∈Z)。当k=0时，φ=π/2。其他选项代入均不满足对称性。6.函数f(x)=√(x^2+1)-x的值域为（）A．(0,+∞)B．[-1,+∞)C．(0,1]D．(-∞,1]解析：令t=x^2+1≥1，则f(x)=√t-x=√t-√(t-1)。函数y=√t-√(t-1)在t≥1上单调递减，且当t→+∞时，y→1；当t=1时，y=0。故值域为(0,1]。选项A、B、D均不符合。7.若函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[-1,1]上的最小值为-1，则a的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f(x)=(x+a)^2+1-a^2，对称轴x=-a。分三种情况：①-a<-1即a>1时，最小值f(1)=3+2a=-1，a=-2（舍）；②-1≤-a≤1即-1≤a≤1时，最小值f(-a)=1-a^2=-1，a=±1，取a=1；③-a>1即a<-1时，最小值f(-1)=3-2a=-1，a=2（舍）。故a=1。8.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．(1/2,1)解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，t>2。若f(x)单调递增，则log_a(t)单调递增，需a>1。选项A、C、D均不满足。9.函数f(x)=2^x-1/x的导数f′(x)等于（）A．2^xln2-1/x^2B．2^xln2+1/x^2C．2^xln2-1/xD．2^xln2+1/x解析：f′(x)=d/dx(2^x)-d/dx(1/x)=2^xln2+1/x。选项A、C错误，选项B错误，选项D正确。10.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2。f(-2)=-14，f(0)=2，f(2)=0。由罗尔定理，f(-2)≠f(2)，且f(0)>0，f(2)=0，故在(-2,0)和(0,2)各有一个零点，共2个零点。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域为________。参考答案：(3,+∞)解析：由绝对值三角不等式f(x)≥3，当-2≤x≤1时取等号，故值域为(3,+∞)。2.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极值-1，则p+q的值为________。参考答案：-3解析：f′(1)=3+1+p=0，p=-4。f(1)=1+p+q=-1，q=2。p+q=-2。3.函数f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上的最大值为________。参考答案：0解析：f′(x)=1/(x+1)-1，令f′(x)=0得x=0。f(0)=ln(1)-0=0。当x∈(-1,0)时，f′(x)>0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0。故最大值为0。4.函数f(x)=e^x/(x+1)的渐近线方程为________。参考答案：y=x-1解析：水平渐近线为y=0（x→+∞）；斜渐近线为y=x-1（x→+∞时，e^x/(x+1)→1）。5.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π/2，且f(π/4)=1，则ω=________。参考答案：4解析：周期为π/2即ω=4。f(π/4)=sin(π+φ)=1，φ=2kπ-π/2(k∈Z)，取ω=4满足条件。6.函数f(x)=√(x^2+1)-x的值域为________。参考答案：(0,1]解析：见第6题解析。7.函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[-1,1]上的最小值为-1，则a^2的值为________。参考答案：2解析：见第7题解析，a=1或a=-1，a^2=1。8.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________。参考答案：(1,+∞)解析：见第8题解析。9.函数f(x)=2^x-1/x的导数f′(x)等于________。参考答案：2^xln2+1/x解析：见第9题解析。10.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为________。参考答案：2解析：见第10题解析。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处取得最小值3。参考答案：正确解析：f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=3，且-2≤x≤1时f(x)≥3，故x=-1处取得最小值3。2.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极值，则p+q=0。参考答案：错误解析：f′(1)=3+1+p=0，p=-4。f(1)=1+p+q=0，p+q=-1。3.函数f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上单调递减。参考答案：错误解析：f′(x)=1/(x+1)-1，当x∈(-1,0)时，f′(x)>0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0。故函数先增后减。4.函数f(x)=e^x/(x+1)在x→-1时存在极限。参考答案：错误解析：当x→-1时，分子e^x→e^-1，分母x+1→0，极限不存在。5.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π/2，则φ=π/4。参考答案：错误解析：周期为π/2即ω=4。f(π/4)=sin(π+φ)=1，φ=2kπ-π/2(k∈Z)，φ=π/4仅当k=0时成立，但此时周期为2π。6.函数f(x)=√(x^2+1)-x的值域为(0,1]。参考答案：正确解析：见第6题解析。7.函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[-1,1]上的最小值为-1，则a=1。参考答案：错误解析：a=1或a=-1，需结合f(-1)=-1和f(1)=1判断。8.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a>1。参考答案：正确解析：见第8题解析。9.函数f(x)=2^x-1/x的导数f′(x)=2^xln2-1/x^2。参考答案：错误解析：见第9题解析。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为3。参考答案：错误解析：见第10题解析。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的单调区间。参考答案：（1）当x∈(-∞,-2)时，f(x)=-2x-1，单调递减；（2）当x∈(-2,1)时，f(x)=3，单调不变；（3）当x∈(1,+∞)时，f(x)=2x+1，单调递增。2.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极值-1，求p、q的值。参考答案：f′(x)=3x^2+p，f′(1)=3+p=0，p=-3。f(1)=1+p+q=-1，1-3+q=-1，q=3。3.求函数f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上的最大值。参考答案：f′(x)=1/(x+1)-1，令f′(x)=0得x=0。当x∈(-1,0)时，f′(x)>0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0。故最大值为f(0)=ln(1)-0=0。4.求函数f(x)=e^x/(x+1)的渐近线方程。参考答案：水平渐近线：y=0（x→+∞时，f(x)→0）；斜渐近线：y=x-1（x→+∞时，f(x)-x→-1）。5.函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π/2，且f(π/4)=1，求ω、φ的值。参考答案：周期为π/2即ω=4。f(π/4)=sin(π+φ)=1，φ=2kπ-π/2(k∈Z)。取k=0，φ=-π/2，ω=4。6.求函数f(x)=√(x^2+1)-x的值域。参考答案：令t=x^2+1≥1，则f(x)=√t-x=√t-√(t-1)。函数y=√t-√(t-1)在t≥1上单调递减，且当t→+∞时，y→1；当t=1时，y=0。故值域为(0,1]。7.函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[-1,1]上的最小值为-1，求a的值。参考答案：f(x)=(x+a)^2+1-a^2，对称轴x=-a。（1）若-a<-1即a>1，最小值f(1)=3+2a=-1，a=-2（舍）；（2）若-1≤-a≤1即-1≤a≤1，最小值f(-a)=1-a^2=-1，a=±1，取a=1；（3）若-a>1即a<-1，最小值f(-1)=3-2a=-1，a=2（舍）。故a=1。8.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，t>2。若f(x)单调递增，则log_a(t)单调递增，需a>1。故a的取值范围是(1,+∞)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,2]上的零点个数。参考答案：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2。f(-2)=-14，f(0)=2，f(2)=0。由罗尔定理，f(-2)≠f(2)，且f(0)>0，f(2)=0，故在(-2,0)和(0,2)各有一个零点，共2个零点。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：f(x)=|x-1|+|x+2|≥3，当-2≤x≤1时取等号。故最小值为3，取得最小值时的x值范围是[-2,1]。3.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)在(-1,+∞)上的最大值及单调区间。参考答案：f′(x)=1/(x+1)-1，令f′(x)=0得x=0。当x∈(-1,0)时，f′(x)>0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0。故最大值为f(0)=ln(1)-0=0，单调增区间为(-1,0)，单调减区间为(0,+∞)。4.已知函数f(x)=e^x/(x+1)，求f(x)的渐近线方程。参考答案：水平渐近线：y=0（x→+∞时，f(x)→0）；斜渐近线：y=x-1（x→+∞时，f(x)-x→-1）。5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π/2，且f(π/4)=1，求f(x)的表达式。参考答案：周期为π/2即ω=4。f(π/4)=sin(π+φ)=1，φ=2kπ-π/2(k∈Z)。取k=0，φ=-π/2，ω=4。故f(x)=sin(4x-π/2)=-cos(4x)。6.已知函数f(x)=√(x^2+1)-x，求f(x)的值域。参考答案：令t=x^2+1≥1，则f(x)=√t-x=√t-√(t-1)。函数y=√t-√(t-1)在t≥1上单调递减，且当t→+∞时，y→1；当t=1时，y=0。故值域为(0,1]。7.已知函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[-1,1]上的最小值为-1，求a的值。参考答案：f(x)=(x+a)^2+1-a^2，对称轴x=-a。（1）若-a<