2026年天津市北师大版高一数学必修第二册第6单元专项训练题

2026年天津市北师大版高一数学必修第二册第6单元专项训练题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像如图所示，其中最高点为(π/4,1)，周期为π，则f(x)的表达式为（）A.sin(2x+π/4)B.sin(2x-π/4)C.sin(4x+π/4)D.sin(4x-π/4)解析：周期T=π，ω=2。最高点(π/4,1)对应ωx+φ=π/2，即2(π/4)+φ=π/2，解得φ=-π/4，故f(x)=sin(2x-π/4)。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则△ABC的面积等于（）A.6B.6√3/2C.3√3D.12解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。面积S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=6√3/2。4.已知向量a=(1，2)，b=(3，-1)，则向量a+b的模长等于（）A.√10B.√13C.√15D.√17解析：a+b=(1+3，2-1)=(4，1)，模长|a+b|=√4^2+1^2=√17。5.不等式|2x-1|<3的解集为（）A.(-1，2)B.(-2，4)C.(-1，4)D.(-2，1)解析：|2x-1|<3⇒-3<2x-1<3⇒-2<2x<4⇒-1<x<2，解集为(-1，2)。6.已知直线l：3x-4y+12=0，则点P(1，2)到直线l的距离等于（）A.2B.3C.4D.5解析：距离d=|3×1-4×2+12|/√3^2+(-4)^2=3。7.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，则该数列的前5项和S_5等于（）A.62B.64C.74D.78解析：q^3=b_4/b_1=16/2=8⇒q=2，S_5=2(1-2^5)/(1-2)=62。8.函数y=cos^2(x-π/4)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.π/4解析：y=1/2+1/2cos(2x-π/2)，周期T=2π/2=π。9.已知锐角三角形ABC中，sinA=√3/2，cosB=1/2，则角C等于（）A.π/6B.π/3C.π/4D.π/2解析：cosB=1/2⇒B=π/3，A=π/3⇒C=π-2A=π/3。10.抛掷两枚均匀的骰子，记事件A为“点数之和大于8”，则P(A)等于（）A.5/36B.1/6C.7/36D.1/4解析：基本事件共36个，A包含(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共10个，P(A)=10/36=5/18。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知f(x)=x^2-2x+3，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(10)的值等于________。解：f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，故f(1)+f(2)+...+f(10)=10×2+55=125。2.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA+cosB+cosC的值等于________。解：设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=11/16，同理cosB=10/16，cosC=9/16，和为5/4。3.已知向量u=(2，k)，v=(1，3)，若u⊥v，则k的值等于________。解：u•v=2+3k=0⇒k=-2/3。4.不等式组{x|1≤x≤3}∩{x|x<-1或x>5}的解集为________。解：空集∅。5.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则公比q等于________。解：q^2=c_4/c_2=9⇒q=3。6.函数y=tan(π/4-x)的图像关于________对称。解：y=tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，故关于x=π/4对称。7.已知锐角三角形ABC中，sinA=1/2，sinB=√3/2，则边a与边b的比值为________。解：由正弦定理a/b=sinA/sinB=1/√3=√3/3。8.从5名男生和4名女生中任选3人参加比赛，则恰好有2名男生的选法有________种。解：C(5,2)×C(4,1)=40。9.抛掷一枚均匀的硬币3次，则恰好出现2次正面的概率为________。解：C(3,2)/2^3=3/8。10.已知函数f(x)=√(x+1)，其定义域用集合表示为________。解：{x|x≥-1}。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a^2>b^2。（×）解：反例a=1，b=-2，a>b但a^2=1<b^2=4。2.任意两个等差数列的和仍然是等差数列。（√）解：设{a_n}，{b_n}为等差数列，c_n=a_n+b_n，则c_{n+1}-c_n=(a_{n+1}-a_n)+(b_{n+1}-b_n)=d_1+d_2，故{c_n}为等差数列。3.若sinα=sinβ，则α=β。（×）解：sinα=sinβ⇒α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z。4.两条平行线l_1：ax+by+c_1=0，l_2：ax+by+c_2=0的距离为|c_1-c_2|/√(a^2+b^2)。（×）解：应为|c_1-c_2|/√(a^2+b^2)，需a^2+b^2≠0。5.若向量a=(1，2)，b=(3，4)，则a+b=(4，6)。（√）解：a+b=(1+3，2+4)=(4，6)。6.不等式|3x-2|>5的解集为(-∞，-1)∪(3，+∞)。（√）解：3x-2>5或3x-2<-5⇒x>3或x<-1。7.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_3=8，则d_5=32。（√）解：q^2=d_3/d_1=8⇒q=2，d_5=d_3q^2=8×4=32。8.函数y=cos(2x+π/3)的图像关于原点对称。（×）解：y=cos(2x+π/3)≠cos(-2x-π/3)，故不关于原点对称。9.从n个不同元素中任取m个元素的组合数C(n，m)等于从n个元素中任取m个元素的排列数P(n，m)/m!。（√）解：C(n，m)=P(n，m)/m!=n!/[m!(n-m)!]。10.抛掷3枚均匀的骰子，则出现3个不同点数的概率为1/6。（×）解：P=6×5×4/(6^3)=5/18。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式。解：d=(a_{10}-a_5)/(10-5)=15/5=3，a_1=a_5-4d=10-12=-2，故a_n=-2+3(n-1)=3n-5。2.求函数y=2sin(3x-π/4)+1的最小正周期。解：周期T=2π/3。3.在△ABC中，若a=2，b=√7，c=3，求cosB的值。解：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(2×2×3)=3/12=1/4。4.已知向量p=(3，-1)，q=(1，2)，求向量p+q与向量p-q的坐标。解：p+q=(4，1)，p-q=(2，-3)。5.解不等式组：{x|2x-1>0}∩{x|x^2-4≤0}。解：x>1/2且-2≤x≤2⇒1/2<x≤2。6.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，b_3=8，求该数列的前6项和S_6。解：q^2=b_3/b_1=4⇒q=2，S_6=2(1-2^6)/(1-2)=62。7.求函数y=√(x-1)的定义域。解：x-1≥0⇒x≥1。8.从4名男生和3名女生中任选2人参加活动，则恰好1名男生的选法有多少种？解：C(4，1)×C(3，1)=12。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=17，求该数列的前10项和S_10。解：d=(a_5-a_1)/4=4，a_n=1+4(n-1)=4n-3，S_10=10×(1+37)/2=190。2.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求其最小正周期。解：周期T=π。3.在△ABC中，若a=3，b=5，C=60°，求边c的长度。解：c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+25-15=19⇒c=√19。4.已知向量u=(2，k)，v=(1，3)，若u//v，求k的值。解：2×3=k×1⇒k=6。5.解不等式：|x+1|<2。解：-2<x+1<2⇒-3<x<1。6.已知等比数列{c_n}中，c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：q^2=c_4/c_2=9⇒q=3。7.求函数y=cos^2(x-π/4)的最小正周期。解：周期T=π。8.从6名候选人中选出3人组成委员会，要求至少有1名女性，若共有3名女性，则不同的选法有多少种？解：总选法C(6，3)=20，全男性选法C(3，3)=1，故至少1名女性选法=20-1=19。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.D5.A6.B7.A8.A9.B10.B解析：略（同前）二、填空题1.12512.5/413.-2/314.∅15.316.x=π/417.√3/318.4019.3/820.{x|x≥-1}解析：略（同前）三、判断题1.×22.√23.×24.×25.√26.√27.√28.×29.√30.×解析：略（同前）四、简答题