湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BABABACAACAB题号11答案AD1．B【详解】，对任意实数，式子都有意义，，，解得．2．A【详解】由统计图可知，乙的物理成绩非常靠前，远远高于甲的物理成绩，但甲、乙两人的理化总成绩却相差不大，说明甲的化学成绩比乙好；丙的物理成绩非常靠前，比乙好，但是理化总成绩却比乙差许多，说明丙化学成绩比乙差.综上所述，三人中化学成绩最好的是甲．3．B【分析】根据顶点式得到顶点坐标，从而得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得抛物线的顶点坐标为，因为其在第一象限，则，解得.故选：B.4．A【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集.【详解】令，所以或.解得，.所以不等式的解集是.故选：A.5．B【分析】分析函数的单调性，排除不符合要求的选项即可得解.【详解】当时，在上单调递减，排除CD；当时，在上单调递增，排除A，选项B符合要求.故选：B6．A【分析】根据不等式恒成立的条件及其必要不充分条件的定义即可求解.【详解】令，其图象开口向上，∵不等式在上恒成立，∴，解得，又∵，∴是的必要不充分条件，选项,,则是的充要条件，选项,,则是的充分不必要条件，选项,,则是的充分不必要条件.故选：A.7．C【分析】根据图形与性质求得，再解直角三角形求得.【详解】连接，因为是直径，所以，因为，所以，而，所以，因为，所以，而，所以，所以，所以，在中，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，在中，.故选：C

8．A【分析】根据对称轴求得，根据二次函数的性质求得的取值范围.【详解】抛物线的对称轴为直线，所以.则关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，整理得，而，所以.故选：A9．AC【解析】根据集合与集合直接关系的符号表示，以及元素与集合之间的符号表示，即可判定出结果.【详解】因为集合，则，即A选项正确；集合中元素都是正整数，则，即C正确；“”只能表示元素与集合之间关系，故B错；“”只能表示集合之间的关系，故D错.故选：AC.10．AB【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解.【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确；对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确；对于C，由，可知，且，，，不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误；对于D，，故，最小值大于1，故D错误.故选：AB.11．AD【分析】通过设点坐标，利用反比例函数表达式求出相关线段长度，进而计算三角形面积来判断各选项的正确性.【详解】设点坐标为，点坐标为，则，，，，，，故A正确；，

，当与的面积相等时，，即，当时，重合，与题意不符，故B错误；当在的同侧时，可能是钝角三角形，C错误；

等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，D正确；如图：故选：AD.12．.【分析】根据题意，由折叠的性质可得，所以的面积为，由面积关系可求解.【详解】由题意，的面积为，的面积为，所以的面积为，因为将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为，所以，所以的面积为，所以.故答案为：.13．【分析】先求出当命题、为真命题时的取值范围，再根据题意可知，有一真一假，然后根据真，假或假，真列出不等式组，即可即可．【详解】对于：，所以，当且仅当时取等号，恒成立，则，即；对于：存在，使得不等式成立，只需，而，，；因为，有一真一假，所以若为假命题，为真命题，则，所以；若为假命题，为真命题，则，所以.综上，或，故答案为：.14．【分析】设，则，由求出即可.【详解】，，，由勾股定理得，，四边形为矩形，，，设，则，，，，，解得，.故答案为：.15．(1)，，或(2)【分析】（1）利用集合的运算法则求解即可；（2）在数轴上表示出集合和集合,利用已知条件求解.【详解】（1）∵，，∴,,或，（2）因为集合，，且，所以，即的取值范围为.

16．(1)型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人.(2)本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.【分析】（1）设型号的客车每辆载客量是人，根据题意列出方程，即可求解；（2）设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆，租车费用是元，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由已知设型号的客车每辆载客量是人，则型号的客车每辆载客量是人.根据题意有，解得，经检验，是方程的解，且符合题意，所以（人）.答：型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人.（2）设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆.根据题意有，解得.设本次研学活动学校的租车费用是元.则有因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，所以当时，随着的增大而增大，又因为取正整数，且，所以当时，取得最小值，且最小值为（元）.答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.17．(1)；(2)(3)【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解；（2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解；（3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可.【详解】（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.由题意可知,解得，故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.（2）设购买B种电器件.,解得,故可购买B种电器至少有件.（3）设购买A种电器件，则购买B种电器件.,解得，因为取整数，所以可取，共种方案.18．5【分析】可连接，得出≌（），即，再利用勾股定理求解即可．【详解】

连接，∵，，，，∴，∴≌（），∴．因为，所以，故．19．（1）；（2）.【分析】由解析式可知为开口方向向上，对称轴为的二次函数；（1）分别在和两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为对恒成立，分别在、、和，根据单调性可得，将看做关于的函数，利用恒成立的思想可求得结果.【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，（1）当，即时，在上单调递减，，不合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，又，，在的最大值为，，解得：；综上所述：.（2）若对任意实数，总存在，使得，则对