第二章 第10节　函数模型及其应用

第10节函数模型及其应用[课程标准要求]1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.夯实·必备知识知识梳理1.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)2.三种函数模型性质的比较性质函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性

单调

单调单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增图象的变化随x的增大逐渐表现为与

平行随x的增大逐渐表现为与

平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<axy轴x轴重要结论1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(

)(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(

)××(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(

)×√2.(人教A版必修第一册P150例5改编)下列选项分别是四种投资方案预期的获益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是(

)A.y=10×1.05x B.y=20+x2C.y=30+lg(x+1) D.y=50xA【解析】

因为指数函数y=1.05x的底数大于1,其增长速度随着时间的推移会越来越快,比幂函数y=x2,对数型函数y=lg(x+1),一次函数y=50x的增长速度都要快,所以从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是y=10×1.05x.故选A.3.(人教A版必修第一册P156习题4.5

T14改编)在某个实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据,如表:x0.500.992.013.98y-0.99-0.010.982.00则关于x,y最适合的函数模型是(

)A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2xD【解析】

根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.4.(人教A版必修第一册P96习题3.4

T3改编)某市为鼓励居民节约用水,作出了以下规定:每户居民每月用水不超过10m3的,按每立方米m元收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费.某户居民某月交纳水费16m元,则该户居民这个月实际用水为

m3.

13提升·关键能力利用函数图象刻画变化过程考点1[例1]

(多选)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车里程x(单位:km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是(

)A.当打车距离为8km时,乘客选择乙方案省钱B.当打车距离为10km时,乘客选择甲、乙方案均可C.当打车距离为3km以上时,每千米增加的费用甲方案比乙方案多D.甲方案3km内(含3km)付费5元,行程大于3km时,每增加1km,费用增加0.7元BC解题策略·判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法:根据题意构建函数模型时,可以先建立函数模型,再结合模型选择图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.[针对训练]

(多选)某种产品市场产量和销售量情况如图所示,其中l1表示产品各年年产量的变化规律,l2表示产品各年的销售量情况.下列叙述合理的是(

)A.产品产量上升,销售量下降B.产品已经出现了供大于求的情况,价格将下跌C.产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量D.产品的产量和销售量的年增长率均逐年递增BC【解析】

由题图可得年产量和年销售量每年都增长,年产量一直大于销售量,故产品已出现了供大于求的情况,价格将下跌,A不合理,B合理;由于直线l1的斜率大于直线l2的斜率,所以年产量的增长速度快于年销售量的增长速度,故产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量,C合理;年产量和年销售量每年都分别增长相同的量,故年增长率不递增,D不合理.故选BC.已知函数模型解决实际问题考点2D解题策略·已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.[针对训练]

已知某种污染物的浓度C(单位:mol/L)与时间t(单位:天)的关系满足指数模型C=C0ek(t-1),其中C0是初始浓度(即t=1时该污染物的浓度),k是常数,第2天(即t=2)测得该污染物的浓度为5mol/L,第4天测得该污染物的浓度为15mol/L,若第n天测得该污染物的浓度变为27C0,则n等于(

)A.4 B.5 C.6 D.7D构建数学模型解决实际问题考点3(1)写出单株利润f(x)(单位:元)关于施肥量x(单位:kg)的关系式;(2)当施肥量x为多少千克时,该水果单株利润最大?最大是多少元?构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模:抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.解题策略·[针对训练]

(2026·广东佛山模拟)某研究员在泡制茶水的过程中,每隔1min测量一次茶水温度,收集到以下数据:时间/min012345水温/℃857973.668.7464.3460.24设茶水温度从85℃开始,经过tmin后温度为y

℃.为了刻画茶水温度随时间变化的规律,现有以下两种函数模型供选择:①y=kat+b;