考研数学（数学三）模拟试卷448

考研数学（数学三）模拟试卷448

一、选择题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

lim/.户

1、设f(x)="—在区间(0,4)内某点a处的导数F(a)不存在,

则必有

2

A、a=2

B、a=l.

C、a=2.

D、a=3.

标准答案：C

知识点解析：

»

2x(1*(y)")T(0<*<2)

./----------5-,r2z(0<X<2)

=4.2，,(-2)(2W‘<4),于是

(犷(2…4)

<X<2，

/(x)=产’°Vx€(0,4),“2J(“)可导，

lx2,2Wx<4,

f-(2)=(2x)'|X=2=2,f+'(2尸(x2)，|X=2=4,f_'(2)Wf+'(2)故「(2)不存在，即

a=2.选(C).

「7（|8皿|）也,则

2、设f（x）在［0,1］上连续，乂F（x）=

A、F(X+7T)>F(X)(X6(—CO,4-00)).

B、F(x十兀)VF(x)(xG(一co,+oo)).

C、F(x4-7r)=F(x)(X6(—oo,+oo)).

D、x>0时F(x+7t)>F(x),x〈0时F(x+兀)<F(x).

标准答案：C

知识点解析：f(|sinx|)是以兀为周期的周期函数，因而有

/[|8>n(x+ir)|]=/(|sinx|)

2

F(x+IT)=f/(IsintI)df=====|/(|sin(u♦IT)I)d(U+IT)

J，♦・

产♦于I

=|/(Isinu|)du=F(x)

因此选(C).

3、设D={(x,y)|x+y>l,x2+y2<l},则1=。(x2+y2)de的值为

TT(B)

8-T,£-不

工TT

_2(D)

(C)I-T,8~,

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：D由直线x+y=l与圆周x2+y2=]所围成(它位于第一象限)，如

图.记D[={(x,y)|x2+y2<l,x>0.y>0},D2={(x,

y)|x+y<l,xK),y>0},显然D二D|\D2，于是

/=，(/♦J)do_/(一+/)d(r

5

=+y2)da-2^x2dor

小&

=广呵r2•rdr-2jdyj1'x2dx

=.，尸dy

=—IT―c/•—1=T"t■■—I—

81286,其中D2关于直线y=x对称，因此

Hy2da=Hx2da.

如故选(B).

£(-1L

4、已知基级数n(x一a)n在x>0时发散，且在x=0时收敛，则

A、a=l.

B、a=一1.

C、—l<a<l.

D、—l<a<l

标准答案：B

知识点解析：—明・一•"+।’知该幕级数的收敛半径为1,从而得其

收敛区间为|x—a|Vl,Wa—l<x<a+l.又当x—a=l即x=a+1时，原级数为

yy

"'收敛；当K—a=—l即x=a—1时，原级数为""3,n

发散.因此，原级数的收敛域为a—IVxSa+l.于是，由题设x=0时级数收敛，x

>0时级数发散，可知x=0是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内，因此只有

@+1=0即2=—1.故选(B).

■2a1-

A=a21.

5、设LI1J要使得A正定，a应该满足的条件是

A、a>2.

B、a>2.

C、0<a<2.

D、a<0.

标准答案：C

知识点解析：用顺序主子式.A的3个顺序主子式为2,4-a2,2a-a2,它们都大

于0的条件是0<a<2.

6、n维向量组(I)⑴，a2,...»出和(U)0i，的，…，仇等价的充分必要条件

是

A、r(I)=r(II),并且s=t.

r(I)=r(n)=n.

C、r(I)=r(D),并且(I)可以用(II)线性表示.

D、(I)和(口)都线性无关，并且s=l.

标准答案：C

知识点解析：(I)与(口)等价的充分必要条件是r(I)=r(D)=r(I,H).(A)缺少条

件r(I,H)=r(I).(Bj是(I)与(II)等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量

组的秩达到维数.(D)(1)和(II)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如

(I)：ai=(l,0,0,0),a2=(0,1,0,0),(II)：m=(0,0,1,0),设>=(0,0,

0,I).(1)和(口)都无关，并且s=l=2,但是(I)和(II)不等价.(C)(1)可以用(U)

线性表示，则r(H)=r(I,II).

7、袋中有2个白球和1个红球.现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白

•*%•%♦♦・、・・»―•・*-a■、♦■»"*-♦，••、♦・・・・一•一・・

2"/0\"/9\2""1

⑴「岛•⑻（C）l-（f）-（0）I.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D_

知识点解析：设Ai表示第i次取到白球，i=l,2,n,则Z«=A]A2…An—

由乘法公式可得

——9991

=

P(A.)=P(4))P(&I^4|)—PCX,H142-.4,.1)=—,k…V*T

故P(An)=1・P(2)=1■察.

J

所以应选(D).

8、设亍和歹是取自同一正态总体N（po2）的两个相互独立且容量相同的简单随

机样本的两个样本均值，则满足PI亍一百>"巳0.05的最小样本容量产

A、4.

B、8.

C、12.

D、24.

标准答案:B

知识点解析：因总体服从正态分布N（小『），则

X-Y-N（o,乎）,U~"（0,1）,且

P||f|…尸｛居勺1>舟0.05.

于是。1.96,

应2x1.962=7.6832.故

最小样本容量n=8.选（B）.

二、填空题（本题共6题，每题上0分，共6分。）

lim.J1金=2.

9、设f（x）在x=0处连续，且…*-8,nx则曲线y=f（x）在点（0,f

（0））处的切线方程为.

y=—x-1.

标准答案：3

1

知识点解析：利用sinx的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有x一sinx=x一[x-3]

1

x3+o(x3)]="6x3+o(x3)，代入原极限式即得

2=1加-2以"=]加£4公.1〕/=1淅/⑴+1

一L…京.。(/)…/-。(了

可见”[/(%)+1]=0,于是/(0)=J哽工)=-1,且

/'(0)=lim〃.

1^0X-0X

10、设y(x)是山x?+xy+y=tan(x—y)确定的隐函数，且y(0)=0,则y”[0)

3_

标准答案：一屋

知识点解析：将方程看成关于方量X的恒等式，两端同时对变量X求导数可得

2%+y+盯’+y'=-(*)

cos(x-y)

2

在(*)式中令x=0,又y(0)=0,则有y'(0)=l—y'(0),于是y'(0)=5将(*)式看

成关于变量x的恒等式，两端同时对变量x求导数又可得

2.y，+y，r/+y"=―=2^—+在誓二11(]一尸尸，(♦♦)

cos*2(x-y)cos3(X-Y)

2

在(**)式中令x=0,又y(0)=0.y，(0)=2即得2+2y，(0)+y”(0)=—y"(0),于是

3_

y”(0)二一1一y'(0)=2・

(12n.1du

u|x--=%,则:-=

11、设u(x,y)=y2F(3x+2y),若'’t2dx

标准答案：3y?(3x+2y—1).

知识点解析：由u(x,2)个2得4F(3X+1)=X2,即F(3X+1)=4X2.设3x+l=t,x=3(t

_4_44_

—1),则F(t)=9(t一1)2,从而F(3x+2y)=9(3x+2y—I)2于是u(x,y)=9

du_48

y2(3x+2y-I)2^y2(3x+2y-1).6=3y2(3x+2y-1).

雷tCAin”f

12、差分方程yt+i—3yt=20COST-皿f满足条件y()=5的特解是.

COB+17sin.

标准答案：yi=6x3‘T一22

知识点解析：根据题设差分方程的特点，可设其通解形式为丫尸Cx3(+Acos

了“1‘+Bsin——t其中A,B,C是待定常数，于是，yi+i=3Cx¥—Asin

+Bcos-(4+3B)sin

22把它们代入方程可得y(+1—3yt=(B-3A)cos22

(B-34)cos三t-(4+3^)sin=20cos三1-50sin=;,

令2222即可确定常数A=-

♦17»in.

1,B=17.即差分方程的通解为y(=Cx3'—cos22再利用条件yo=5又

可确定常数C=6.故所求特解是yt=6x3t—cos22

-5aI-

A=a52

Lj21」要使得A的正，负惯性指数分别为2,1,则a

13、设实对称矩阵

满足的条件是

标准答案：aVO或＞4.

知识点解析：A的止，负惯性指数分别为2和I的充分必要条件是|A|VO(A的对

角线元素有正数，不可能特征值都负).求出|A|=—a2+4a,得答案.

上的均匀分布

则P\X<Y,y>yl=

13

标准答案：了'"^.

知识点解析：由于(X,Y)在D上服从均匀分布，故可用几何概率求解.记

x=

I2,将梯形区域D分成12个全等的小三角形.此时可记

故p{x<YtY>y}=F(4)=W=+，

i

尸卜<y|y>}}=4"3

y=y

12

Sc=12,SA=3.

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

=+♦4♦-yfe"ck)=1,

xxx)0]求常数a,b,

15、已知极限C.

标准答案：用洛必达法则.由

aJ+6x+cfedf£

I=lim-------------------------------1•===g=lim

…x5洛必达法则人⑷

b+c=0①

(否则，=8•不合题意).

继续用洛必达法则=

...6ax-2cxe'

I=lim------------；

一。20x3

3a-c=0

(否则/=8，不合题意).

再用洛必达法则=

,[.2cxec

I=lim—―--=-=

*-o20x10

c=10.

由①，②式=6«-lO.a=y

知识点解析：暂无解析

16、求由曲线y=3—x2与圆x?+(y-1)2=4所围图形中含坐标原点那一部分的面

积.

标准答案：先求抛物线与圆的交点，由y=3—X2与x2+(y—1)2=4可得x?+(2—

X2)2=4,HPx2(x2—3)=0,从而x=0.x=+"咽此两曲线的交点分别为(0,3),

2

(-Q,0),(4,0)・x轴下方圆的曲线方程为y=l-74-X,图形关于y轴对称，

因此

S=2|[(3-x2)-(I-/4-x2)]dx

Jo

=2((2-x2)dx+2j-/dx

x2(2x-yx3)I"+2//4-/而=2吁+2j"J4二Jdx

令x=2sine.则/4-/=2cos6,于是

J-7dx=4cos*Gd。=2(1♦cos26)d。

Jo

T2A

=(23+sin2。)w+

0TT-

所以S=27T+2(/1r+亭)=3&+g

知识点解析：暂无解析

17、设z=z(x,y)是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数,求

(x,y)的极值点和极值.

标准答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx-

54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0»即(18x-54y)dx+(l80y-54x一

62)dy—(6y+2z)dz=0.从而

dz18x-54y_9x-21ydz180y-544-6z_90y-Tlx-3z

瓦-6y+2z-3,'dy_6y+2z-3y+z.为求隐函数

z=z(x,y)的驻点,应解方程组

9x2-S4xy+90y2-6rx-z2+18=0,①

9x-27y=0,②

90/-27,-3z=0.③

②可化简为x=3y,由③可得z=30y—9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,

y=l,z=3与x=—3,y=—1,z=—3.为判定z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极

值，还需求z=z(z,y)在这两点的二阶偏导数：

内9(3i)-(9〜27y垓心-27(3y+z)-(9一27川3♦却

犷(3y+z)2'dxdy(3y+z)2

士3+z)-(90y-27x-3z)(3♦亨)

（3y一户

记P=(3,1,3),Q=(—3,—1,—3),即可得已在P点处

4==3R_九9c■用

&L2,dxdyIP

故”-£=>卜-春<0,且4=y>0,

故在点(3,1)处片z

(x,y)取得极小值z(3,1)=3.类似可知在Q点处

48313yz9「以

=-15,

a%2Q2dxdyQ2ay1P

14,2kf81459f.3

故8D-AC=~—--=----<n0,且A4=--<A0,

4242故在点（—3,—

1)处z=z(x,y)取得极大值z(—3,-1)=—3.

知识点解析：暂无解析

18、求暴级£-数---+-1-）-（-"--*-2-）的收敛域口与和函数s（x）.

标准答案：用通项分拆法分解幕级数可得

x|_x"|—r"

n(n+I)(n+2)

利用已知的和函数公

vIIvx**'III

与…22”4〃♦I2xx2

知识点解析：暂无解析

19、设函数f(x)在区间[0,4]上连续，且f(x)dx=0,求证：存在乐(0,4)

使得f(4)+f(4一1)=0.

标准答案：作换元1=4—x:0一4对应t:4-0,且dx二一df,从而Jo4f(x)dx二一JM：4—

t)dt=fo4(4—t)dt=fo4f(4—x)dx.由此即得Jo4f(4—x)dx=fo4f(x)dx=0,于是

fo4[f(x)+f(4—x)]dx=0.利用f(x)+f(4—x)在[0,4]连续，由连续函数的积分中值定

理即知存在年(0,4)使得优)+f(4—&)=4fo4[f(x)+f(4—x)]dx=0.

知识点解析：暂无解析

20、设4阶矩阵A=(ai，az，ct3，04),方程组Ax邛的通解为(1.2,2,1)

T+C(1,—2,4,0)T,C任意.记B=(C13，。2，叼，P—04).求方程组

Bx=aj一a2的通解.

标准答案：首先从AX邛的通解为(1,2,2,l)T+c(1,—2,4,0)丁可得到下

列讯息：①Ax=0的基础解系包含1个解,即4一r(A)=l,得r(A)=3.即r(ai，

a2，a3，04)=3.@(1»2,2,1)TAx=p,即ai+2a2+2a3+a4=P-③(I，

—2,4,0)丁是Ax=0解，即cq—2a2+4a3=0.a”a2，013线性相关，r(a”az，

as)=2.显然B(0,—1,1,0)T=ai一(X2，即(0,—1，1,0)1是Bx=ai—«2

的一个解.由②，B=((X3,口2，aj,P一(U)=(。3，。2，。1，ai+2a2+2a3)，于

是r(B)=r(a3>g,ai,a।+2a2+2a3)=r(a।,g,[3)=2.则Bx=0的基础解系包

含解的个数为4—r(B)=2个，囚一2a2+4a3=0说明(4,—2,1,0)1是Bx=0的

解；又从B=((13,。2，ai，ai+2a2+2a3)容易得到B(—2,—2,—I,1)T=0,

说明(一2,—2,—1,1)T也是Bx=0的解，于是(4,—2,1,0)丁和(—2,

-2,—1,1)丁构成BK=0的基础解系.Bx=ai—ct2的通解为：(0，—1，1，0)

，+c।(4,—2,1,0)(—2,—2,—1>1),，citC2任意.

知识点解析：暂无解析

21、设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r(A+E)=kVn.①求二次型

XTAX的规范形.②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|.

标准答案：①由于A2二E,A的特征值入应满足#=1,即只能是1和—1.于是

A+E的特征值只能是2和0.A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵A,A的秩

等于r(A+E尸k.于是A+E的特征值是2(后重)和0(n—k重)，从而A的特征

值是1(k重)和—1(n—k重).A的正，负关系惯性指数分别为k和n—k,

XTAX的规范形为y12+y22+...+yk2yk+12-y，，@B是实对称矩阵，由

A2=E,有B=3E+2A,B的特征值为5(k重)和1(n—k重)都是正数.因此B

是正定矩阵•・,.旧|=5上I11—k二5±

知识点解析：暂无解析

22、设甲袋中有2个白球，乙袋中有2个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放

入另一袋，这样交换3次，求甲袋中白球数X的数学期望.

标准答案：设Ai=(第二次交换后甲袋有i个白球},i=0,1,2.由于经过第一次交

换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故

P(40)=1，P(A.)=4，P(A2)=~

412'4又设{X=k}表示三次交换后甲袋中的

白球数，k=0,1,2.WP(X=O|Ao}=O,P{X=0|AI}=4,p(X=0|A2}=0,P{X

2±

=l|Ao}=bP{X=1|AI}=2,P{X=l|A2)=hP{X=2|A0)=0,P{X=2|AI}=4,p{x

111

=2|A2)=0,所以P{X=O}=P{X=0|AI}P(AI)=428P(x

=l}=P{X=l|Ao)P(Ao)—P{X=1|AI}P(AI)+P{X=1|A2}P(A2)

.111i13111

422