第7课时 功能关系 能量守恒

第7课时功能关系能量可恒

考点一机械能守恒定律的应用

［知能必备］

1.判断机械能是否守恒的两个角度

(1)从功的角度：若只有物体重力和弹簧弹力做功，则物体和弹簧组成的系统机械能守

恒.

(2)从能的角度：若系统内部只有动能和势能的相互转化，没有其他形式的能(如内能)

与机械能相互转化，且系统与外部也没有能量的转移或转化，则系统机械能守恒.

2.机械能守恒定律的三种表达形式

」守恒

三要选择零

［观点

种势能面

表不用选择

达转化

零势能面

形观点

式

转移不用选择

观点零势能面

【典例剖析］

角度1单物体机械能守恒问题

典例□如图所示，位于竖直面内的光滑轨道A8,与半径为R的光滑I员I形轨道底部相

通，圆形轨道上部有一缺口。£Q点为圆形最高点，/COO=NQOE=30。，质量为加可

视为质点的小球自光滑轨道A8上某点由静止下滑，由底部进入圆形轨道，通过不断调整释

放位置，直到小球从。点飞出后能无碰撞的从E点进入左侧轨道，重力加速度为,下列说

法正确的是()

A.小球通过最高点的速度大小为府

B.小球通过C点时速度大小为也正

C.小球从C点运动到最高点的时间为

D.释放点距地面的高度为此髀A

解析：D小球从C点做斜上抛运动，设速度为。c，速度方向与水平方向夹角为30。，

则Pecos30°-t=EC=R；resin30。=0.5/，解得vc=件，到达最高点的速度为

wos300=、/挈，选项A、B错误；小球从C点运动到最高点的时间为仁多=:淅J。。

臂,选项C错误；从释放点到。由机械能守恒定律得:〃功力成•+"［《/?（14-cos30°）,

=黄，选项c错误；从释放公

解得〃=红土髀凡选项D正确.

角度2多物体系统机械能守恒问题

典例

定滑轮，。点为其圆心，人4为半圆上两点，OA处于水平方向，（阳与竖直方向夹角为45。.

一轻绳两端连接大小可不计的两个小球甲、乙，初始时甲、乙分别静止在B、。两点，绳子

处于拉直状态.已知甲球的质量〃?i=2kg,乙球的质量⑶2=1kg,半圆轨道的半径r=1m,

当地重力加速度为g=10m/s2,忽略一切摩擦.解除约束后，两球开始运动的过程中，下

列说法正确的是（）

A.甲球沿着球面运动过程中，甲、乙两球系统的机械能减少

B.甲球沿着球面运动过程中，甲球机械能增加

C.甲球一定能沿圆弧面下滑经过A点

D.甲球一定在到达A点之前离开圆弧面

解析：D甲球沿着球面运动过程中，忽略一切摩擦，对于甲、乙两球组成的系统，只

有重力做功，系统的机械能守恒，故A错误；甲球沿着球面运动过程中，绳子拉力对甲球

做负功，则甲球机械能减小，故B错误；若甲球沿着现面运动过程中，经过某点时对轨道

的压力为零，设此时该点与。点的连线与水平方向的夹角为仇从8点到该点过程，根据

系统的机械能守恒有/??igirsin45。-rsin。）一旗gg一夕）=挤?1+m2）。2,其中0W。司，在

该点，根据牛顿第二定律则有叫gsind=f,联立解得7sin®=2吸一，+2仇令y=7sin。

和y=2g一］+2仇分别作出广夕图像，可知两图线有交点，所以通过分析可知。有解，但

。不为零，所以甲球经过该点时做离心运动，所以甲球一定不能沿圆瓠面下滑经过A点，C

错误，D正确.

I规律总结I

应用机械能守恒定律解题的基本思路

①单个物体

⑴选取研|=〉②多个物体组成的系统

究对象

③含弹簧的系统

分析研究对象在运动过程中的受力

⑵进行受

u＞情况，明确各力的做功情况，判断

力分析

机械能是否守恒

0

⑶选取零（-N确定研究对象在初、末状态的机械能

势能面〜1----------------------------------

X।________

⑷列方程|［=＞（|根据机械能守恒定律列出方程

解方程求出结果，并对结果进行必

（5）解方程|匚》

要的讨论和说明

［题组精练］

1.（2021•“八省联考”重庆市学业水平选择考适应性测试）一质量为m的物块仅在重

力作用下运动，物块位于门和，2时的重力势能分别为3瓦和瓦（£（）＞0）.若物块位于门时速

解析：A物体仅在重力作用下运动，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知

Ei=E?,代入已知条件为3瓦+0=及+品*解得9处的速度为0=2

2.（多选）如图所示，质量为m的小环套在固定的光滑竖直杆上，一足够।

长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M-----7

的物块相连，已知M=2m.与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为3m,/'

定滑轮大小及质量可忽略.现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点/

速度为0.重力加速度取g=10m/s2.下列说法正确的是（）CTM

A.A、。间距离为4m

B.小环最终静止在C点

C.小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能

D.当小环下滑至绳与杆的夹角为60。时，小环与物块的动能之比为2：1

解析：AD由题意可知小环与物块组成的系统机械能守恒，设A点与定滑轮之间的距

离为s,由系统机械能守恒得：，MAC=Mg"V+送一s）,结合M=2〃?，s=3n］，解得心c

LAC4

=4m,故A正确；在C点，设绳子与竖直方向的夹角为a,则cosa=5,绳的

拉力T=2mgy因Teos所以小环不能静止，故B错误；由机械能守恒定律

可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C

错误；将小环的速度沿绳和垂直于绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度，即为小

=%cos60。，由动能表达式可知，小环与物块的动能之比为2：1,故D正确.

3.(2021•湖北随州市3月调研)(多选)如图所示,质量分别为2〃?、机的小滑块A、B,

其中人套在固定的竖直杆上，B静置于水平地面上，4、8间通过较链用长为L的刚性轻杆

连接.一轻弹簧左端与8相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平.当a=30。时，弹簧处于

原长状态，此时将A由静止释放，下降到最低点时a变为45。，整个运动过程中，A、8始

终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，不计空气阻力，重力加速度为

g.则A下降过程中()

A.八、8组成的系统机械能守恒

B.弹簧弹性势能的最大值为(小一6)〃磔

C.竖直杆对A的弹力一定大于弹簧弹力

D.4的速度达到最大值前，地面对3的支持力小于3〃?g

解析：BDA、8和弹簧组成的系统机械能守恒，人、3组成的系统机械能不守恒，故

A错误；根据系统机械能守恒可得：Ep=2〃?gL(cos30。-cos45°),即弹性势能的最大值为

Ep=小一位MM，故B正确；对8：水平方向的合力心=尸忏sina-F»=ma,滑块8先

做加速运动后做减速运动，又竖直杆对A的弹力等于尸叶sina,所以竖直杆对A的弹力并

非始终大于弹簧的弹力，故C错误；A下降过程中动能达到最大前，A加速下降，对A、B

整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3Mg一尸N=2〃0,则有广NV3〃明故D正确.

考点二功能关系的理解和应用

［知能必备］

1.常见的功能关系

(1)合外力做功与动能的关系：卬合=△耳.

(2)重力做功与重力势能的关系：WG=~^EP.

(3)弹力做功与弹性势能的关系：卬舛=一小品.

(4)除重力以外其他力做功与机械能的关系：W峥=八£机.

(5)滑动摩擦力做功与内能的关系：尸四相对=△£内.

(6)电场力做功与电势能的关系：卬电=一△品电.

(7)克服安培力做功与电能的关系：卬克=4七电.

2.功能关系的应用“三注意”

(1)分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系，

确定能量之间的转化情况.

(2)当涉及滑动摩擦力做功时，机械能不守恒，一般应用能量守恒定律求解，特别注意

摩擦产生的内能/相时为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度.

(3)解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变

化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和AEN和增加的

能量总和AE私最后由用列式求解.

［典例剖析］

典例

始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线I、II所示，重力加速度

取10m/s2.则()

30

24

12345a/m

A.物块下滑过程中机械能不守恒

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5

C.物块下滑时加速度的大小为6.0m/s?

D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J

解析：AB下滑5m的过程中，重力势能减少30J,动能增加10J,减小的重力势能

并不等于增加的动能，所以机械能不守恒，A正确；斜面高3m、长5m,则斜面倾角为9

=37°.令斜面底端为零势而，则物块在斜面顶端时的重力势能〃3?=30J,可得质量加=1kg,

下滑5m过程中，由功能关系，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功卬监・cos〃・s=20

J,求得〃=0.5,B正确；由牛顿第二定律〃吆sinJ—’migcos0=ma,求得a=2m/s2,C

错误；物块下滑2.0m时，重力势能减少12J,动能增加4J,所以机械能损失了8J,D

选项错误.

I规律方法I

功能关系的选取方法

(1)若只涉及动能的变化用动能定理.

(2)只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析.

(3)只涉及机械能变化，用除重力和弹簧的弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析.

［题组精练］

1.（2021•东北三省四市教研联合体高三一模）（多选）第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎

客了，近400m长的极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的王牌娱乐项目.一名游客坐在雪橇

上下滑了一段路程，重力对他做功3000J,他克服阻力做功500J,则在此过程中这名游客

（）

A.重力势能增加了3000JB.动能增加了3000J

C.动能增加了2500JD.机械能减少了500J

解析：CD重力做正功，所以游客的重力势能减少了3000J,A错误；合力做功等于

动能的增加，所以动能增加了3000J-500J=2500J,B错误，C正确；非重力做功等于

机械能的变化，阻力做负功，所以机械能减少了500J,D正确.

2.（2021•江苏省无锡市二模）（多选）如图所示，楔形木块abc固

定在水平面上，粗糙斜面"和光滑斜面〃c与水平面的夹角相同，顶

角b处安装一定滑轮.质量分别为M、〃?（">〃?）的滑块、通过不可伸

长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动.若

不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（）

A.两滑块组成的系统机械能守恒

B.重力对M做的功等于M动能的增加

C.轻绳对〃?做的功等于m机械能的增加

D.两滑块组成的系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功

解析：CD两滑块释放后，M下滑、加上滑，摩擦力对M做负功，系统的机械能减少,

减少的机械能等于M克服摩擦力做的功，选项A错误，D正确.除重力对滑块M做正功外,

还有摩擦力和绳的拉力对滑块M做负功，选项B错误.绳的拉力对滑块机做正功，滑块制

机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C正确.

3.（多选）-足够长的传送带与水平面的夹角为仇以一定的速度匀速运动.某时刻在传

送带适当的位置放上具有一定初速度的物块（如图甲所示），以此时为/=（）时刻记录了物块之

后在传送带上运动的速度随时间的变化关系，如图乙所示（图中取沿斜面向上的运动方向为

正方向，其中两坐标大小功>02）.已知传送带的速度保持不变，则下列判断正确的是（）

A.若物块与传送带间的动摩擦因数为〃，则〃xan。

B.0〜h时间内，传送带对物块做正功

C.0〜h时间内,系统产牛的热量一定比物块动能的减少量大

D.0〜及时间内，传送带对物块做的功等于物块动能的减少量

解析：AC在外〜攵时间内，物块向上运动，贝U有〃，“geos9>mgsin8、得">tanB,

故A正确；由题意知，物块先向下运动后向上运动，见知传送带的运动方向应向上，0〜h

时间内，物块所受摩擦力沿斜面向上，则传送带对物块做负功，故B错误；0〜自时间内，

物块的重力势能减小，动能也减小，都转化为系统产生的内能，则由能量守恒定律知，系统

产生的热量一定大于物块动能的减少量，故C正确；。〜及时间内，传送带对物块做的功等

于物块机械能的变化量，故D错误.

考点三动力学及功能关系的综合应用

［知能必备］

做好两个分析

(1)综合受力分析、运动过程分析，由牛顿运动定律做好动力学分析.

(2)分析各力做功情况，做好能量的转化与守恒的分析，由此把握运动各阶段的运动性

质，各连接点、临界点的力学特征、运动特征和能最特征.

［典例剖析］

典例□(2021•福建省南平市高三下学期第二次质检)如图所示，传送带以。=10m/s

的速度逆时针转动，一个质景"?=lkg的物体从传送带顶端以Vo=5m/s的速度沿传送带

滑入，若传送带与水平方向成8=30。，物体与传送带间的动摩擦因数〃=坐，传送带底端

到顶端长L=10m,g取10m/s2,最大静摩擦力与滑动摩擦力相等.求:

(1)物体从传送带底端滑出时的速度大小；

(2)若在物体滑入传送带运动了0.5s时，传送带突然停止，物体在传送带上滑动过程

中，因与传送带间的摩擦而产生的热量.

解析：(1)当物体放到传送带时，设物体向下运动的加速度为四，物体向下加速到u时,

所用时间为小物体运动金移为根据运动学公式

W〃gcos〃+〃?gsin0=ma\

v=VQ-\~a\t\

S\="2-0

解得=0.5s

5I=3.75m

由于sivL,由于最大静摩擦力启=〃〃?gcos30°=0.5rng

且沿斜面向上，物体将与传送带一起做匀速运动，即离开传送带的速度为10m/s.

（2）0.5s内物体相对传送带运动位移

si=1.25m

0.5s后传送带停止，物体受到沿斜面向上的滑动摩擦力

，尸"〃?gcos30°=0.5mg

物体匀速下滑，物体相对传送带运动位移

As2=L-$1=6.25m

则摩擦力产生热量Asi+A52）COS0

解得0=37.5J.

答案：（1）10m/s（2）37.5J

［题组精练］

1.（2021•浙江省宁波市二模）（多选）如图甲所示，小物块静止在倾角6=37。的粗糙斜面

上.现对物块施加一个沿斜面向下的推力E力F的大小随时间/的变化情况如图乙所示，

物块的速率。随时间，的变化规律如图丙所示，sin37。=0.6,cos370=0.8,重力加速度g

取10m/s2.下列说法正确的是（）

A.物块的质量为1kg

B.物块弓斜面间的动摩擦因数为0.7

C.0-3s时间内力厂做功的平均功率为0.32W

D.0〜3s时间内物块克服摩擦力做的功为5.12J

解析：AD由速度图像知在1〜3s时间内，物块做匀加速直线运动，则0.8N+mgsin

2

9—Rngcos9=ma,1°m/s=0.4m/s2.在3〜4s时间内，物块匀速运动，受力平

衡，则〃〃?gcos0—〃?,gsin0=0.4N,解得机=1kg,"=0.8,选项A正确,B错误;0〜Is

时间内，物块静止，力厂不做功，1〜3s时间内，力尸=0.8N,物块的位移x=：X0.4X

22m=0.8m,。〜3s内力尸做功的平均功率为卓="普3W=0.213W,选项C错误；

•3°

0—3s时间内物块克服摩擦力做的功为〃〃?gcos0-x=5.12J,选项D正确.

2.（2020•山东卷）（多选）如图所示，质量为M的物块4放置在光滑水平桌面上，右侧

连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相

连.现将质量为m的钩码8挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将8由静止释放，当8下

降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为零.轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限

度内，物块A始终处于静止状态.以下判断正确的是（）

A.M<2m

B.2m<M<3m

C.在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功

D.在B从释放位置运动到速度最大的过程中，A克服弹簧弹力做的功等于B机械能的

减少量

解析：ACD由题意可知，4物体可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，故在最低

点时有弹簧弹力T=2mg；对A分析，设绳子与桌面间夹角为仇则依题意有2〃2gsin9=Mg,

故有Mv2〃?，故A正确，B错误；由题意可知8从释於位置到最低点过程中，开始弹簧弹

力小于重力，物体加速，合力做正功；后来弹簧弹力大亍重力，物体减速，合力做负功，故

C正确；对于从在从释放到速度最大过程中，B机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功,

即等于8克服弹簧弹力所做的功，故D正确.

3.（2021•四省名校高三第二次联考）如图所示，在竖直平面内有--粗糙斜面轨道48与

光滑圆弧轨道BC在B点平滑连接（滑块经过B点时速度大小不变），斜面轨道长L=2.5m,

斜面倾角。=37。，O点是圆弧轨道圆心，OB竖直，圆弧轨道半径R=Im,圆心角。=37。,

C点距水平地面的高度/，=（）.512m,整个轨道是固定的.一质量阳=1kg的滑块在4点由

静止释放，最终落到水平地面上.滑块可视为质点，滑块与斜面轨道之间的动摩擦因数〃=

0.25»g取10m/s2»sin37°=0.6>cos37°=0.8,不计空气阻力,求：

（1）滑块经过圆弧轨道最低点8时，对圆弧轨道的压力大小:

⑵滑块离开C点后在空中运动的时间八

解析：（1）对滑块从A到B的过程，由动能定理得

m^Lsin370—////^Zxos370=%成

解得。8=2小m/s

滑块经过圆弧轨道的8点时，由牛顿第二定律得

尸mvi

F~,ns=~ir

由牛顿第三定律知，滑块经过B点时对圆瓠轨道的压力大小F=F

解得k=30N.

(2)对滑块从8到C的过程，由动能定理得

—1—cos37°)=g/加至一多〃虎

解得。c=4ni/s

滑块离开C点后在竖直方向上做竖直上抛运动，以竖直向下为正方向，则有/?=-"csin

37。/+切

解得1=0.64s.

答案：(1)30N(2)0.64s

限时规范训练(七)功能关系能量守恒

建议用时60分钟，实际用时_______

一、单项选择题

1.2020年1()月2日，全国蹦床锦标赛男子蹦床团体决赛在天津团泊体

育中心举行，最终山西队夺得男子团体冠军.如图所示为某运动员比赛中的

一个场景，不计空气阻力,下列说法正确的是()

A.运动员从最低点运动到离开蹦床过程中，蹦床对运动员没有做功

B.运动员离开蹦床上升过程中，运动员的机械能与上升高度有关

C.运动员从接触蹦庆至运动到最低点的过程中，运动员的机械能守恒

D.运动员从接触蹦床至运动到最低点的过程中，运动员的机械能一直在减小

解析：D运动员从最低点运动到离开蹦床过程中，蹦床对运动员做正功，A错误；运

动员离开蹦床上升过程中，运动员的机械能与上升高度无关，只是机械能越大，上升高度越

大，B错误；运动员与蹦末系统机械能守恒，运动员从接触蹦床至运动到最低点的过程中，

运动员的机械能减小，因为蹦床的弹性势能增大，C错误，D正确.

2.我国羽毛球运动员林丹是羽毛球史上第一位集奥运会、IU：

锦赛、世界杯、苏迪曼杯、汤姆斯杯、亚运会、亚锦赛、全英赛、

全运会及多座世界羽联超级系列赛冠军于一身的双圈全满贯选

手，被誉为中国羽毛球一哥.如图所示是林丹在某次羽毛球比赛

中跃起击球的动作，击球过程中由静止竖直向上跳起.假设林丹

与球拍重心上升的高度为人在最高点将羽毛球以原来的速度大小

加斜向上击回，已知林丹与球拍总质量为M，羽毛球质量为"?，

重力加速度为取不计空气阻力.则下列说法正确的是（）

A.林丹在整个起跳过程中机械能守恒

B.林丹在起跳过程口地面对他的支持力做功为M砂

C.林丹在起跳过程口林丹与球拍重力势能的增加量为Mgh

D.林丹击球过程中球拍对羽毛球做的功为〃就

解析：C林丹起跳过程，由其他形式的能量转化为机械能，故机械能不守恒，故A错

误；地面对林丹的支持力不做功，故B错误；由于林丹中心上升的高度为〃，故其重力势能

增量为Mg/?,故C正确；羽毛球被击中的过程中，其速度大小不变，故林丹对羽毛球做功

为0,故D错误.

3.如图所示，。曲是竖直面内的光滑固定轨道，面水平，长度为2R；仪:是半径为R

的四分之一圆弧，与必相切于〃点.一质量为，〃的小球，始终受到与重力大小相等的水平

外力的作用，自。点处从静止开始向右运动.重力加速度大小为&小球从。点开始运动到

其轨迹最高点，机械能的增最为（）

R

A.2mgRB.4nigR

C.5mgRD.6〃?gR

解析：C小球从。运动到c,根据动能定理，得尸・3R—况，又F=mg,故

。=2痫，小球离开c点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直

线运动，且水平方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g,故小球从。点到最高点所用的

时间£=放=2、^，水平位移工=/户=2/?,根据功能关系，小球从。点到轨迹最高点机械

能的增量为力/做的功，即△E=f'-（2R+R+x）=5〃?gR.

4.如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为加=2kg的另一物体8（可看

成质点）以水平速度加=2m/s滑上原来静止的长木板A的上表面.由于A、8间存在摩擦,

之后4、8速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（）

A.木板获得的动能为2J

B.系统损失的机械能为4J

C.木板A的最小长度为2m

D.八、。间的动摩擦因数为0.1

解析：D由图像可知，A、8的加速度大小都为1m/s2,根据牛顿第二定律知二者质

量相等，木板获得的动能为1J,选项A错误；系统损失的机械能△£=%画一3•2加•

=2J,选项B错误；由b/图像可求出二者相对位移为1m,即木板A的最小长度为1m,

选项C错误；分析8的受力，根据牛顿第二定律，可求出4=（）.1,选项D正确.

5.将一小球从高处水平抛出，最初2s内小球动能反随时间t

变化的图像如图所示，不计空气阻力，g取10m/s?.根据图像信息，

不能确定的物理量是（）

A.小球的质量

B.小球的初速度

C.最初2s内重力对小球做功的平均功率

D.小球抛出时的高度

解析：D由机械能守恒定律可得Ek=Eko+，ngh,又仁家，所以反=氏）十%屋尸.

当t=0时，仄0=品以=5K当，=2s时，氏=氏）+2用铲=30J,联立方程解得阳=0.125

l一vVc

kg,伙）=4巾m/s.当f=2s时，由动能定理得l%；=A£k=25J,故P=量=12.50.根

据图像信息，无法确定小球抛出时离地面的高度.综上所述，应选D.

6.一物块从倾角乡=37。、高为〃=3m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势

能和机械能随下滑高度h的变化关系如图中图线I、II所示，重力加速度取10m/s2,sin37。

=0.6,cos37。=0.8,以斜面底端所在平面为零势能参考平面，则（）

A.物块的质量为/〃=1（）kg

B.物块下滑过程中所受阻力大小为5N

C.物块由斜面顶端滑到底端的过程中，合外力做的功为15J

D.物块重力势能和动能相等时，对应物块下滑的高度为1.25m

解析：C重力势能环=〃吆九以斜面底端所在平面为零势能面，则图线I的斜率的绝

对值等于mg,即，〃g=10N,解得物块的质量〃?=1kg,故A错误；根据功能关系可知1%

=A£表.=a，解得R=3N,故B错误；由图像可知，物块滑到斜面底端时的动

0111

能为15J,根据动能定理可知，物块由斜面顶端滑到斜面底端的过程中，合外力做的功为

15J,故C正确；以斜面底端所在平面为零势能参考平面，设当物块重力势能和动能相等

时物块所处高度为/?i,有mgh।=^mv2,由动能定理得?惠=%小，联立解

得〃i=lm,所以物块下滑高度为2m,故D错误.

7.（2021•山东烟台市三模）如图所示，有两个物块A和B,质量分别为〃?和2〃?，用同

一根轻质细线将两个物块连接在滑轮组上，滑轮质量不计，不计一切摩擦及空气阻力，重力

加速度为g，现将两物块由静止释放，经过一段时间，力的位移为力，在此过程中，下列说

法正确的是（）

A.物块A和8总势能保持不变

B.A的位移为力时，8的速度为

C.细线的拉力大小为就g

D.A和B重力的功率大小之比为1：3

解析：C根据机械能守恒定律可知，B减小的重力势能全部转化为4的重力势能和两

物体的动能，所以，A和8的重力势能之和减小，故A错误；设A上升到〃位置时的速度

为功，8的速度为。2,根据动滑轮的特点可知。2=2S,根据4和8组成的系统机械能守恒

可得2〃/g•2//—〃华〃=；〃源+品2,〃困联立解得s=故B错误；根据动滑轮的特

点可知，4的加速度为8的加速度的一半，根据牛顿第二定律可得，对A有27一〃吆=〃孙，

9

对8有2〃?g—T=2ms,又有做=20.联立解得，轻绳的拉力大小7=彳〃g,故C正确；重

力功率P=〃?go,由于6=20，〃IB=2〃IA,故A和8重力的功率大小之比为1：4,故D错

误.

8.如图所示，固定斜面倾角为"轻质弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧的上端连接

一个可视为质点的、质量为m的物块，O点是弹簧处于原长状态时上端的位置，物块静止

时位于A点，斜面上另外有8、C、。三点，AO=OB=BC=CD=l,其中B点下方斜面光

滑，段粗糙，物块与斜面段间的动摩擦因数为4=tan仇重力加速度为a物块静止

在A点时弹簧的弹性势能为E，川外力将物块拉到。点由静止释放，物块沿斜面向下运动

第一次经过O点时的速度大小为。，己知弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（）

D

c

B

0

A.物块从。点向下运动到A点的过程中，最大加速度大小为2gsin0

B.物块最后停在8点

_2

C.物块在。点时的弹性势能为等+，〃g/sine

2

D.物块运动的全过程中因摩擦产生的热量为等+〃%/sin3-E

解析：D物块静止在A点时，由平衡条件有〃?gsin9=0,物块从。点向下运动到A

点的过程中，在8。段物决受到的滑动摩擦力大小为f=^imgcos0=tan0mgeos0=mgsin0,

所以物块在该段的合力等于弹簧的弹力，则物块在。点的合力最大，加速度最大，设为〃加

根据牛顿第二定律得h3/=〃?〃，解得%=3gsin仇故A错误；物块在8力段上运动时，

要克服摩擦力做功，系统的机械能不断减少，最终物块在B点以下做简谐运动，不会停止.故

B错误；设物块在。点时的弹性势能为《，从。到O,由能量守恒定律得Ep+/〃g/sin9=3

mv2,解得Ep=，必2—〃?gkin仇故C错误；最终物块以8上端点做简谐运动，对全过程，

运用能量守恒定律得师+2/咫/sin9=Q+EB,由于AO=OB,所以物块位于B点与A点时

弹簧的弹性势能相等，则&=E,联立解得摩擦产生的热量为Q=%〃/+〃3sin。一£故D

正确.

二、多项选择题

9.（2021•广东卷）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡销的山头，居高临下向

敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为〃？的手榴弹，手榴

弹从投出的位置到落地点的高度差为儿在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重

力加速度为g,下列说法正确的有（）

A.甲在空中的运动时间比乙的长

B.两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等

C.从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少〃，9

D.从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为〃?以

解析：BC甲、乙西颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它

2

们的运动时间相等，A错矣.落地前瞬间，PG=mSVy=mgt,由于运动时间相等，故重力的

瞬时功率相等，B正确.从投出到落地，重力做功为〃吆人故重力势能减少〃吆心C正确.从

投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误.

10.（2021•山东省实验中学高三下学期三诊）如图所示，足够长粗糙斜面倾角为仇固

定在水平面上，物块〃通过平行于斜面的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块h相连，b的质量为

/〃.开始时，a、力均静止且〃刚好不受斜面摩擦力作用.现对〃施加竖直向下的恒力R使

。、〃做加速运动.则在〃下降力高度过程中（）

A.〃的加速度小于A

B.。的重力势能增加mg力sin6

C.绳的拉力对。做的功等于。机械能的增加

D.尸对方做的功与摩擦力对。做的功之和等于。、〃动能的增加

解析：AD。的加速度与B的加速度相等，以整体为对象根据牛顿第二定律”+mg—

"Lgsin8—/=（〃?+"?“）〃，由于刚开始系统处于平衡状态，/咫=m“gsin仇所以a='〈上,

Hi~ililci

选项A正确；开始时，有，儿gsin0=ing,则加“=非方，》下降力，则。上升入sin仇则a

重力势能的增加量为，几期sin0=mgh,选项B错误；对a分析，绳子拉力做的功转化为a

的机械能和〃摩擦生热，所以绳子做的功大于。机械能的增加量，选项C错误；对系统，

合外力做的功等于动能的增加，即尸对。做的功与摩擦力对。做的功与重力对a和。做的

功之和，而重力对沙做正功，对。做负功，且绝对值相等，故重力对系统做功之和为0,则

产对方做的功与摩擦力对。做的功之和等于〃、动能增加，选项D正确.

11.（2021•山东省泰安市高三下学期二模）如图所示，光滑斜面倾角9=60。，其底端与

竖直平面内半径为R的光滑圆弧轨道平滑对接，位置D为圆弧轨道的最低点，质量均为m

的小球A和小环伙均可视为质点）用L=1.5R的轻杆通过轻质钱链相连，8套在竖直固定的

光滑长杆上，长杆和圆轨道在同一竖直平面内，长杆过轨道圆心.初始时小球A在斜面上，

轻杆与斜面垂直，由静止释放小球，重力加速度为g,则（）

A.刚释放时小球的加速度大小为坐？

B.刚释放时小球的加速度大干冬

C.小球运动的最大速度为43.5gR

D.小球运动的最大速度为如薪

解析：AC刚释放小球时，由牛顿第二定律得〃igsin60。=〃?功，解得m=乎?，故A

正确，B错误；设小球A初始位置距水平面高度为小，由几何关系可得心山60。+（加一夕?）

tan300=1.5/?sin600,解得〃小环3初始位置距水邛面高度设为应，由几何关系可

得/?2=加+L5Rcos60。=2凡当4球滑至圆瓠轨道的最低点时，速度达到最大，由系统的

机械能守恒可得mgA以+/〃gA欣+热就，式中VB=0,A心=*A/zB=0.5凡解

得办=、3.5gR故C正确,D错误.

12.如图，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置.质量均为〃？的两金属环套在细

杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长/（）.两金属环同时由静

止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内.对其中一个金属环，下列说法正确的是［弹

A.金属环的最大加速度为陋g

B.金属环的最大速度为g

C.金属环与细杆之间的最大压力为孚摩

D.金属环达到最大速度时重力的功率为〃?g2y发

解析：BC刚释放时，弹簧处于原长，弹力为0,所以金属环的最大加速度为am=gsin

45。=乎g,故A错误；在平衡位置弹簧的伸长量为加，跟据平衡条件有，沿杆方向有/ngsin

45°=AAICOS450,由机械能守恒定律得2〃4(普)&解得，金属环的最大速度为

金属环达到最大速度时重力的功率为P=/""oCOS45。=号手，故B正确，

D错误：当金属环下落到最低点，金属环速度为0,金属环与细杆之间的压力最大.设此时

弹簧的形变量为右，由机械能守恒定律得2〃?g(2=/昆，对金属环进行受力分析，垂直于

杆方向有FN=//^COS45°+^V2sin45°,综合上述可以解得，金属环与细杆之间的最大压力

为FN=^2^/H^,故C正确.

三、非选择题

13.如图所示，水平传送带足够长，向右前进的速度v=4m/s,与倾角为37。的斜面

的底端P平滑连接，将一质量m=2kg的小物块从A点静止释放.已知A.P的距离L=Sm,

物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为川=0.25、42=0.20,取重力加速度g=1()m/s2,

sin37。=0.6,cos37O=0.8.求物块

(1)第I次滑过。点时的速度大小s；

(2)第I次在传送带上往返运动的时间r；

(3)从释放到最终停止运动，与斜面间摩擦产生的热量Q.

解析：(1)由动能定理得

(mgsin37。一〃〃〃gcos37。此=产讲-0

解得vi=8m/s.

(2)由牛顿第二定律得"2〃?g=ma

物块与传送带共速时，由速度公式得一。=6—〃力

解得/=6s

匀速运动阶段的时间为"=3s

第1次在传送带上往返运动的时间，=h+/2=9s

(3)由分析可知，物块第一次离开传送带以后，每次再到达传送带和离开传送带的速度

大小相等，则根据能量守恒有。="，〃gcos37。乙+/加2=48J.

答案：(1)8m/s(2)9s(3)48J

14.(2021•全国甲卷!如图，一倾角为。的光滑斜面上有5()个减速带(图中未完全画出),

相邻减速带间的距离均为"，减速带的宽度远小于出一质量为，〃的无动力小车(可视为质

点)从距第一个减速带L处由静止释放.已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时

的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同.小

车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离$后停下.已

知小车与地面间的动摩擦因数为4，重力加速度大小为g.

(无动力必、车

(1)求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；

(2)求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

(3)若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的

机械能，则L应满足什么条件？

解析：(1)设小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能为AE,由

小车通过第30个敏速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，可知小车通过每一个减速

带时重力势能的减少量等于经过减速带损失的机械能，即AE=〃琢dsin0®

(2)设小车通过前30人减速