第六章 第3节　等比数列

第3节等比数列[课程标准要求]1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.夯实·必备知识知识梳理1.等比数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第

项起,每一项与它的前一项的比都等于

,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的

,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).2同一个常数公比(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么

叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒

.GG2=ab释疑·只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.2.等比数列的有关公式等比数列{an}的首项为a1,公比为q.(1)通项公式:an=

.(2)前n项和公式:a1qn-13.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·

(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=

.qn-map·aq(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).释疑·基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(

)(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(

)(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(

)(4)若数列{an}为等比数列,则数列{ln

an}是等差数列.(

)×××××2.[人教A版选择性必修第二册P35例7(3)改编]已知在等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n等于(

)A.9

B.8

C.7

D.6D3.[人教A版选择性必修第二册P34练习T2(1)改编]将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(

)A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列B4.(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9中间插入3个数,使这5个数成正项等比数列,则中间3个数的积等于

.

275.[人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编]在等比数列{an}中,a3=3,S3=9,则公比q=

.

提升·关键能力等比数列基本量的运算考点1B(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=4,a2+a4=8,则S5=(

)C解题策略·解决等比数列基本量运算问题的思想方法(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.解题策略·(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则在运用等比数列前n项和公式时,要对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.[针对训练]1.(2026·广东广州模拟)已知等比数列{an}是递增数列,且{an}的前3项和为39,a1+a2=12,则

a4=(

)B2.已知正项等比数列{an}满足a5-a1=15,a4-a2=6,若an=32,则n=

.

6等比数列的判定与证明考点2[例2]

已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{Sn+a1}是等比数列,求证:数列{an}是等比数列.[变式探究1]

(条件和结论互换)已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{an}是等比数列,求证:数列{Sn+a1}是等比数列.[变式探究2]

(改变题目条件为已知“项”与“和”的关系)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1-3Sn-4=0,a1=4.证明:数列{an}是等比数列.等比数列常用的四种判定方法解题策略·(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,q≠1),则{an}是等比数列.说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题和填空题.解题策略·[针对训练]

已知数列{an}满足a1=5,an+1-2an=3n(n∈N*),记bn=an-3n.求证:{bn}是等比数列.等比数列的性质考点3角度1等比数列项的性质[例3]

(2026·山东济南模拟)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(

)A.7

B.5

C.-5

D.-7D解题策略·在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用等比数列的性质,特别是“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.[针对训练]

(2026·吉林长春模拟)已知{an}为正项等比数列,若lg

a2,lg

a2024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2025=(

)A.10

B.104

C.108

D.1012B【解析】

由题意可得lg

a2,lg

a2024为方程3x2-12x+9=0的两个解,则lg

a2+lg

a2024=4,解得a2a2024=104,易知a1a2025=a2a2024=104.故选B.角度2等比数列分段和的性质[例4]

(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为

.

2法二设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,设{an}的公比为q,所以S4=a1+a2+a3+a4=4,S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,解得q=±2,因为各项均为正数,故q>0,所以该等比数列的公比为2.[真题精研]

本题源于教材人教A版选择性必修第二册P37例9,主要考查了等比数列分段和的性质,此类题还可以把条件改为已知具体分段和,或分段和的比的关系进行考查.A.12

B.36

C.31

D.33C(2)若公比为q的正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则S8=

,公比q=

.

90(1)在等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列(k为偶数且q=-1除外),公比为qk.(2)在应用等比数列的性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.解题策略·A.3

B.4

C.5

D.7C角度3等比数列奇偶项和的性质[例5]

已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为(

)A.2

B.4

C.8

D.16C解题策略·[针对训练]

已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(

)A.5

B.7

C.9

D.11A教考衔接12

构造法求数列的通项公式[教材母题]

(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3

T8)若数列{an}的首项a1=1,且满足an