2026年福建省湘教版高二数学选修4-4立体几何专题训练题

2026年福建省湘教版高二数学选修4-4立体几何专题训练题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A．√3/2B．√5/2C．√7/2D．2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和α方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3/2，选A。2.已知直线l：x=2t+1，y=-t+2，z=3t-1与平面β：x+y-z=5相交，则交点P的坐标为（）A．(3,1,2)B．(4,0,3)C．(5,2,1)D．(2,3,4)解析：将l参数方程代入β方程得(2t+1)+(2-t)-(3t-1)=5，解得t=1，代入l得P(3,1,2)，选A。3.若直线m：x/a=y/b=z/c与平面γ：Ax+By+Cz+D=0垂直，则a，b，c与A，B，C的关系为（）A．aA+bB+cC=0B．aA=bB=cCC．a/A=b/B=c/CD．a²A+b²B+c²C=0解析：m的方向向量为(a,b,c)，γ的法向量为(A,B,C)，垂直则(a,b,c)•(A,B,C)=0，即aA+bB+cC=0，选A。4.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心G，若△ABC的面积为S，则三棱锥D-ABC的体积为（）A．1/3GSB．1/4GSC．1/6GSD．1/9GS解析：D在底面ABC上的射影为重心G，则DG⊥平面ABC，且△ADG，△BDG，△CDG的面积均为S/3，三棱锥体积V=(1/3)×(S/3)×DG=1/9GS，选D。5.过点P（1，2，3）作平面α：x+y+z=6的垂线，垂足Q的坐标为（）A．(1，2，3)B．(2，1，3)C．(1，3，2)D．(3，2，1)解析：垂线方向向量为平面法向量(1,1,1)，垂足Q满足方程组：(1)Q在平面α上，即x+y+z=6(2)PQ∥(1,1,1)，即Q坐标为(1+t,2+t,3+t)代入得1+t+2+t+3+t=6，解得t=0，Q(1,2,3)，选A。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A．√2/2B．√3/2C．1/√3D．1/2解析：取CD中点E，连接SE，则∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√(3²+1²)=√10，cos∠SEB=BE/SE=√2/√10=√2/2，选A。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，且AA₁=2，BC=2，则AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为（）A．1/2B．√3/2C．√2/2D．1/√2解析：取AB中点D，连接CD，则CD⊥AB，CD=√3，又AA₁⊥平面ABC，AA₁⊥CD，CD⊥平面ABB₁A₁，AC₁与平面ABB₁A₁所成角为∠AC₁D，sin∠AC₁D=CD/AC₁=√3/2√(3²+1²)=√3/2，选B。8.已知球O的半径为R，球心O到平面α的距离为d（d<R），则球O与平面α相交所得圆的面积为（）A．π(R²-d²)B．πd²C．π(R²-d²)^(3/2)D．π√(R²-d²)解析：相交圆半径r=√(R²-d²)，面积S=πr²=π(R²-d²)，选A。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面BCC₁B₁所成角的正切值为（）A．1/2B．√2/2C．1D．√2解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B(1,2,0)，BCC₁B₁平面方程为x=1，AE方向向量为(-1,0,√2)，在平面内投影为(-1,0,0)，tan∠AEA'=-√2/1=-√2，但实际角度为锐角，故取绝对值√2，选D。10.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，则侧面与底面所成二面角的正切值为（）A．√3/3B．√2/2C．2√3/3D．√3解析：取AB中点D，连接SD，AD，∠SDA为二面角平面角，AD=a/2，SD=√(4a²-a²/4)=√(15a²/4)，tan∠SDA=AD/SD=a/√(15a²/4)=2√3/3，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l：x=1，y=2t，z=t与平面α：x+y-z=1平行，则实数t的值为______。解析：l方向向量为(0,2,1)，α法向量为(1,1,-1)，平行则(0,2,1)•(1,1,-1)=0+2-1=1≠0，故无解，参考答案：无解。2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱AA₁上运动，则点P到平面BCC₁B₁的距离的最小值为______。解析：平面BCC₁B₁方程为x=1，AA₁中点(0,1,1/2)到平面距离为1/2，最小值为1/2，参考答案：1/2。3.若直线l：x=1+t，y=-2-t，z=3-2t与平面α：x-y+z=1相交，则交点P的坐标为______。解析：代入α方程得1+t-(-2-t)+3-2t=1，解得t=1，P(2,-3,1)，参考答案：(2,-3,1)。4.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，若△ABC的面积为4，则三棱锥D-ABC的体积为______。解析：体积V=(1/3)×(4/3)×DG=(1/3)×(4/3)×(2/3)×4=16/27，参考答案：16/27。5.过点P（1，2，3）作平面α：2x-y+z=1的垂线，垂足Q的坐标为______。解析：垂线方向向量为(2,-1,1)，垂足Q满足方程组：(1)Q在平面α上，即2x-y+z=1(2)PQ∥(2,-1,1)，即Q坐标为(1+2t,2-t,3+t)代入得2(1+2t)-(2-t)+(3+t)=1，解得t=-1/3，Q(7/3,7/3,8/3)，参考答案：(7/3,7/3,8/3)。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______。解析：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√10，cos∠SEB=BE/SE=√2/√10=√2/√5，参考答案：√2/√5。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，且AA₁=2，BC=2，则AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为______。解析：取AB中点D，连接CD，CD⊥平面ABB₁A₁，∠AC₁D为所求角，CD=√3，AC₁=√(2²+2²)=2√2，sin∠AC₁D=CD/AC₁=√3/(2√2)=√6/4，参考答案：√6/4。8.已知球O的半径为R，球心O到平面α的距离为d（d<R），则球O与平面α相交所得圆的面积为______。解析：相交圆半径r=√(R²-d²)，面积S=πr²=π(R²-d²)，参考答案：π(R²-d²)。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面BCC₁B₁所成角的正切值为______。解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B(1,2,0)，平面BCC₁B₁方程为x=1，AE方向向量为(-1,0,√2)，在平面内投影为(-1,0,0)，tan∠AEA'=√2/1=√2，参考答案：√2。10.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，则侧面与底面所成二面角的正切值为______。解析：取AB中点D，连接SD，AD，∠SDA为二面角平面角，AD=a/2，SD=√(4a²-a²/4)=√(15a²/4)，tan∠SDA=AD/SD=a/√(15a²/4)=2√3/3，参考答案：2√3/3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行。（×）解析：直线l与平面α平行，l与α内直线可能平行也可能异面，如l在α外且与α内直线平行，或l与α内直线异面，故错误。2.过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直。（×）解析：过空间一点有无数个平面与已知直线垂直，如以该点为球心，直线为轴的球面与直线垂直，故错误。3.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。（√）解析：设三棱锥D-ABC的三条侧棱DA，DB，DC两两垂直，则D在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，故正确。4.球的外切正方体的表面积与球的表面积之比为√3:1。（×）解析：设球半径为R，外切正方体棱长为2R，表面积为24R²，球表面积为4πR²，比值为24R²:4πR²=6:π≈1.89:1，故错误。5.若直线l与平面α所成角为θ，则0≤θ≤π/2。（×）解析：直线l与平面α所成角为θ或π-θ，θ∈[0,π/2]，故错误。6.过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直。（×）解析：同22题，故错误。7.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。（√）解析：同23题，故正确。8.球的外切正方体的表面积与球的表面积之比为√3:1。（×）解析：同24题，故错误。9.若直线l与平面α所成角为θ，则0≤θ≤π/2。（×）解析：同25题，故错误。10.过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直。（×）解析：同22题，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱AA₁上运动，求点P到平面BCC₁B₁的距离的最小值。解析：平面BCC₁B₁方程为x=1，AA₁中点(0,1,1/2)到平面距离为1/2，最小值为1/2。2.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，若△ABC的面积为4，求三棱锥D-ABC的体积。解析：体积V=(1/3)×(4/3)×DG=(1/3)×(4/3)×(2/3)×4=16/27。3.过点P（1，2，3）作平面α：2x-y+z=1的垂线，求垂足Q的坐标。解析：垂线方向向量为(2,-1,1)，垂足Q满足方程组：(1)Q在平面α上，即2x-y+z=1(2)PQ∥(2,-1,1)，即Q坐标为(1+2t,2-t,3+t)代入得2(1+2t)-(2-t)+(3+t)=1，解得t=-1/3，Q(7/3,7/3,8/3)。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成二面角的余弦值。解析：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√10，cos∠SEB=BE/SE=√2/√10=√2/√5。5.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，且AA₁=2，BC=2，求AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值。解析：取AB中点D，连接CD，CD⊥平面ABB₁A₁，∠AC₁D为所求角，CD=√3，AC₁=√(2²+2²)=2√2，sin∠AC₁D=CD/AC₁=√3/(2√2)=√6/4。6.已知球O的半径为R，球心O到平面α的距离为d（d<R），求球O与平面α相交所得圆的面积。解析：相交圆半径r=√(R²-d²)，面积S=πr²=π(R²-d²)。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面BCC₁B₁所成角的正切值。解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B(1,2,0)，平面BCC₁B₁方程为x=1，AE方向向量为(-1,0,√2)，在平面内投影为(-1,0,0)，tan∠AEA'=√2/1=√2。8.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：取AB中点D，连接SD，AD，∠SDA为二面角平面角，AD=a/2，SD=√(4a²-a²/4)=√(15a²/4)，tan∠SDA=AD/SD=a/√(15a²/4)=2√3/3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知直线l：x=1，y=2t，z=t与平面α：x+y-z=1平行，求实数t的值。解析：l方向向量为(0,2,1)，α法向量为(1,1,-1)，平行则(0,2,1)•(1,1,-1)=0+2-1=1≠0，故无解。2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱AA₁上运动，求点P到平面BCC₁B₁的距离的最小值。解析：平面BCC₁B₁方程为x=1，AA₁中点(0,1,1/2)到平面距离为1/2，最小值为1/2。3.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，若△ABC的面积为4，求三棱锥D-ABC的体积。解析：体积V=(1/3)×(4/3)×DG=(1/3)×(4/3)×(2/3)×4=16/27。4.过点P（1，2，3）作平面α：2x-y+z=1的垂线，求垂足Q的坐标。解析：垂线方向向量为(2,-1,1)，垂足Q满足方程组：(1)Q在平面α上，即2x-y+z=1(2)PQ∥(2,-1,1)，即Q坐标为(1+2t,2-t,3+t)代入得2(1+2t)-(2-t)+(3+t)=1，解得t=-1/3，Q(7/3,7/3,8/3)。5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面所成二面角的余弦值。解析：取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√10，cos∠SEB=BE/SE=√2/√10=√2/√5。6.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，且AA₁=2，BC=2，求AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值。解析：取AB中点D，连接CD，CD⊥平面ABB₁A₁，∠AC₁D为所求角，CD=√3，AC₁=√(2²+2²)=2√2，sin∠AC₁D=CD/AC₁=√3/(2√2)=√6/4。7.已知球O的半径为R，球心O到平面α的距离为d（d<R），求球O与平面α相交所得圆的面积。解析：相交圆半径r=√(R²-d²)，面积S=πr²=π(R²-d²)。8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面BCC₁B₁所成角的正切值。解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B(1,2,0)，平面BCC₁B₁方程为x=1，AE方向向量为(-1,0,√2)，在平面内投影为(-1,0,0)，tan∠AEA'=√2/1=√2。9.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，求侧面与底面所成二面角的正切值。解析：取AB中点D，连接SD，AD，∠SDA为二面角平面角，AD=a/2，SD=√(4a²-a²/4)=√(15a²/4)，tan∠SDA=AD/SD=a/√(15a²/4)=2√3/3。10.已知直线l：x=1，y=2t，z=t与平面α：x+y-z=1相交，求交点P的坐标。解析：代入α方程得1+t-(-2-t)+3-2t=1，解得t=1，P(2,-3,1)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.B8.A9.D10.C解析：2.点A到平面距离公式验证正确。3.参数方程代入平面方程求解正确。4.直线与平面垂直条件验证正确。5.三棱锥体积公式应用正确。6.垂线方程与平面方程联立求解正确。7.二面角余弦值计算正确。8.三棱柱中直线与平面所成角计算正确。9.球与平面相交圆面积公式应用正确。10.正方体中直线与平面所成角计算正确。11.正三棱锥二面角余弦值计算正确。二、填空题1.无解12.1/213.(2,-3,1)14.16/2715.(7/3,7/3,8/3)2.√2/√517.√6/418.π(R²-d²)19.√220.2√3/3三、判断题1.×22.×23.√24.×25.×26.×27.√28.×29.×30.×解析：2.直线与平面平行，直线与平面内直线可能平行或异面，故错误。3.过一点有无数个平面与已知直线垂直，如以该点为球心，直线为轴的球面，故错误。4.三棱锥三条侧棱两两垂直，顶点在底面上的射影为底面垂心，故正确。5.球外切正方体表面积与球表面积之比为6:π≈1.89:1，故错误。6.直线与平面所成角为θ或π-θ，θ∈[0,π/2]，故错误。26-30题同22题，故均错误。四、简答题1.1/2，平面BCC₁B₁方程为x=1，AA₁中点(0,1,1/2)到平面距离为1/2。2.16/27，体积V=(1/3)×(4/3)×DG=(1/3)×(4/3)×(2/3)×4=16/27。3.(7/3,7/3,8/3)，垂足Q满足方程组：(1)Q在平面α上，即2x-y+z=1(2)PQ∥(2,-1,1)，即Q坐标为(1+2t,2-t,3+t)代入得2(1+2t)-(2-t)+(3+t)=1，解得t=-1/3，Q(7/3,7/3,8/3)。4.√2/√5，取CD中点E，连接SE，∠SEB为二面角平面角，BE=√2，SE=√10，cos∠SEB=BE/SE=√2/√10=√2/√5。5.√6/4，取AB中点D，连接CD，CD⊥平面ABB₁A₁，∠AC₁D为所求角，CD=√3，AC₁=√(2²+2²)=2√2，sin∠AC₁D=CD/AC₁=√3/(2√2)=√6/4。6.π(R²-d²)，相交圆半径r=√(R²-d²)，面积S=πr²=π(R²-d²)。7.√2，以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，E(0,1,√2)，B(1,2,0)，平面BCC₁B₁方程为x=1，AE方向向量为(-1,0,√2)，在平面内投影为(-1,0,0)，tan∠AEA'=√2/1=√2。8.2√3/3，取AB中点D，连接SD