专题06全等三角形模型之角平分线模型（全等）（几何模型讲义）数学华东师大版八年级上册

初中数学八年级上册：全等三角形中的角平分线模型深度探究教案

  在初中平面几何的体系中，全等三角形是贯穿始终的核心脉络，它不仅是证明线段相等、角相等的重要工具，更是构建复杂几何关系的基石。而角平分线，作为三角形中一种兼具特殊性与对称性的重要线段，当其与全等三角形的判定与性质相遇时，便催生出一系列结构稳定、应用广泛、思维深刻的几何模型。这些模型绝非孤立的解题技巧，而是蕴含了对称变换、化归思想等数学本质的认知图式。掌握这些模型，意味着学生能够从纷繁复杂的几何图形中识别出关键结构，通过添加恰当的辅助线，将未知转化为已知，将分散的条件汇聚于一对全等三角形之中，从而实现问题的巧妙解决。本教案旨在超越对单一模型与套路的浅层记忆，引导学生深入理解角平分线的几何本质，系统构建以“角平分线”为枢纽的全等三角形模型体系，并通过层进式的探究与变式，发展学生的几何直观、逻辑推理和模型应用能力，达成对全等三角形知识的深度理解与高阶迁移。

一、教学目标

（一）知识与技能

1.深刻理解并掌握角平分线的两个核心性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。并能准确区分定理的条件与结论，明确其作用。

2.系统掌握与角平分线相关的四大基本全等三角形构造模型：（1）角平分线结合垂直构造全等（即“角平分线+垂直→等腰”模型，常需延长线段）；（2）角平分线结合平行线构造等腰三角形（间接为全等创造条件）；（3）在角的两边上截取相等线段构造全等（SAS模型）；（4）过角平分线上一点向两边作垂线构造全等（HL或AAS模型，即“距离相等”的直接应用）。能准确识别图形特征，并规范书写证明过程。

3.能够灵活运用上述模型，解决涉及线段和差倍分、角度关系、位置关系（垂直、平行）以及周长、面积等综合性几何证明与计算问题。

（二）过程与方法

4.经历从具体问题中抽象出几何模型的过程，学会通过观察、实验（尺规作图）、比较、归纳来发现图形内在规律，提升几何直观和模型观念。

5.在模型的应用与变式中，体验“添加辅助线”的思维过程，掌握“对称构造”、“截长补短”、“化归转化”等核心数学思想方法。

6.通过小组合作探究与辨析，发展分析图形结构、探索解题思路、多解优化及批判性反思的能力。

（三）情感态度与价值观

7.在探究角平分线模型对称之美的过程中，感受几何图形的和谐与统一，激发对数学学科的内在兴趣。

8.在克服复杂辅助线构造的挑战中，培养勇于探索、严谨求实、坚持不懈的科学精神。

9.体会数学模型作为解决问题通用工具的强大力量，树立运用数学思想方法认识世界的意识。

二、教学重难点

（一）教学重点

1.角平分线性质定理的理解与直接应用。

2.四大角平分线全等三角形构造模型的识别、辅助线作法及证明逻辑。

（二）教学难点

3.在复杂或残缺的图形中，敏锐识别潜在的角平分线模型结构，并正确选择与构造恰当的辅助线。

4.理解不同模型之间的内在联系与区别，并能根据具体问题条件与结论，灵活选择和综合运用多个模型。

5.“截长补短”等间接构造全等三角形方法的思路生成与原理理解。

三、教学准备

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含动态几何软件（如GeoGebra）制作的角平分线模型演变动画、典型例题的图形分步展示、学生探究活动导引。

2.教学设计案与详实的讲评预案。

3.课堂练习与分层作业设计。

（二）学生准备

4.复习回顾：全等三角形的四种基本判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS），直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的定义与基本尺规作图。

5.学具：直尺、圆规、量角器、三角板、课堂练习本。

6.预习：阅读教材中角平分线性质部分，尝试思考“如何证明角平分线上点的性质”。

四、教学实施过程（预计两课时，共90分钟）

（一）第一课时：模型发现与建构（40分钟）

  第一阶段：情境导入，温故知新（约8分钟）

  教师活动：呈现一个实际问题背景：“如图，A、B是两个村庄，计划在河流l（假定为直线）上修建一座供水站P，使得P到两村铺设的输水管总长度PA+PB最短。这是一个经典的‘将军饮马’问题。若我们附加一个条件：要求输水管PA和PB与河流l的夹角相等（即∠1=∠2），那么点P的位置除了满足最短路径外，还具有了什么新的几何特征？”

  学生活动：观察图形，联系旧知。在教师引导下，学生回忆起“角平分线”的定义——一条射线将一个角分成两个相等的角。从而初步感知到，问题中的点P可以看作是某个角的平分线上的点。

  设计意图：从经典几何模型切入，赋予角平分线以实际意义，同时自然引出课题，激发学生探究“角平分线上点”有何特殊性质的兴趣。

  第二阶段：实验探究，发现性质（约12分钟）

  教师活动：布置探究任务一。利用几何画板动态演示：已知∠AOB及其平分线OC，在OC上任取一点P，过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。拖动点P在OC上运动，引导学生观察并测量线段PD与PE的长度。

  学生活动：观察、测量、记录。小组讨论发现：无论点P在角平分线OC上如何移动，PD始终等于PE。

  教师活动：追问：“这一发现是偶然的吗？我们能否用严格的几何推理来证明它？”引导学生将观察到的命题转化为数学语言：已知OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证：PD=PE。师生共同分析，寻找全等三角形（△OPD与△OPE），利用角平分线定义（∠AOC=∠BOC）、垂直条件（∠PDO=∠PEO=90°）、公共边OP，依据AAS判定全等，从而证明PD=PE。

  教师活动：归纳得出角平分线的性质定理1。进一步逆向提问：“如果有一个点P在∠AOB的内部，且P到OA、OB的距离PD=PE，那么点P一定在∠AOB的平分线上吗？”引导学生进行猜想并尝试证明，得出角平分线的判定定理（性质定理2）。

  学生活动：完成猜想与证明过程，理解性质定理与判定定理的互逆关系。

  设计意图：通过“实验-观察-猜想-证明”的完整数学发现过程，让学生亲历性质定理的生成，深化理解，同时培养科学探究习惯和逻辑推理能力。

  第三阶段：模型初构，基础应用（约20分钟）

  教师活动：提出核心问题：“角平分线的性质，为我们构造全等三角形提供了新的‘钥匙’。基于‘距离相等’（PD=PE），我们最常见的一种辅助线作法是什么？”

  学生活动：回答：过角平分线上的点向角的两边作垂线段。

  教师活动：展示模型一：“双垂直”模型（或称“角平分线+双垂直”模型）。呈现基本图形：∠AOB的平分线OC，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB。总结：此模型必然存在△OPD≌△OPE（HL或AAS）。其功能是将角平分线、垂直、距离相等、全等三角形完美结合。

  应用示例1（基础）：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD。求证：∠B=∠C。

  学生活动：独立思考并书写证明。利用AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，直接得到DE=DF（性质定理）。结合BD=CD和∠DEB=∠DFC=90°，由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，从而∠B=∠C。

  教师活动：点评证明，强调规范书写，巩固模型一的应用。

  教师活动：引出模型二：“截取相等”模型。提出问题：“如果不方便或不能作垂直，我们还有别的办法利用角平分线构造全等吗？”引导学生思考：角平分线提供了两个相等的角（∠1=∠2），如果再有一对相等的边，能否构造全等？提示：可以在角的两边上“截取”相等的线段。

  呈现基本图形：OC平分∠AOB，在OA、OB上分别截取OM=ON，连接PM、PN（P在OC上）。总结：此模型利用角平分线提供的等角，加上主动构造的等边（OM=ON），依据SAS可得△OMP≌△ONP。其辅助线思路是“截长”。

  应用示例2（基础）：如图，AD是△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE。求证：DE=DC。

  学生活动：尝试证明。分析：AD平分∠BAC⇒∠EAD=∠CAD，已知AE=AC，AD公共边，故△AED≌△ACD（SAS），∴DE=DC。

  教师活动：对比模型一与模型二，小结：模型一的核心是“作垂线，用距离”；模型二的核心是“截等边，用夹角”。两者都是直接构造全等三角形。

  设计意图：本阶段聚焦于两个最直接、最基础的角平分线全等模型，通过典型例题夯实学生对模型结构和辅助线作法的理解，为后续复杂模型的学习打下坚实基础。

（二）第二课时：模型深化与综合应用（50分钟）

  第一阶段：模型再探，思维进阶（约15分钟）

  教师活动：回顾上节课内容，并提出新挑战：“当角平分线遇到其他特殊线（如垂线、平行线）时，又会碰撞出怎样的火花？”引出模型三：“角平分线+垂直”模型（非双垂直）。

  动态演示：如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过P作一条不与OC重合的直线MN，使得MN⊥OC。设MN与OA、OB分别交于点M、N。观察△OMN的形状。

  学生活动：观察猜想：△OMN是等腰三角形（OM=ON）。尝试证明：可通过证明△OPM≌△OPN（ASA：∠MOP=∠NOP，OP公共，∠OPM=∠OPN=90°）来得到OM=ON。

  教师活动：归纳模型三：角平分线与垂直于它的直线结合，往往能构造出一个等腰三角形（△OMN）。这个等腰三角形本身可以看作是两个全等的直角三角形（△OPM与△OPN）拼合而成。这个模型的关键在于“角平分线”和“高线”的合一，导出了“等腰”的结论。

  应用示例3（进阶）：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延长线于N。求证：BM=CN。

  学生活动：小组讨论。分析线索：AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC⇒DM=DN（模型一）。DE垂直平分BC⇒DB=DC。目标证明BM=CN，可考虑连接BD、CD，证明Rt△BMD≌Rt△CND（HL）。其中，DB=DC，DM=DN，故全等成立。

  教师活动：点评，指出本题综合了角平分线性质（模型一）和线段垂直平分线性质，模型三的“垂直”条件以“垂直平分线”形式出现，需要学生识别转化。

  教师活动：引出模型四：“角平分线+平行线”模型。提出问题：“如果过角平分线上一点，作角一边的平行线，会有什么结果？”引导学生画图探究。

  基本图形：OC平分∠AOB，过OC上一点P作PQ∥OB，交OA于点Q。观察△OQP的形状。

  学生活动：探究发现：∠QPO=∠BOP（平行线同位角相等），又∠BOP=∠AOP（角平分线），故∠QPO=∠AOP，∴OQ=QP，△OQP是等腰三角形。

  教师活动：归纳模型四：角平分线和平行线结合，往往能构造出一个等腰三角形。其原理是：平行线带来角转移（内错角或同位角相等），结合角平分线的等角，得到“等角对等边”。这个模型本身不直接产生全等，但构造的等腰三角形常为证明其他全等三角形创造条件。

  设计意图：本阶段引入的两个模型（三和四）更具思维深度，它们不是直接构造全等，而是先构造等腰三角形，体现了“转化”思想。通过探究，学生理解模型背后的几何原理，而不仅仅是记忆图形。

  第二阶段：综合应用，突破难点（约25分钟）

  教师活动：提出综合性例题，引导学生分析、拆解，综合运用多个模型。

  应用示例4（综合）：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。

  师生共析：

  1.审题：条件有BD平分∠ABC，AD=DC。结论是关于对角和的度数关系。角平分线是显著条件。

  2.思路探求：结论∠A+∠C=180°通常联想“同旁内角互补”或“四边形内角和”的推论。直接证明困难。角平分线提示可构造全等或进行截长补短。

  3.辅助线尝试：

   思路一（截长）：在BC上截取BE=BA，连接DE。为什么？利用角平分线（∠ABD=∠EBD），公共边BD，BA=BE，可证△ABD≌△EBD（SAS）。从而AD=ED，∠A=∠BED。又已知AD=DC，故ED=DC，∠C=∠DEC。观察∠BED+∠DEC=180°，所以∠A+∠C=180°。此思路核心是模型二（截取相等）。

   思路二（补短）：延长BA至点F，使BF=BC，连接DF。可证△FBD≌△CBD（SAS），得FD=CD，∠F=∠C。又AD=DC，故AD=FD，∠F=∠DAF。而∠BAD+∠DAF=180°，所以∠A+∠C=180°。此思路是“补短”，本质仍是利用SAS构造全等。

   思路三（向两边作垂线）：过点D作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N。由BD平分∠ABC得DM=DN（模型一）。再证明Rt△AMD≌Rt△CND？条件有AD=CD，DM=DN，用HL可得全等，从而∠MAD=∠C。而∠MAD+∠BAD=180°，故∠A+∠C=180°。此思路利用模型一，非常简洁。

  学生活动：分组，尝试按照不同思路书写证明过程。比较三种方法的优劣。发现思路三（作双垂）最简洁直接。

  教师活动：总结本题的启发：（1）遇到角平分线，辅助线作法多样：截长、补短、作双垂。（2）选择哪种方法，需结合其他条件（如本题的AD=DC）和所求结论。（3）“截长补短”是处理线段和差问题的常用手段，其理论基础仍是构造全等三角形。

  应用示例5（疑难辨析）：如图，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP平分∠ABC。

  学生活动：独立思考，感到困难。已知是两个外角平分线的交点，要证是内角平分线。联想到角平分线的判定定理：需要证明点P到∠ABC两边的距离相等。

  教师活动：引导：要证BP平分∠ABC，可证点P到BA、BC的距离相等。已知AP、CP是外角平分线，那么点P到∠MAC的两边AM、AC距离相等吗？到∠NCA的两边CN、AC距离相等吗？

  师生共析：过点P作PD⊥BM于D，PE⊥AC于E，PF⊥BN于F。

  ∵AP平分∠MAC，PD⊥AM，PE⊥AC，∴PD=PE（角平分线性质）。

  ∵CP平分∠NCA，PF⊥CN，PE⊥AC，∴PF=PE（角平分线性质）。

  ∴PD=PF。

  又∵PD⊥AB，PF⊥BC，∴点P在∠ABC的平分线上（角平分线判定）。即BP平分∠ABC。

  教师活动：强调本题的思维跨越：要证一个点是内角平分线上的点，无需直接连接该点与顶点构造角相等，而是利用角平分线的判定定理，转化为证明该点到角两边的距离相等。而距离的等量关系，又由另外两个外角平分线的性质定理提供。这是一个对角平分线性质与判定定理深刻理解和综合运用的典范。

  设计意图：通过两道综合性例题，将本专题的四个基本模型、辅助线思想（截长补短、作垂线）以及角平分线判定定理熔于一炉。在分析、讨论、比较、优化的过程中，培养学生的综合解题能力和策略选择意识，突破教学难点。

  第三阶段：总结升华，布置作业（约10分钟）

  教师活动：引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂总结。

  知识网络梳理：

  1.一个核心：角平分线的性质与判定定理。

  2.四大模型：

   （1）双垂直模型：作垂线，得全等（HL/AAS），功能是直接得到边等或用于判定。

   （2）截取相等模型：截等边，得全等（SAS），功能是转移线段或角。

   （3）角平分线+垂线模型：得等腰，本质是双直角全等。

   （4）角