第二章 第7节　对数函数

第7节对数函数[课程标准要求]1.通过具体实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).夯实·必备知识知识梳理1.对数函数及其性质(1)概念:一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图象和性质.项目a>10<a<1图象定义域值域(0,+∞)R性质过定点

,即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是(1,0)增函数减函数2.反函数一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数

(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线

对称,它们的定义域与值域正好互换.y=logaxy=x重要结论对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).×

√×

√C3.(人教A版必修第一册P91习题3.3T1改编)函数y=|log2x|的图象是(

)DA B C D-1提升·关键能力对数函数的图象及应用考点1ACDA B C D(2)(2026·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2,则不等式f(x)<0的解集为

.

(0,1)∪(2,+∞)【解析】(2)求f(x)<0的解集,即求不等式log2x<(x-1)2的解集,令g(x)=log2x,h(x)=(x-1)2,则不等式为g(x)<h(x),在同一坐标系下作出两个函数的图象,如图所示,又g(1)=h(1)=0,g(2)=h(2)=1,由图可得不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞).解题策略·(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.AA B C D2.已知函数y=loga(x-c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论中成立的是(

)A.a>1,c<-1B.a>1,-1<c<0C.0<a<1,c<-1D.0<a<1,-1<c<0D【解析】

由题图可知该函数在定义域上单调递减,所以0<a<1.图象通过第一、二、四象限且图象与x轴的交点的横坐标在区间(0,1)内,所以-1<c<0.故选D.对数函数性质的简单应用考点2角度1比较大小[例2](2026·辽宁辽阳模拟)若a=-log0.220,b=log624,c=log312,则(

)A.c>a>b B.b>a>cC.a>b>c D.c>b>aA【解析】

a=-log0.220=log520=1+log54,b=log624=1+log64,c=log312=1+log34,因为0=log41<log43<log45<log46,所以log34>log54>log64,则c>a>b.故选A.解题策略·比较对数式大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较B角度2解对数不等式[例3](2026·贵州遵义模拟)关于x的不等式:loga(2x-5)>loga(x-1)的解集是

.

【解析】

①当a>1时,y=logax在(0,+∞)上为增函数,由loga(2x-5)>loga(x-1)可得,2x-5>x-1>0,解得x>4,故此时不等式的解集为(4,+∞);解题策略·对数不等式的两种类型及求解方法类型求解方法logax>logab借助y=logax的单调性求解如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.注意:不要忽略函数的定义域logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解对数函数性质的综合应用考点3[例4](2026·江西南昌模拟)若函数f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)上单调递减,则a的最大值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5C[变式探究1](变条件为最值的情况)若函数f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)上有最小值,求a的取值范围.[变式探究2](变条件为定义域的情况)若函数f(x)=log3(x2-ax+3)的定义域为R,求a的取值范围.[变式探究3](变条件为值域为R的情况)若函数f(x)=log3(x2-ax+3)的值域为R,求a的取值范围.解题策略·(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域范围内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.(2)函数y=logaf(x)的值域是R,这说明函数y=f(x)可以取遍所有大于0的数,而函数y=logaf(x)的定义域是R,则说明f(x)>0在R上恒成立.微点提能3指、对、幂的大小比较方法微点解读函数“比较大小”是非常经典的题型,难度不定,方法多样,高考命题中常常以选择题的形式出现,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起进行排序,主要考查指数与对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻,即利用函数的性质与图象解答.题型演绎题型一利用中间值比较大小DC解题策略·当底数、指数、真数都不相同时,可寻找中间量0,1或者其他能判断大小关系的中间量,利用不等式的传递性进行判定.[拓展演练](2026·四川泸州模拟)已知a=sin120°,b=log20.3,c=log0.23,则a,b,c的大小关系是(

)A.a<b<c B.c<a<bC.a<c<b D.b<c<aD题型二利用基本不等式比较大小C当两个对数的底数与真数都不相同时,可通过作差(或作商)比较大小,作差后利用换底公式化为同底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差与0(或商与1)的大小关系.解题策略·[拓展演练](2026·云南昆明模拟)已知a=log32,b=log53,c=log85,则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<bA题型三构造函数比较大小[典例3](2026·江西赣州模拟)已知a=log23+log32,b=log45+log54,则下列结论正确的是(

)A.a>b>2 B.a>2>bC.b>a>2 D.2>a>bA某些数或式子的大小关系问题看似与函数的单调性无关,但是如果把这些数或式子看成同一个函数的自变量,即利用同构的方法构造函数,利用函数的单调性可比较大小.解题策略·[拓展演练](2026·福建龙岩模拟)已知实数a,b,c满足2a+a=2,2b+b=,c=log163,则a,b,c的大小关系为(

)A.c<a<b B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<aA题型四利用函数图象比较大小[典例4](2026·湖北荆州模拟)已知alog2a=blnb=clog3c>0,则正数a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<bA借助函数与方程的思想,将要比较大小的量视为有关函数图象上的点的纵坐标(或横坐标),然后通过图象高低(或左右)位置进行大小比较.解题策略·ABC教考衔接4糖水不等式[名师解读]

在应用不等式的性质进行代数式大小比较时,我们除了常规的不等式性质、特值,还可以学习糖水不等式的推论:对数型糖水不等式,此不等式常在小题中使用,能做到快