第2章 61 连续型随机变量 62 正态分布

*§6正态分布

6.1连续型随机变量

6.2正态分布

1.了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数.(难点)

2.认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.(重点)

［基础•初探］

教材整理正态分布

阅读教材P63〜P65,完成下列问题.

1.正态分布

(1)在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果

将区间无限细分，最终得到一条加线，这条曲线称为随机变量X的,

这条曲线对应的函数称为X的.

Q)若随机变量x的分布密度函数为yu)=,其中〃与。分别是随机变

量X的与,则称X服从参数"和心的正态分布，记作X〜N(〃，

【答案】(1)分布密度曲线分布密度函数(2)一也均值标

准差

2.正态曲线的性质

(1)函数图像关于直线对称；

(2阳》0)的大小决定函数图像的；

(3)P(/i—a<X<^i+<r)=；

P(/t—2cr<X</z+2cr)=;

P(JLI-3O<X<N+3a)=.

【答案】(1)%=//(2)胖、瘦(3)68.3%95.4%99.7%

1.判断(正确的打“，错误的打“X”)

(1)正态变量函数表达式中参数〃，。的意义分别是样本的均值与方差.()

(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.()

(3)正态曲线是一条钟形曲线.()

(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量

的概率分布用分布列描述.()

【解析】(1)X因为正态分布变量函数表述式中参数〃是随机变量取值

的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而。是衡量随机变量总体波动

大小的特征数，用样本的标准差去估计.

(2)J因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能

取某个区间上的任何值.

(3)7由正态分布曲线的形状可知该说法正确.

(4)X因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变

量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.

【答案】(l)X(2)V(3)V(4)X

2.若X〜N(l,0.04),则尸(X>1)=.

【解析】由X〜M1O04)知，正态曲线关于直线x=\对称，故P(X>\)

=0.5.

【答案】().5

f质疑手记］

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1:

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3,

解惑：

［小组合作型］

E正态曲线及其性质

》例II(1)如图2-6-1,曲线G：凡。=7焉e2彳(xER),曲线Q：贝。

)2

图2-6-1

A./Zl</Z2

B.曲线G与x轴相交

C.（71>02

D.曲线C,C2分别与x轴所夹的面积相等

（2）如图2-6-2是三个正态分布X〜N（（）,0.25）,丫〜M（）』），Z〜N（（）,4）的密度曲

线，则三个随机变量X,KZ对应的曲线分别是图中的,,.（填

写序号）

图2-6-2

（3）如图2-6-3所示是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布密度曲线

的函数解析式，则总体随机变量的均值为,方差为.

图2-6-3

【精彩点拨】着眼点：（1）方差的大小；（2）正态曲线的特征及意义；（3）参

数的几何意义.

【自主解答】（1）由曲线G,C2对称轴的位置知，W>"2,由曲线Ci瘦于

。2知。1<。2,由«r）>0知，曲线G在x轴上方，故选D.

⑵由0.25VIV4,得X,匕Z对应的曲线分别是图中的①②③.

（3）从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值为苏,

所以〃=20,点=苏,解得o=也

于是，正态分布密度曲线的函数解析式为：

2

（工一20）乙

144

知,”幻=，x£（—8,+00）.

总体随机变量的均值是〃=20,方差是『=（6）2=2.

【答案】（1）D（2）①②③⑶202

利用正态曲线的性质可以求参数〃，G具体方法如下：

（1）正态曲线是单喳的，它关于直线对称，由此性质结合图像求〃；

(2)正态曲线在x=f.i处达到峰值承历,由此性质结合图像可求a

[再练一题]

1.设随机变量x服从正态分布，且相应的概率密度函数为yu)=

【导学号:62690047]

A.〃=2,。=3B."=3,。=2

C.//—2,er—,^3D."=3,(J=,\[3

11:2-

【解析】由/(x)=2><(后)2,得4=2,(y=y[3.

【答案】C

trn服从正态分布变量的概率问题

》例国⑴己知随机变量4服从正态分布M2,『),且P(<<4)=0.8,则P(0<c<2)

=()

A.0.6B.0.4

C.0.3D.0.2

(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布ML4)，求正态总体X在

内取值的概率.

【精彩点拨】(1)根据正态曲线的对称性性质进行求解；(2)题可先求出X

在(一1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x=l对称知，X在内取值

的概率就等于在(一1,3)内取值的概率的一半.

【自主解答】(1)・・•随机变量X服从正态分布M2,〃)，

・・・"=2,对称轴是工=2.・・/(«4)=().8,

・•・尸(04)=P«<0)=0.2,

/.P(0<c<4)=0.6,.・・P(0v4v2)=0.3.故选C.

【答案】C

(2)由题意得〃=1,Q=2,

所以P(—1VXW3)=P(1-2VXW1+2)=0.6830.

又因为正态曲线关于1=1对称，

所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)=1p(-1<X<3)=0.3415.

1.求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的

概率转化到已知区间的概率.

2.常用结论有：

(1)对任意的有P(X<//-a)=P(X>1.1+a)；

(2)P(X<xo)=1-P(XNxo)；

(3)P(〃<X<b)=尸(XVb)-P(XWa).

［再练一题］

2.若〃〜N(5,l)，求P(5<〃<7).

【解】,・,〃〜M5,l),・••正态分布密度函数的两个参数为〃=5,。=1.

..,该正态曲线关于x=5对称，

・•・P(5<“<7)=|XP(3<〃<7)=3X0.954=0.477.

［探究共研型］

E工正态分布的实际应用

探究1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径2〜M4,0.25),那么该圆柱形

零件外直径的均值，标准差分别是什么？

【提示】零件外直径的均值为〃=4,标准差(7=0.5.

探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径。〜M4Q25),若零件的外直径

在(3.5,4.5］内的为一等品.试问1000件这种零件中约有多少件一等品？

【提示】尸(3.5々W4.5)=尸(〃一。<£<〃+。)=0.6830,所以1000件产品中

大约有1000X0.6830=683(件)一等品.

探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径s〜M4,0.25).质检人员从该厂生

产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产

的这批零件是否合格？

【提示】由于圆柱形零件的外直径£~M4,0.25),

由正态分布的特征可知，正态分布N(4,().25)在区间(4—3X054+3X0.5),

即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003,而5.7€(2.5,5.5).

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假

设检脸的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的.

》例图设在一次数学考试中，某班学生的分数X〜Ml10,2()，且知试卷满

分15()分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不低790

分)的人数和130分以上的人数.

【精彩点拨】要求及格的人数，即要求出P(90WXW150),而求此概率需

将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解.

【自主解答】・"一汽(110,202),

.*.//=110,<7=20,尸(110—20Vx<110+20)=0.683.

AX>130的概率为：1x(l-0.683)=0.1585:

X290的概率为：0.683+0.1585=0.8415.

，及格的人数为54X0.8415245人，

130分以上的人数为54X0.1585^9人.

解此类问题一定要灵活把握尸8一尸仪一2b<0W"+2cr),PQ

一3。〈。・〃+3<7)进行转化，然后利用特定值求出相应概率.同时要充分利用曲线

的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质.

［再练一题］

3.在某次数学考试中，考生的成绩4服从一个正态分布，即〈〜M90/00).

(I)试求考试成绩C位于区间(70/10)上的概率是多少.

(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约

有多少人.

【解】••:〜N(90/00),.\//=90,10.

(1)由于正态变量在区间供一26〃+2。)内取值的概率是0.954,而该正态分

布中，4-2。=9()-2义10=7(),〃+2o=9()+2X10=11(),于是考试成绩位于

区间(70,110)内的概率就是0.954.

(2)由〃=9(),k10,得〃一。=80,〃+0=100,

由于正态变量在区间(//一。，〃+。)内取值的概率是0.683.一共有2000名考

生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000X0.683=1366(人).

［构建•体系］

2

1.正态分布密度函数为%"(x)=1^e—xe(—oo,+oo),则总体为平

均数和标准差分别是()

A.()和8B.()和4

C.0和2D.0和也

【解析】由条件可知〃=0,(J=2.

【答案】C

2.如图2-6-4是当J取三个不同值占，及,的的三种正态曲线M0,『)的图象,

那么6,02,C3的大小关系是()

图264

A.(71>1>02><73>0

B.0<<T1<<72<1<<73

C.<7|><72>1><73>0

D.0<671<672=1<<73

【解析】当〃=0,。=1时，正态曲线〔在x=0时，取最大

值故6=1.由正态曲线的性质，当〃一定时，曲线的形状由。确定.(7越

小，曲线越“瘦高”；〃越大，曲线越“矮胖”，于是有()<6<6=1<如.

【答案】D

3.若随机变量X〜N(〃，