湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BDCCADBAACABD题号11答案AB1．B【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】由集合，因为，可得.2．D【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误；选项B，由的定义域为，所以，所以函数值域为：，故B错误；选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误；选项D，由的定义域为，此时，所以函数值域为，故D正确.3．C【详解】在等差数列中，，，则，所以.4．C【分析】先求出数学期望及方差，再应用方差性质计算求解.【详解】根据概率分布得，解得，计算得，，根据方差性质得.5．A【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解.【详解】因为，且，所以，从而，等号成立当且仅当，所以的最小值为.故选：A.6．D【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为，依题意，，解得，，而圆台的母线长，因此圆台的高，所以圆台的体积.故选：D.7．B【分析】由题意可得，，得用中点坐标公式可求得，结合已知可得，利用利用，可求结论.【详解】由题意可得，，则，由可得，.故选：B.8．A【详解】由已知可得对任意的恒成立，设则当时在上恒成立，在上单调递增，又在上不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上单调递增，在上单调递减，又，故选A.9．AC【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C.【详解】连接交于，连接，则为的中点，所以，，又M为中点，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为，与平面相交且不垂直，所以与平面不平行且不垂直，故BD错误；由题可知平面，平面，所以，由题可知，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，故C正确.故选：AC.10．ABD【分析】应用二倍角公式计算判断A,B选项，根据两角和差公式计算判断C,D选项.【详解】对于A：，A正确；对于B：，B正确；对于C:，C错误；对于D:正确，D正确.故选：ABD.11．AB【分析】由题可得时，，其他段函数不确定，据此可逐项判断.【详解】，，又，，又，所以时，，对于A，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，根据题意只能推导时，，，也符合题意，故C错误；对于D，时，，,，，,则的最小值为，故D错误；故选：AB.12．【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值.【详解】设底面半径为，母线成为，则，即，∴该圆锥轴截面的顶角等于，故答案为：13．【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据可得结果.【详解】由题意得：，，，所以数列是周期为3的周期数列，所以.故答案为：.14．【分析】根据分布列和数学期望的定义，结合排列组合求解即可.【详解】的可能取值为1，2，3，，，，．故答案为．15．(1)(2)．【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以．即，即，又，且，解得所以．（2）由（1）知：，则，即．16．(1)；(2)（i）由题意，可设直线，则，设直线，联立，得，因为与抛物线相切，所以，则，所以，令，得，而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值；（ii）.【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程；（2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证；（ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可.【详解】（1）设，显然，由题设，所以，即为动点P的轨迹方程；（2）（i）略（ii）由题意，又，当且仅当时等号成立，联立，得，显然，所以，，则，，所以，综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立.17．(1)学生的性别对选科分类有影响.(2)的分布列如下表所示：01234【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与临界值对比分析即可求解；（2）根据全概率公式求解男生选化学和地理的概率，然后结合二项分布求分布列和数学期望.【详解】（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响.根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为学生的性别对选科分类有影响.（2）设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史.由题意，，，且，，.则，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234（另解：因为，所以）18．(1)证明见解析(2)(3)存在；【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，通过向量法去求平面与平面所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系求解正弦值即可.（3）利用向量法求线面角，建立方程求解参数，从而解得点的坐标.【详解】（1），是的中点，，又平面，平面，，，平面，平面，平面，而平面，.（2）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则，取，，，所以.设平面的法向量为，则，取，，，所以.，设平面与平面所成的角为，而，，所以平面与平面所成的角的正弦值为.（3）在棱上存在一点，设，且，，，，，，，若直线与平面所成的角是，则，解得，所以符合条件的点存在，为棱的中点.19．(1)(2)(3)由函数，可得，设，由，可得，则，又由，可得，∴函数为单调递增函数，∴，即，∴，由（2）知，当时，，，∴，即，∴，代入可得：，则，∴，又因为时，，所以，所以.【分析】（1）对求导，再结合导数的几何意义求切线方程即可；（2）方法一：构造函数，结合导数分和两种情况进行讨论即可求得k的范围；方法二：构造函数，只需在时恒成立即可又，且所以要使当时，，必须满足，即，再根据这个结论进行验证即可；方法三：利用参变分离的方法，构造函数，，最后需要结合洛必达法则求解；（3）由，可得，利用函数为单调递增函数，可得，所以，结合（2）得，代入化简得，又因为时，所以得.【详解】（1）当时，，∴又∴∴切线方程为；（2）方法一：设只需在时恒成立即可又，且所以要使当时，，必须满足，即．下面证明时满足题意：①当时，由，，令，由（1）知，在上单调递增，所以，所以当时，，即；②当时，，令，，则，所以在上单调递增，又，当时，，所以存在，使得，当时，，即在上单调递减，当时，，所以当时，不恒成立．综上所述，实数的取值范围是．方法二：设，则，令，则，当时，，，在上单调递增，即在上单调递增，所以所以在上单调递增，所以，所以符合题意；当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即在上恒成立，所以，所以符合题意；当时，在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增，又因为当时，，所以存在，使得，当时，，即在上单调递减，当时，综上所述，实数的取值范围是．方法三：参变分离得：令，，∵，∴∴在区间上单调递减∴∴∴在区间上单调递减∴∴∴在区间上单调递减∴由洛必达法则可得：综上所述，实数的取值范围是．（3）略【点睛】利用导数解决函数中的恒成立问题，常用以下两种方法：①参变分离法：参变分离法是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边，