第三章 第5节　导数与函数的最值

第5节导数与函数的最值[课程标准要求]1.能利用导数求某些函数的最大(小)值.2.会利用导数解决生活中简单的优化问题.夯实·必备知识知识梳理函数的最大(小)值1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条

的曲线,那么它必有最大值和最小值.2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的

;(2)将函数y=f(x)的各极值与

比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a),f(b)释疑·函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(

)(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(

)(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(

)(4)函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.(

)×√×√2.已知函数f(x)=xex+a在区间[0,1]上的最小值为1,则实数a的值为(

)A.-2

B.2

C.-1

D.1D【解析】

当x∈[0,1]时,f′(x)=(x+1)ex>0,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a=1.故选D.-104.(人教A版选择性必修第二册P99习题5.3T12改编)函数f(x)=2x-1-2ln

x的最小值为

.

1

提升·关键能力利用导数求函数的最值考点1当e<a<e2时,令f′(x)=0,得x=lna∈(1,2),且x(1,lna)lna(lna,2)f′(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增解题策略·(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2)若所给函数f(x)的解析式含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,进而得到函数f(x)的最值.已知函数的最值求参数考点2[例2]

若函数f(x)=ax2-ln

x(a∈R)在区间(0,e]上的最小值为0,求实数a的值.解题策略·已知函数的最值求参数的方法(1)直接法:利用导数求出函数最值(最值是含有参数的),与题中给出的最值建立方程或不等式求解.注意检验所得参数是否满足原函数的定义域及其他约束条件.(2)分离参数法:根据函数最值的定义转化为恒成立且等号成立问题,通过分离参数转化为不含参数的函数的最值问题(此法仅限于分离参数所得函数比较简单的情况).利用导数解决生活中的优化问题考点3(1)求销售利润y(单位:万元)关于产量x(单位:万箱)的函数关系式.(2)当产量为多少万箱时,该厂在生产中所获得利润最大?解题策略·利用导数解决实际问题的四个步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题,结合实际问题作答.[针对训练]

(2026·福建龙岩模拟)如图所示,ABCD是边长为40

cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F为AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x

cm.