考研数学（数学三）模拟试卷440

考研数学（数学三）模拟试卷440

一、选择题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

..ln[/（N+l）+l+3sin2j：]4

lim/~-4,

1、设f（x）在％=1的某邻域内连续，且I则为

=1是f（»的（）.

A、不可导点

B、可导点但不是驻点

C、驻点且是极大值点

D、驻点且是极小值点

标准答案：C

J*

知识点解析：因为f“）在汽=1连续，所以1欧+1）=2），由

1•ln1/(j：+l)+l+3sin2j：]..ln[/(z+1)+1+35*71A

lim-........./A--------------------=hm~~----------：----------------------4,

IJ1+——1IlT2

2知

liir、

**<>ln[f(x+1)+1+3sin2x]=ln[f(l)+1]=0,即f(l)=0.则当1->0,In[取+1)+1

2

lim/(x+l)+3sinx

r^O

+3sir?%]〜f(x+l)+3sin2y,推得原式==4,即

lim与卫

i丁=2-3=—I,于是

/⑴=lim』"+P」⑴-x=-1X0=0.

x

所以X

/Cr+l)_.f(力

lim2~□=l1im-/■-

=是f（x）的驻点.又由—kLICr-D=一|,以及极限的保号性

/(x)

知当代Uj⑴时，（7—1）2V0,即f（K）V0,也就是f（X）Vf（l）.所以f（l）是极大

值为=1是极大值点.故应选C

2、设在区1]：a,b]±,f(x)>0,f(x)<0,r(x)>0,令S|=#取姒，s2=f(b)(b

1

-a),S3=[f(a)+f(b)](b-a),则().

A、SiVS2Vs3

B、S2<S]<S3

C、S3<Si<S2

D、S2Vs3<S]

标准答案：B

知识点解析：由F(%)VO,「(%)>0知曲线y=f(%)在[a,b]上单调减少且是凹的,

/S)-f(Q)

于是有f(b)Vf(x)〈f(a)+b-a(z-a),庐a,

b).

于是f/(Wdr<17(z)业<[[fM)+二个a)(x-a),

而f[f(a)+“器/(”一.)]"=+/(6)](6-a)=S3,

B

fAf(b)dx=f(b)(b-a)=S2,所以，S2<Si<S3故应选B.

3、设z=f(u),方程u=(p(u)+JyXp(t)dl确定是％,y的函数，其中f(u),(p(u)可微,

p(y)*+p(«r)祭

p(t),嗔u)连续且d(u),l,则"-=().

A、p(»

B、p(y)

C、0

D、z

标准答案：C

知识点解析：方程u=(p(u)+bp⑴出两端分别关于心y求偏导数，得

*=武("浣+做工),含=/("*一P6),

敏徨»(子)[=一妁)

dx1-1-4(〃厂由z=f(D可微，得

空=八“承=半哈亭=/(〃怦=平陪幺

dxdxI-p(〃)dy'dyI—

干是vs卫*外三一区£必必1^2一包Z血必Qi-。

于是以山圣+启(力分一'^^—"心T"咻广

丫故应选C.

4、设D是由直线左］.■二’一围成的平面区域，Di是D在第一

(oy+lsiny)dff

象限的部分，则i==().

S

A、2"xydo

卜

B、2Psinyda

4JJ(xj+ex，sinyyda

C、5

D、0

标准答案：B

知识点解析：积分区域D如图5—2所示：被分割成

D|,D2,D3,D4四个小区域，其中D1，D2关于y轴对称，D3,D4关于无轴对

{xy+exsiny)da=jp7)匕+JJe”sinyda.

称，从而外弋口由于/y关

于/或y都是奇函数，则

Jprych=JJ制da+JJxy6a=0+0=0.，

DMd卬也而Fsiny关于％是

偶函数，关于y是奇函数，则

t1°)

<n,如人=£,B='O0\则R(AB)=R(B)=1V2,但R(A)=2.对于选项

C,由同型矩阵A与B等价<=>R(A)=R(B)可知，若A%=0与以=0同解，则A与

(1I)I1一

B等价；但反之不然，如A='。07,B=V00/,则A,B等价，但A%=0

与故=0显然不同解.故应选D.

22

7、设随机变量X〜N(p,4)，Y=N(p,5),记Pi=P{Xqi-4},P2=P{Y>^+

5},则().

A、对任意实数中有Pi=p2

B、对任意实数中有Pi〈p2

C、对任意实数卜1,有pi>p2

D、对N的个别值，有P|=p2

标准答案:A

知识点解析：由于4〜N(0,I),5〜N(0,1),所以

P尸P(午^&T}=0(_D=1_<X>⑴，

色故pi：P2,而且与N的取值无关.故

应选A.

尸0<x<l,

8、设随机变量X的概率密度为f(x)='°，其他•表示对X的3次独立重复

±

观测中事件{XW2)发生的次数，则P(Y<2)=().

JL

A、64

1

B、32

63

C、64

31

D、32

标准答案：C

P〈x&yj=j/(x)dr=27dz=•，则丫〜6(3,/).

知识点解析:

(IV=63

故P{YW2}=1-P{Y-3}=1-'4/64.故应选C.

二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

9、Jarctan(1+G)d%=_______.

标准答案：工arctan(l+石)-，？+ln(<r+2/？+2)+C

知识点解析：令G=3则/=",所以Jarctan(l+J^)dx=Jarctan(l+t)d/=

r___t.—?也2—2

『arctan(1+t)—」1+(1+‘)=Jarctan(1+1)T(1—2+/+2,)由=raretan(1

+t)-t+ln(2+r+2t)+C=%arctan(l+6)—石+lnQ+2石+2)+c.故应

填j：arctan(l+6)-石+ln(z+2丘+2)+C

10、没函数y=y(%)由方程Hf(y)=，ln29确定，其中f具有二阶导数且,则

也

d?=.

二f(、)了

标准答案：,a二/3手

知识点解析：方程两边取自然对数，得lnrH(y)=y+ln(ln29),方程两边对天求

1)

导,得1+r(y).y』y，，解得旷=看三[而•则y"=

l-/(y)+^-f(y)]y_r(y)-[l-r(y)J2

/[1一,6了工口二/&汀3,

4

11、设四次曲线y=aZ+b/+c£+dx+f经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个

拐点.该曲线.匕点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4),则该四次曲线的方程为y

4283.4

27J4一守4T2+2x

标准答案:3

知识点解析：因曲线经过(0,0)点，则f=0；①又经过(3,2)点，所以yl%=3=

81a+27b+9c+3d+f=2：②又因为(3,2)是拐点，所y"Iz=3=(12ax+6bZ+

_4

2c)Iz=3=108a+18b+2c=0：③又因为经过(0,0)的切线斜率为2=2,所以

4-2

y，I*o=(4a£+3b/+2[+d)I*o=d=2；④经过点(3,2)的切线斜率为2—3

=-2,所以/I%=3=(4ax+3b/+2c%+d)I%=3=108a+27b+6c+d=-2.⑤联

M4W284*

立解①〜⑤得a=27,b=-27,c=3,d=2,f=0.所以曲线方程为丫=

24—久3+_£24/一邳/+f+2]

27/277十3]+2%.故应填27127才'3十

（立）’

12、差分方程y/i—2*'2’的通解为

标准答案一户y2/十2I20CWR

11

知识点解析：齐次差分方程"+1—2叱=0的特征方程为人一讶=0,解得人=

2（1Y（ir

2.故齐次差分方程的通解为c'2，.设特解为yj=A'2'，代入原方程得

A=2.故所求通解为y%=\2，2\2/,CGR.故应填y%=

C（D+7（7）

，CER.

13、设A是3阶实对称矩阵，且满足A?+2A=0,若kA+E是正定矩阵，则

_11

标准答案：小于或<2

知识点解析：由A?+2A=0知，A的特征值是。或一2,则kA+E的特征值是1—

2k+l.又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于0,所以，k<2.故应填小于

i■或号

14、设E(X)=2,E(y)Vl,D(X)=25,D(y)=36,pxY=0.4,则E(2X—3Y+4)2

标准答案：305

知识点解析：E(2X-3Y+4)2=D(2X-3Y+4)+[E(2X-3Y+4)]2=4D(X)+9D(Y)

+2Cov(2X,一3Y)+[2E(X)一3E(Y)+4『=303.故应填303.

三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

/(力+/3

15、已知F(0)存在，求满足欧+y)=1一八幻/6)的函数f(»

标准答案：因为政+y)"―/(])/”)，令％=y=0,得f(0)=

出1+/())_f(力

r*0y

1+)("J.f(y)1+1Cr)

1-/(x)/(.y)J割y•r券1-/(])/(»)

・)

•=一liWm)vIJ[l+/(x)]=/(On+/(x)J,

f(工)

为1+/(])=?(0),两边从0到尤积分得arctanf(%)=F(O)x，于是f(%)=

tan[f(O)x].

知识点解析：暂无解析

16、求由方程2/+2y2+z2+8%z—z+8=0所确定的函数z(%,y)的极值，并指出

是极大值还是极小值.

标准答案：令F(%,y,z)=22+2y2+z2+8z-z4-8,则令

KXX

=4z+8z八

azE=—m=°'

石

店=

内

解得y=0,4%+8%=0,代入29+2y2

+z?+8/—z+8=0,解得两组解:(xi，yi，zi)=(-2,0,1)；(q,zi)=

(160一旦)

'7''7〃再求二阶导数并以两组解分别代入.对于(霜，y2,zi)=(-2,0,

1)点：

Aa?z二£n=八1不Z±

3=℃方=

A=G(-2,0.1)15

16/八人_4、八

~225<0,A-T5>0,

故z

=1为极小值.对于(X2，y2，Z2)=

(y.0,-y)

=_」

A嘴I(/°T)=_制=悬|©尸君

°T(%。，7)__彳

B-AC一=VO，A=TVO,

_8

故z=-7为极大值.

知识点解析：暂无解析

17、设f(%)，g(x)在［a,b］上二阶可导,g"(x)/0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=O.证

明：(I)g(X)M，任意庐a,b)；(口)存在年(a,b),使N⑷g(f).

标准答案：(I)反证法.若不然，则在(a,b)内至少存在一点c,使g(c)=O,于是

由已知条件知，g(»在［a,c］与［c,b］上满足罗尔定理条件.分别应用罗尔定理，得

“(a,c),々W(c,b),使g©)=0,或及)=0，于是g'(x)在后，期上满足罗尔定

理条件，进一步应用罗尔定理，存在】怅©［,及)U(a,b),使g"(n)=o,这与条

件g”(力如，值a,b)矛盾.故g(%)H0,Xe(a»b).(D)令F(»=Rx)gU)一

f(x)g(x),则F(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,满足罗尔定

理条件.对F(x)应用罗尔定理，于是存在乐(a,b),使F«)=0,即F支)=

V(x)g'(x)+f(x)g”(x)-P(x)g'(x)—F(x)g(x)]Ixw=f@g"(9一/@蜒)=0,由

怨(a㈤.

所以g(©gM

于g(9和，g"(9邦，

知识点解析：暂无解析

18、计算定积分

标准答案：令％=§加，则

通电•costdt=^sin2tdt

0cosIo

1rf

=十，"1-8s2t)dttdt—z-teas2tdt

ZJo

ordsin2/=^~1zsin2r+：fsin2tdt

167oo

K21%J"

=m_产2i

o164,

知识点解析：暂无解析

2n-1V2n-1

S2"X2J衿】'

19、求零级数"I的收敛域及和函数，并求级数’的和.

标准答案：由

27rH2”

〃n+1(z)2f”..2〃+12一公

触2(21)/一彳

〃“(工)2匚l/i

2",则当2V

X2

1,RR|xI时，塞级数绝对收敛；当2>i,即।/时，察级数发散;

,8

2〃一1

当2=],即％=±含时，察级数为W2发散.所以，累级数的收敛域为

（-72,72）,

令S(x)=S（一&,4）,则

»-1

X

XS(x)dr=§P2-1

立2Tdz=2

oo2n

1一彳

SCO=（2^7）X=W（一仇，戊）,

oo

即X

用=（尸e（一氏心

1M/

上式两端求导得-当X

2+3

弓红二1・_10

点2-D1~~9,

即包铝一

知识点解析：暂无解析

+小2工2+而乃=1,

。2】©+。2212+。23工3=1，

03111+“32Z2+以3313=1,有三个解四=（1,0,0）T,a

20、设方程组I2

=(-1,2,0)T,（X3=（—1，1，1）二记A为方程组的系数矩阵，求A.

11r

11，Aa3=1

标准答案：由题意知11，即A(ct],Q2,(X3)

111111

11111

=(Aai，Aa2，Aaa)=111记B=(ai，(12，a3),C=111,则有AB

1-1-1

o21

=C又因为IBI=001=2#）,矩阵B可逆，从而B”=

1_

1

72

011

~2~2

00对上式两边同时右乘BL得

111

11177111

A^CB111

0111

2

,11L7,111.

loo1,

知识点解析•：暂无解析

21、设二次型f（%i，X2,X3)=(XI—X2)2+(X1—X3)2+to—)^)2-(I)求二次型f的

秩；（口）求正交变换Q,使二次型f化为标准形.

标准答案：（I）由于f=2xr+2x22+2%32—2%|72—2%2X3—2XIX3»二次型对应的矩阵

2-1-12-1

A=-1201-1

为A,则有-1-1OOO所以矩阵A的秩为

-1-1

A=2-1

-12

A-211

|AE-A|=1A—21=A(A-3)\

11A-2

2.（口）记二次型厂的矩阵为A,则

可知入1=0,4=入3=3.又勾=U时，特征向量中=（1,1,1）'「，将川单位化后

得口='3'3'3'.12=入3=3时，特征向量1]2=(-1，1，0)1,r)3=(-1,

0,1)T,对r|2，】13施行施密特正交化得。2=T]2=(—I,I,0)T,p3=

1

2，

，再将一，p3

单位化,得L心)’『(

6'6’3)故正交变换矩阵、=

甚也_甚

TT6

q0在

133且有％=Qy,使f=3y2?+3y32.

知识点解析：暂无解析

产，0041,»20,

22、设(X,Y)的概率密度为f(%,y)=1°，其他(DHX,Y

是否独立？(H)求Z=2X+Y的密度fz(z),(HI)求P{Z