第三章 第6节　导数的综合应用

第6节导数的综合应用提升·关键能力利用导数研究恒(能)成立问题考点1[例1]

已知函数f(x)=axex-(x+1)2(a∈R).若对x∈[-1,1],f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.【解】

法一(最值法)

f′(x)=a(ex+xex)-2(x+1)=(x+1)(aex-2).(1)当a≤0时,f(x)在[-1,1]上单调递减,由f(x)max=f(-1)=-ae-1,得a=0.解题策略·(1)恒成立问题的解法.①最值法:若容易直接求解f(x)在区间D上的最值,则∀x∈D,f(x)>0⇔f(x)min>0;∀x∈D,f(x)<0⇔f(x)max<0,此法需要继续求解一个关于参数的不等式,进而求出参数的取值范围.②分离参数法:若容易分离参数且分离参数后的函数容易求解最值,则可用分离参数法,即将问题转化为a>f(x)[或a<f(x)],则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min,此法可以直接得到参数的取值范围.解题策略·(2)能成立问题的解法.①最值法:若容易直接求解f(x)在区间D上的最值,则∃x∈D,f(x)>0⇔f(x)max>0;∃x∈D,f(x)<0⇔f(x)min<0.此法需要继续求解一个关于参数的不等式,进而求出参数的取值范围.②分离参数法:若容易分离参数且分离参数后的函数容易求解最值,则可用分离参数法,即将问题转化为a>f(x)[或a<f(x)],则a>f(x)能成立⇔a>f(x)min;a<f(x)能成立⇔a<f(x)max,此法可以直接得到参数的取值范围.[针对训练]

已知函数f(x)=x3-ax2+10,在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.利用导数证明不等式考点2[例2]

(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(1)【解】

因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为R,所以f′(x)=aex-1,当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f′(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减.当a>0时,令f′(x)=aex-1=0,解得x=-lna,当x<-lna时,f′(x)<0,则f(x)在(-∞,-lna)上单调递减;当x>-lna时,f′(x)>0,则f(x)在(-lna,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.解题策略·待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证.利用导数研究函数的零点考点3[例3]

已知函数f(x)=x+ln

x-ax2,a∈R.(1)若a=0,求过原点且与函数f(x)图象相切的直线方程;(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.令u(x)=1-x-2lnx,则u(1)=0,u(x)在(0,+∞)上是减函数,所以当x∈(0,1)时,u(x)>0,所以g′(x)>0,所以g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,u(x)<0,所以g′(x)<0,所以g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,故g(x)的大致图象如图所示,由图可知,当f(x)有两个零点时,a的取值范围是(0,1).解题策略·(1)不含参数的函数零点个数问题可直接研究其图象与x轴的交点问题或转化为两个函数图象的交点问题.(2)求解含参数的函数零点个数问题可以选择以下方法.①分离参数法:一般采取参变分离,转化为两个函数图象的交点问题,即利用导数研究单调性,结合函数变化趋势、极值等作出函数图象,结合函数图象求解.②分类讨论法:若是函数不容易参变分离,可以结合函数的单调性及函数零点存在定理,通过分类讨论求函数零点个数.[针对训练]

讨论函数f(x)=eax-x的零点个数.法二(分类讨论法)由题得,f′(x)=aeax-1.①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在R上单调递减,又f(0)=1>0,f(1)=ea-1≤0,故f(x)存在一个零点,此时f(x)零点个数教考衔接6几个重要不等式[名师解读]

以上常用的不等式,可用于放缩法证明不等式或比较大小,如果考试时使用了以上不等式,一般需要先进行证明.在不等式ln

x≤x-1中,结合图形可以知道,直线y=x-1恰好是函数y=ln

x图象的切线.以上不等式大多数都涉